河北省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，所以，，故.故选：B.2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可知，所以，故选B.3.函数在点处的切线斜率为2，则a=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】，，故选：B.4.已知，，，，，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由题意知，，即，令，则不等式化为,当且仅当时取等号，的最小值为4.故选：C.5.数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（）A.8或9 B.9或10 C.10或11 D.11或12【答案】B【解析】，故，，∴，，∴最大时，或10，故选：B.6.如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】延长，，，交于Q，易知：，故是正八面体，故，，∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为.故选：A.7.数据a、b、c的方差为1，对，的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设，依题意，，而，当且仅当时，取最小值为3.故选：C.8.已知，，，则以下正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，故A错误；，而.∵，∴，即∴，故B正确；即，而，故C错误；即，而，故D错误，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知z，，是复数，则以下正确的是（）A.复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限B.C.D.【答案】BCD【解析】对于A：由z对应的点与对应的点关于x轴对称，则复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第二象限，错误；对于B：设，在复平面对应向量分别为，，则，，正确；对于C、D：设，，且，则，C正确；，D正确，故选：BCD.10.椭圆上的动点M与点的距离的最小值为，则a的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】设，则，则，即函数最小值为，对称轴为，其中，故，原条件等价于或，解得：或.故选：BD.11.斐波那契数列满足：，，，，则以下正确的是（）A. B.C.递减 D.【答案】ABC【解析】验证得，，，…，故当时，，又，∴为常数列，∴，故A正确；，∴，即，故B正确；，分子，故C正确；时，，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为_______.【答案】【解析】设球半径为r，平面，显然,又，平面,故平面，平面,则.由于平面ABC，，，则,.，,故三棱锥侧面积为，故答案为：.13.过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为_______.【答案】【解析】设，，，则，方程：化为，同理方程：，将代入两式：，.故，都直线上，而代入化为：此为直线方程，恒过点，焦点，即为F到距离最大值.故答案为：.14.甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则=_______.【答案】【解析】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3，可得，，，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.长方体中，，，M为中点.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，如图，，，因此，又，则，可得；又平面，而平面，可得，又，平面，故平面，又平面，故.（2）解：以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.则，可得，，显然，即可得，又，平面，所以平面，即平面的一个法向量为，又，设与平面所成的角为，故所求线面角的正弦值为.16.数列满足：，.（1）求数列通项；（2）恒成立，求m最小值.解：（1）由，，两式相减得：，时，符合等式，故，，两式相除得：故n为奇数时，n为偶数时，综上，对任意，.（2）由故，最小值为.17.某省级示范学校高三的一次考试后，为了调查学生们的偏科程度，在实验班随机抽取8名同学，比较物理成绩x与数学成绩y，得到下表（单位：分）：学生号12345678x98848794819185100y135124113125116120132135（1）求出y关于x的回归方程（精确到0.01）；（2）若相关系数r满足，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系，计算这8名学生的物理成绩和数学成绩是否具有较强的线性相关关系？（附：，，，，，相关系数）解：（1）设y关于x的回归方程为，由题设有，，，故所求回归方程为：；（2）由，故这8名学生的物理成绩和数学成绩不具有较强的线性相关关系.18.双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足.（1）求双曲线方程；（2）Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值.（1）解：由题意，，故，将代入，故双曲线方程为.（2）证明：设，则，而，故.设：代入椭圆方程得：，，其中，过A作ST平行线交椭圆于G，H，由对称性可知：，故将中的k换为，即得，故，∴.原命题得证.19.若方程有n个实数根：，，…，，且，则称函数为关于k的n度函数，称为关于k的总度量值，已知.（1）证明：是增函数；（2）函数为关于0的2度函数.（i）求a的取值范围；（ⅱ）证明：关于0的总度量值大于.（1）证明：，函数定义域为，故，故为增函数.（2）（i）解