广东省深圳市建文教育集团两学部2025届高三下学期2月第一次模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市建文教育集团两学部2025届高三下学期2月第一次模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为合，所以，故选：B.2.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦的倍角公式，可得.故选：C.3.点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设关于直线的对称点为，由对称关系可得，解得.则点到直线：的距离为.故选：C.4.已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数的定义域为，且是奇函数，则，即，解得，于是，求导得，则，而，所以曲线在处的切线的方程为：，即.故选：B.5已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得.故选：A.6.在平行六面体中，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B.7.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆：可得，，，因为上一点且在第一象限，则由为等腰三角形，则可得或，当时，，此时的面积为：；当时，，不合题意，舍去.综上，可得的面积为.故选：C.8.在正六棱柱中，，为棱中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为球的半径为6，，所以球不与侧面及侧面相交，设分别为的中点，连接，则由题意可得，所以，所以球与侧面交于点，与侧面交于点，在正六边形中，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以平面，且，所以，所以球与侧面的交线是以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线是以为直径的半圆，因为，所以球与上下底面的交线均为个半径为的圆，所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知点，，点在圆：上运动，则（）A.直线与圆相离 B.的面积的最小值为C.的最大值为 D.当最小时，【答案】ACD【解析】对于A，已知点,，点在圆：上运动，则圆心为，半径为，直线的方程为即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确．故选：ACD.10.在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（）A.圆上有两个点到直线的距离为 B.圆上有三个点到直线的距离为C.圆上有三个点到直线的距离为 D.圆上有四个点到直线的距离为【答案】AD【解析】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为；又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为，圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立故选：AD.11.已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程为B.椭圆上存在点，使得C.是椭圆上一点，若，则D.若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率【答案】AC【解析】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆，故A正确；对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因方程组无解，故B错误；对于C，设，则，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故C正确；对于D，显然直线斜率不为0，设直线，由，整理得：恒成立，所以，依题意有，得，所以，即，同理可得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，解得，代入到，得，解得：，所以直线的斜率为：，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________；若，则________．【答案】或【解析】因为，所以；因为，当时，，解得（舍去）或；当时，，解得.综上：或；故答案为：；或.13.已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】集合或，设，则函数的图象开口向上，而由知：对称轴．因为中恰有个整数元素，所以方程有实数根，令、是方程的两根，则，所以（取），所以中恰有个整数元素为，则，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14.一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人在这项游戏中最多能过_________关；他连过前三关的概率是___________.【答案】【解析】若每次抛掷一颗骰子都能得到最大点数点，则第关抛掷的点数和为，令，则，则当时，数列单调递增；当时，数列单调递减；又，，，当时，，则某人在这项游戏中最多能过关；该人第一关所有可能的结果为，则通过第一关的概率；该人第二关所有可能的结果有种，则不能过关的基本事件个数为的正整数解的个数，则有种，通过第二关的概率；该人第三关所有可能的结果有种，则不能过关的基本事件个数为的正整数解得个数，则有种，通过第三关的概率；连过前三关的概率.故答案：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点.（1）求正三棱柱的表面积；（2）求证：平面平面；（3）求证：直线平面.（1）解：正三棱柱的侧面积为：，底面积为.所以正三棱柱的表面积为：.（2）证明：如图：因为为等边三角形，为的中点，故，又三棱柱为直三棱柱，故平面平面，因为平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（3）证明：连接，交与点，连接.因为四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以，又平面,平面，所以平面.16.某单位组织名职工利用周末和节假日参加社会公益活动，活动内容是：到各社区宣传慰问，倡导文明新风；到指定的社区、车站、码头做义工，帮助哪些需要帮助的人，各位职工根据各自的实际情况，选择了不同的活动项目，相关系数据如下表所示：宣传慰问义工救助总计至岁大于岁总

计（1）用分层抽样的方法在做义工救助的职工中随机抽取名，求在年龄大于岁的职工中，应该抽取几名？（2）在（1）中抽取的名职工中，任取名，求选到的职工的年龄大于岁的数学期望．解：（1）因为参加义工救助的共有人，其中岁以上的共人，抽样比为，故在做义工救助的职工中随机抽取名，在年龄大于岁的职工中，应该抽取名；（2）由（1）可得有三种可能，，则,,则随机变量的分布列为：

则

17.已知的展开式中共有9项.（1）求的值；（2）求展开式中的系数；（3）求二项式系数最大的项.解：（1）由题意得，解得.（2）由（1）可知展开式的通项为.令，解得，则.故展开式中的系数为112.（3）根据题意可得二项式系数最大的项为.18.设的内角所对边的长分别是，且.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为，所以，由余弦定理得，所以由正弦定理可得.因为，，所以，即.（2）由余弦定理得因为，所以.故.19.已知，其中.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求的单调区间；（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．解：（1）由题意得，因为是函数的极值点，所以，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是函数的极值点，即；（2）令，①当时，与的变化情况如下表：000减增减∴的单调递增区间是，的单调递减区间是，②当时，的单调递减区间是