湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设，且，则.故选：B.2.已知，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】故选：B.3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，故.故选：C.4.已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.故选：.5.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由解析式，有，即，故定义域为，，即为奇函数，排除C、D；当时，，即，排除B.故选：A.6.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A选项，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件；对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件；对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，则函数在上不单调，C不满足条件；对于D选项，函数的最小正周期为，当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件.故选：A.7.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，函数，可得函数的周期为.因为，所以.由函数在区间上有且仅有一个零点，得，且，即，且.当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，解得，此时解集为空集.综上，实数的取值范围为.故选：A.8.已知函数，则关于x的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因为所以的定义域为，则，又，，所以所以为奇函数；在上为增函数，在上为增函数，又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数；等价于，即，则解得：或，即关于x的不等式的解集为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的定义域为C.函数的图象的对称中心为D.函数的单调递增区间为【答案】BD【解析】函数的最小正周期为，所以A错误；由，则定义域为，所以B正确；因为正切函数的对称中心为，则，可知函数的对称中心应为，所以C错误；由，得，所以函数的单调递增区间为，所以D正确.故选：BD.10.已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（）A.的一个周期为B.的图象关于对称C.在上单调递增D.的值域为【答案】ABD【解析】对于A，根据诱导公式可知：，故的一个周期为，即A正确；对于B，根据诱导公式可知：，所以的图象关于对称，即B正确；对于C，易知，即为偶函数，当时，，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误；由B结论可知为的一个周期，此区间上，故D正确.故选：ABD11.函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.C.函数有2个零点D.若关于的方程在区间上的实数根的之和为12【答案】BCD【解析】由于为偶函数，则关于对称，则，故，结合可得，用取代，得到，用取代，得到，于是，的周期为4，由可得，结合可得，故为奇函数.对A，由幂函数的性质，在上单调递增，由奇函数的性质，在上递增，又关于对称，则在上递减，又周期为4，故在上单调递减，故A错误；对B，奇函数的定义域为，故，又周期为4，故，由，取得到，取，得到，故，所以，故B正确；对C，在同一直角坐标系中作出和的图像如下：由图象可得有两个交点，故有两个零点，故C正确；对D，先作出在上的图象，由，根据对称性，四个点的横坐标之和为，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数图象过点，则__________.【答案】【解析】由函数为幂函数，得，即，所以，又函数过点，则，故答案为：.13.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒______次【答案】【解析】设喷洒次，则：，，，且，，，即至少喷洒次．故答案为：.14.已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______．【答案】【解析】由得，当时，，故当时，，当时，，当时，，依次类推，又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为因为，，所以，，所以由，可得，当时，由的，所以对任意，都有，得实数取值范围为，则实数的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）计算：；（2）已知，且，求c的值.解：（1）原式.（2）由得，由得，，，，，，，.16.（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；（2）已知，且，求的值．解：（1）解方程，得，，是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则，（2），且，，则，而，则，故，17.南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），．（1）当时，求海报纸（矩形）的周长：（2）为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？解：（1）设，直角三角形另一个直角边长为，则有宣传栏的面积为，且海报周长，又由，即，因为，则，所以海报周长，答：海报纸的周长为．（2）由（1）知，当且仅当时取等，此时，解得，即长和宽时，使用纸量最少．18.已知函数奇函数.（1）求m的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，整理得，又，所以，所以.（2）设，且，则，因为，单调递增，所以，所以，，所以，即，所以函数在上单调递增.（3）因为函数为奇函数，所以，又因为在上单调递增，所以，即在区间上恒成立，令，因为在上单调递增，所以，由题意，得，所以a的取值范围为.19.定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.（1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和；（2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值.解：（1），，故，则函数