2022年广东省深圳市南山区三月份中考数学模拟试题（解析版）

2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷（二）（3月份）一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）1.若一个正方形的面积是28，则它的边长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质可进行求解．【详解】解：设正方形的边长为a，则有：，∴；故选B．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．2.下列事件是必然事件的是（）A.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数C.汽车累积行驶10000km，从未出现故障D.购买1张彩票，中奖【答案】A【解析】【分析】根据随机事件的概念可进行排除选项．【详解】解：A、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，属于必然事件，故符合题意；B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，属于随机事件，故不符合题意；C、汽车累积行驶10000km，从未出现故障，属于随机事件，故不符合题意；D、购买1张彩票，中奖，属于随机事件，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键．3.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为()A.10° B.15° C.18° D.30°【答案】B【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．4.一种商品每件成本为80元，原来按成本增加定出价格．现由于库存积压，按原价的出售，则每件商品的盈亏情况为（）A.盈利8.4元 B.盈利9.2元 C.亏损8.4元 D.亏损9.2元【答案】A【解析】【分析】根据“售价-成本=利润”、“售价=原价×85%”列出方程求解即可．【详解】解：设该商品每件盈利x元，则由题意得：80×（1+30%）×85%=80+x，88.4=80+x，x=8.4．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握“进价”“标价”“卖价”及‘利润’间关系是解决本题的关键．5.线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（）A.6 B.5 C.9 D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以先求得点、的坐标，再根据题意，可以得到点和的坐标，从而可以计算出四边形的面积．【详解】解：线段是直线的一部分，点的纵坐标是6，，解得，点的坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的坐标为，，解得，双曲线，点在该双曲线上，点的横坐标是6，，即点的坐标为，点，均在该组波浪线上，，，，，，，，四边形的面积是：，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是求出、的值．6.普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A.2 B.2.5 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y=2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍．【详解】解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，依题意得，解得：，∴．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．7.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A B.18 C.16 D.【答案】C【解析】分析】延长QN交AE于H．解直角三角形求出OH，HN，OM即可解决问题．【详解】延长QN交AE于H．由题意AO＝AD＝DE＝，AE＝，在Rt△AOH中，∵tan∠AOH＝，∴AH＝，∴OH＝，DH＝AH＝AD＝，∵△NHD∽△HAO，∴，∴DN＝1，HN＝，∴ON＝OH﹣HN＝5，∵OM＝DN＝1，∴MN＝5﹣1＝4，∴正方形MNUV的周长为16，故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（）A. B. C.或 D.﹣1或【答案】D【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：，图象开口向上，对称轴为直线，∵﹣1≤x≤3，∴当时，即，时有最大值1，，，当时，即，时有最大值1，，，或，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．9.“数形结合”思想是数学学习的一个重大思想．通过巧妙运用几何代数的结合性有时能将某些难题迎刃而解．已知a，b，c，d均为实数，a2+b2＝c2+d2，则abcd的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由题意易得，然后根据a2+b2＝c2+d2可构两个直角三角形，且同一斜边，进而问题可求解．【详解】解：由a2+b2＝c2+d2可得如图所示：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，令，∴，∵，∴当DA⊥AB，DC⊥BC时，且AB=BC=CD=AD，的值最大；∴，∴的最大值为；故选D．【点睛】本题主要考查完全平方公式、勾股定理及正方形的性质，解题的关键是根据数形结合思想进行分析问题．10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A.一直减小 B.一直不变 C.先变大后变小 D.先变小后变大【答案】B【解析】【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y−x即可判断；【详解】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD−S△PFD−S△CFQ＝（x＋y）2−•（y−a）y−（x＋a）x＝xy＋a（y−x），∵PC∥DQ，∴，∴，∴a＝y−x，∴S阴＝xy＋（y−x）（y−x）＝（x2＋y2）＝故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）11.已知，则的补角等于________．【答案】80【解析】【分析】根据补角的概念计算即可．【详解】∵∠A=100°，∴∠A的补角=180°－100°=80°,故答案为:80【点睛】本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识．12.有五张正面分别标有数字，，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，将该卡片上的数字记为，则为非负数的概率为________．【答案】【解析】【分析】求出为负数的事件个数，进而得出为非负数的事件个数，然后求解即可．【详解】解：两次取卡片共有种可能的事件；两次取得卡片数字乘积为负数的事件为等8种可能的事件∴为非负数共有种∴为非负数的概率为故答案为：．【点睛】本题考查了列举法求随机事件的概率．解题的关键在于求出事件的个数．13.若非零实a，b满足a2＝ab，即可得的值为_____．【答案】【解析】【分析】将已知等式变形可得，代入所求式子即可求解．【详解】a2＝ab故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式的运用，熟练掌握知识点是解题的关键．14.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______．【答案】8,,【解析】【分析】分3种情况分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cos∠AOH=cos∠P，，BC=PC－2PG；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cos∠APC=cos∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∠C=∠CAB，BC=AB．【详解】解：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；∵AB=AP，∴，∵AO过圆心，∴AG⊥PB，∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，∵∠AOB=2∠P，∴∠AOH=∠P，∵OA=5，AH=4，∴OH=3，∵∠OAH=∠PAG，∴sin∠OAH=sin∠PAG，∴，∴PG=，∵∠AOH=∠P，∴cos∠AOH=cos∠P，，∴，∴BC=PC－2PG=；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．故答案为或或．【点睛】本题考查等腰三角形的性质；解直角三角形．15.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．则cos∠CFH的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质可得，，，则有∠CDE＝30°，设，则有，然后根据勾股定理及三角函数解答即可．【详解】解：四边形是菱形，，，，设，设CE=t，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠DCE＝60°，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∴，中，，，中，，，，，在中，，，∴，∴在中，，∴，故答案为：．【点睛】此题考查菱形的性质、勾股定理及三角函数，关键是根据菱形的性质和三角函数解答．三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）16.先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2﹣x）x，其中．【答案】，【解析】【分析】先利用平方差公式及整式的乘法可进行化简，然后再代值求解即可．【详解】解：原式=；把代入得：原式=．【点睛】本题主要考查整式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握整式的混合运算及二次根式的运算是解题的关键．17.为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】（2）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数及小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数；所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=小明和小红都没有抽到“三字经”的概率==【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．18.如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．

（1）求∠AMC与∠ACM度数．（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．【答案】（1）90°，60°；（2）1500米．【解析】【分析】（1）根据方向角可以证得∠AMC与∠ACM度数；（2）过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据含30度角的直角三角形即可求得AM的长，进而求得AN的长．【小问1详解】解：如图，

∵∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACM＝180°－60°－60°＝60°，∴∠AMC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴∠AMC与∠ACM度数分别为90°，60°；【小问2详解】解：作MN⊥AC于点N，线段MN的长度就是从N处到M小区铺设的管道的最短距离，在Rt△AMC中，∵∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，AC＝2000，∴AM＝AC×cos∠MAC＝AC＝2000×＝1000（米），在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，∴AN＝AM×cos∠MAC＝AM＝1000×＝1500（米）．答：AN的长为1500米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．19.如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．（1）探究α与β之间的数量关系，并证明．（2）设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．【答案】（1）α+β=90°，理由见解析；（2）①；②．【解析】【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理可得∠BOC=2α，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；（2）①利用（1）的结论与已知条件可得α+γ=45°，则△OAC为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得∠BAO=30°，过点D作DE⊥OB于点E，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段DE的长，利用△OBC的面积减去扇形OCB的面积即可求得结论；②延长AO，交圆O于点G，连接BG，利用圆周角定理可得∠BOG=2γ，利于等腰三角形的性质可得∠BOG=∠OBC，进而得到BC∥AG；过点O作OF⊥BC于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求CF=k，则BC=2k，利用平行线的性质可得△DAO∽△DBC，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设OD=x，则CD=OC-OD=1-x，代入比例式，解方程即可得出结论．【小问1详解】解：α与β之间的数量关系为：α+β=90°．理由：连接OB，如图，∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=α，∴∠BOC=2α．∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=β．∴∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°，∴2α+2β=180°．∴α+β=90°．【小问2详解】解：①∵β=γ+45°，α+β=90°，∴90°-α=γ+45°．∴α+γ=45°．∵∠BAC=α，∠BAO=γ，∴∠OAC=∠BAC+∠BAO=45°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°．∴∠AOC=90°．∵AD=2OD，∴sin∠OAD=＝．∴∠OAD=30°．∴∠BAC=15°．∴∠BOC=2∠BAC=30°．∵OA=OD，∴∠OBA=∠BAO=30°．∴∠DOB=∠DBO=30°，∴DO=DB．过点D作DE⊥OB于点E，如图，则OE=EB=OB=．∵tan∠DOB=，∴＝．∴DE=．∴S△DOB＝×OB•DE=．∵S扇形OCB＝＝，∴S=S扇形OCB-S△DBO=．②∵α+2γ=90°，α+β=90°，∴β=2γ．延长AO，交圆O于点G，连接BG，如图，∵∠BOG=2∠BAO=2γ，∴∠BOG=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB，∴∠BOG=∠OBC．∴BC∥AG．过点O作OF⊥BC于点F，则CF=BF=BC，∠COF=∠BOC=α．∵sinα=k，sinα=，∴CF=OC•sinα=k，∴BC=2k．设OD=x，则CD=OC-OD=1-x，∵BC∥OA，∴△DAO∽△DBC．∴．∴＝．解得：x=．∴OD=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．20.小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？【答案】（1）小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）7.2千米/小时【解析】【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，则小李第一天步行的时间小时，第二天骑自行车的时间小时，再根据题意列出分式方程，解方程即可；

（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，

由题意得：解得：x=6，

经检验，x=6是原方程的解，

则1.5x=9，∴小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），小李距离上班的时间为：（小时），设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，解得：m≥7.2，

∴跑步的速度至少为7.2千米/小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程．21.在中，，以点D为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线DK，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP．（1）如图1，当时，连接AP，线段AP和线段AC的数量关系为；（2）如图2，当时，过点B作于点F，连接AF，请求出∠FAC的度数，以及AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当时，连接AP，若，请直接写出线段AP与线段DG的比值．【答案】（1）AP=AC，见解析（2）∠FAC=45°，,见解析（3）或【解析】【分析】（1）连结PC，根据四边形ABCD为平行四边形，得出AD=BC，∠ADC=∠ABC=180°-，先证△PBE为等边三角形，再证△PEA≌△PBC（SAS），最后再证△APC为等边三角形即可．（2）结论是2AF2=AB2+AD2连结CF，当时，平行四边形ABCD为矩形，在Rt△ABC中，根据勾股定理，即，再证△FEA≌△FBC（SAS），在Rt△AFC中即可．（3）分点E在AB和AB的延长线上两种情况求解．【小问1详解】解：数量关系为：AP=AC．连结PC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠ADC=∠ABC=180°-，当时，∴∠ABC=∠ADC=180°-120°=60°，∵∠BEP=，PE=BE，∴△PBE为等边三角形，∴PE=PB，∠PBE=60°，∴∠PBC=∠PBE+∠ABC=60°+60°=120°，∵∠PEA=180°-∠PEB=180°-60°=120°，∴∠PBC=∠PEA，∵DK平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=，∵AB∥DC，∴∠AED=∠CDE=30°=∠ADE，∴AE=AD=BC，在△PEA和△PBC中，，∴△PEA≌△PBC（SAS），∴PA=PC，∠APE=∠CPB，∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠BPC+∠EPC=∠EPB=60°，∴△APC为等边三角形，∴AP=AC，故答案为：AP=AC．【小问2详解】结论是．理由如下：连结CF，当时，平行四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理，即，∵DK平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=，∵AB∥DC，∴∠AED=∠CDE=∠ADE=45°，∴AE=AD=BC，∴∠FEB=∠AED=45°，∵，∴∠BFE=90°，∠FBE=90°-∠FEB=45°，∴FE=FB，∴∠FEA=180°-∠FEB=180°-45°=135°，∠FBC=∠FBE+∠ABC=45°+90°=135°∴∠FEA=∠FBC，△FEA和△FBC中∴△FEA≌△FBC（SAS），∴∠AFE=∠CFB，AF=CF，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=∠CFB+∠EFC=∠EFB=90°，∴∠FAC=45°在Rt△AFC中，∴．【小问3详解】如图，当点E在AB上时，过点P作PR⊥BC，交CB的延长线于R，过点D作DH⊥PE，交PE的延长线于H，交DC于点S，∵AE∥DC，∴△AGE∽△CGD，∴，∴．∵，设BE=a，则AB=3a，AE=2a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=3a，AD=BC=AE=2a，∴．∵四边形ABCD是平行四边形，，△PBE是等边三角形，∴PE=PB=BE=a，∠PBR=60°，∴PR=PBsin60°=，RB=PBcos60°=，∴CR=CB+BR=2a+=，∴PC=，∵DK平分∠ADC，AE∥DC，，△PBE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=∠EDC=30°，∠AEH=∠PEB=60°，AE=AD，∴∠EAD+∠AEH=120°+60°=180°，∴AD∥ES，∴四边形AESD是菱形，∴AE=ES=SD=DA=2a，∠AEH=∠DSH=60°，∴DH=DSsin60°=，SH=DScos60°=a，∴EH=ES+SH=2a+a=3a，∴DE=，∴．∴．如图，当点E在AB的延长线上时，过点A作AR⊥PB，交PB的延长线于R，过点E作ES⊥AD，交DA的延长线于S．∵AE∥DC，∴△AGE∽△CGD，∴，∴．∵，设BE=a，