上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（解析版）

第1页/共1页上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1.直线的倾斜角的大小为______．【答案】##【解析】【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【详解】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故答案为：2.椭圆焦距为__________．【答案】【解析】【分析】利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．【详解】解：椭圆，，，则．椭圆的焦距为：．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3.表面积为的球的体积为__________.【答案】【解析】【分析】先求出半径，再利用公式可求体积.【详解】，故答案为：.4.过点且与直线平行的直线方程是______．【答案】【解析】【分析】设该直线为，代入求出得出所求直线方程.【详解】设该直线为，因为该直线过点，所以，解得即所求直线为故答案为：5.在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______.【答案】【解析】【分析】依题意可得点为以点、为焦点的椭圆，即可求出、、，从而得到椭圆方程.【详解】因为点到点、的距离之和为，即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆，且，，所以，所以椭圆方程为.故答案为：6.已知直线与直线的距离为，则________.【答案】或【解析】【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解.【详解】直线可化为，直线，所以，解得或，所以或.故答案为：或7.若圆：与圆：外切，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为.由于两圆外切，所以，得.故解得.故答案为：.8.若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为______．【答案】【解析】【分析】将点代入双曲线，求出，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断详解】将点代入双曲线得，解得，所以双曲线，所以双曲线的渐近线为，设的倾斜角为且，则，，所以两条渐近线的夹角为，所以，所以由得.故答案为：9.若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高，所以圆锥的体积.故答案：10.已知实数满足，则的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】就的正负分类讨论后可得方程对应的曲线，从而可求的取值范围.【详解】根据题意，对于方程，当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分；当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分；当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分；当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象，所以方程对应的曲线的图象如图所示，记，动直线与双曲线的渐近线平行，当动直线与第一象限内的椭圆相切时取最大值，由可得，令，解得（负值舍去），故相切时，结合曲线图形可得故答案为：【点睛】思路点睛：对于曲线方程对应的曲线刻画，应该根据解析式的特征合理变形化简，以便用常用的曲线刻画前者.二、选择题11.经过点，且法向量为的直线方程是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线法向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】直线的法向量为，直线的斜率，直线的方程为，即.故选：B12.已知表示两个不同平面，是一条直线且，则是的（

）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，充分条件必要条件的定义【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若，，则；反之，当时，则相交，记交线为，又，所以或相交或重合，若，又，则，所以不一定能得到．所以是的必要不充分条件．故选：B．13.圆上动点到直线距离的最小值为（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】圆，圆心，半径r=1，圆心到直线的距离，故直线与圆相离，所以圆上点到直线的距离的最小值为.故选：C14.关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（）A.①、②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①、②都错误【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.【详解】对于①，由平方可得，．因为，所以．又因为，当且仅当时等号成立，故①错误；对于②，由知，，，两边平方可得．因为，所以，即曲线在直线的下方，因此所围图形的面积不大于，故②正确.故选：C【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.三、解答题15.已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程．【答案】或【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出切线的斜率，再写出切线方程．【详解】因为，所以点在圆为外，如图所示，则过点的圆的切线方程有两条.当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，设圆心到直线的距离为，而圆的半径为，则，解得，所以；当切线的斜率不存在时，则.综上，切线方程为或.16.在长方体中（如图），，，点是棱的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.【答案】（1）（2）是，理由见解析【解析】【分析】（1）作交于，联结，即可得到为异面直线与所成角，再根据三角形的性质求出，即可得解；（2）首先可得，即可得到为直角三角形，在由线面垂直、面面垂直的性质得到平面，即可得到，即为直角三角形，即可判断；【小问1详解】解：作交于，联结，因为是棱的中点.所以为的中点，则为异面直线与所成角，因为，所以，因为为正三角形，即，异面直线与所成角为.【小问2详解】解：是棱上的中点，则､均为等腰直角三角形，故，所以为直角三角形，由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，因为平面，平面，所以，，所以､均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形为鳖臑.17.已知曲线的方程为.（1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；（2）若k=1，时，直线：与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解，（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解.【小问1详解】∵曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆∴曲线为：，且，，∴，又离心率为，则，又因为，因此，；【小问2详解】设，，联立方程得，因为，，则，，所以，，解得或.因此，曲线的方程为：或.18.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点．（1）求证：∥平面；（2）若，求直线与平面所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结交于，连接，推导出∥，利用线面平行判定定理证明∥平面；（2）根据∥，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求．【小问1详解】连接，交于O，连结，∵四棱锥的底面是边长为1的正方形，∴O是的中点，∵为的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；【小问2详解】∵∥，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，又垂直底面，∴为直线与平面所成的角，∵，∴，∴直线与平面所成的角等于.19.已知椭圆的一个焦点为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上有一动点，求的取值范围；（3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）不存在点，使得，理由见解析【解析】【分析】（1）求出可得答案；（2）设动点，求出，根据的取值范围可得答案；（3）设直线与椭圆方程联立，可得其判别式，化简得①，利用韦达定理求出点坐标可得，利用得，设直线方程为与椭圆方程联立，要使得存在点可得其判别式，化简得②，由①②式求出的范围可得答案.【小问1详解】由题意，得，所以，则椭圆