中考数学总复习中考数学专项提升第28讲 与圆有关的位置关系(练习)(解析版)

第六章圆第28讲与圆有关的位置关系TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01点与圆的位置关系👉题型02点与圆上一点的最值问题👉题型03直线与圆的位置关系👉题型04圆与圆的位置关系👉题型05利用切线的性质求解👉题型06证明某直线是圆的切线（有明确的交点）👉题型07证明某直线是圆的切线（无明确的交点）👉题型08切线的性质与判定综合👉题型09作圆的切线👉题型10应用切线长定理求解或证明👉题型11由三角形外接圆求值👉题型12由三角形内切圆求值👉题型13三角形内心有关的应用👉题型14三角形外接圆与内切圆综合👉题型15圆位置关系与函数综合👉题型01点与圆的位置关系1．（2024·黑龙江大庆·二模）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x+4=0的一个根，则点P在（A．⊙O的外部 B．⊙O的内部 C．⊙O上 D．无法判断【答案】B【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，据此解方程求出d=2即可得到答案．【详解】解：解方程x2−4x+4=0得∴d=2<4，∴点P在⊙O的内部，故选：B．2．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（

）

A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键；连接OP，OQ，OM，ON，由线段垂直平分线的性质可得出OP=OQ=ON，据此即可得出结论．【详解】解：连接OP，OQ，OM，ON

∵作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O，∴OP=OQ=ON，∴点P，Q，N在点O为圆心，OP长为半径的圆上，OM与ON的大小关系不能确定，∴点M不一定在圆上，故选：C．3．（2024·上海嘉定·二模）在△ABC中，AB=AC=8，cos∠B=14，以点C为圆心，半径为6A．点A在圆C外，点B在圆C上； B．点A在圆C上，点B在圆C内；C．点A在圆C外，点B在圆C内； D．点A、B都在圆C外．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．由解直角三角形求出BD=2，由等腰三角形的性质求出BC=4，即可判断出点B和点A与⊙C的位置关系，即可得出答案．【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵AB=AC=8，cos∠∴BD=AB×cos∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2BD=4，∵⊙C的半径为6，∵4<6<8，∴点A在圆C外，点B在圆C内；故选：C．👉题型02点与圆上一点的最值问题4．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C0,1为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则A．112 B．6 C．8 D．【答案】A【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得，12×AB×CM=12×OA×BC【详解】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，∵直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、∴令x=0，则y=−3；令y=0，则x=4；∴点A为(4,0)，点B为(0,−3)，∴AB=4∴OA=4，BC=1−−3则由三角形面积公式得，12×AB×CM=12∴5×CM=16，∴CM=165∴圆C上点到直线y=34x−3∴△PAB面积的最小值是12故选：A．5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，AB=10,AD=15，点E是线段AD上的动点，连接CE，点D关于CE的对称点为F，连接AF，则AF的最小值为．【答案】5【分析】连接CF,AC，过点C作CG⊥AD于点G，先根据平行四边形的性质，解Rt△CDG再对Rt△ACG运用勾股定理求得AC=57，由对称确定点F的轨迹，由AF+FC≥AC，确定当A、F、C三点共线时，【详解】解：连接CF,AC，过点C作CG⊥AD于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=10，∴∠ADC=180°−120°=60°，∴DG=DC⋅cos60°=5，∴AG=15−5=10，在Rt△ACG中，利用勾股定理可得AC=5∵点D与点F关于CE对称，∴CF=CD=10，∴点F在以C为圆心，CD为半径的⊙C（平行四边形内部）上，∵AF+FC≥AC，∴当A、F、C三点共线时，AF最小，最小值为AC−CF=57故答案为：57【点睛】本题考查了平行线四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形三边关系确定最值，以及点与圆的位置关系，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=2AB=4，点E为四边形ABCD内一点，连接BE、CE、DE，若∠CBE+∠CDE=45°，则CE的最小值为．（结果保留根号）【答案】4【分析】本题是最小值的问题，考差了点到圆的最小距离．利用条件找到圆画出圆即可解决问题．过点D作DO⊥AB交BA的延长线于点O，则四边形OBCD是边长为4的正方形,由∠CBE+∠CDE=45°，可得到∠OBE+∠ODE=135°，进而可得到∠BED=135°，故点E在四边形ABCD内部以点O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接OE、OC，OC交⊙O于点E'，则OE'=OE=OB=4，OC=42，CE≥OC−OE，即CE≥42−4【详解】解：过点D作DO⊥AB交BA的延长线于点O，则四边形OBCD是边长为4的正方形．∵∠CBE+∠CDE=45°，∴∠OBE+∠ODE=135°，∴∠BED=135°，∴点E在四边形ABCD内部以点O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接OE、OC，OC交⊙O于点E'则OE'=OE=OB=4，OC=4即CE≥42∴当点E在点E'的位置时，CE取得最小值，最小值为4故答案为：42👉题型03直线与圆的位置关系7．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD=8，AB=AD．(1)求AB的长；(2)如果tanC=43，判断直线AB与以点C【答案】(1)45(2)直线AB与⊙C相交，理由见解析．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键．（1）连接AO并延长交BC于点E，连接AD、OB，由AB=AD可得AE⊥BD，进而得∠AEB=∠AEC=90°，BE=12BD=4，利用勾股定理得OE=3（2）直线AB与⊙C相交．过点C作CH⊥AB于H，由三角函数得AECE=43，得到CE=6，进而得【详解】（1）解：连接AO并延长交BC于点E，连接AD、OB，∵AB=AD，∴AE⊥BD，∴∠AEB=∠AEC=90°，BE=1∴OE=O∴AE=AO+OE=5+3=8，∴AB=A（2）解：直线AB与⊙C相交，理由如下：过点C作CH⊥AB于H，∵∠AEC=90°，tanC=∴AECE∴8CE∴CE=6，∴BC=BE+CE=4+6=10，∵S△ABC∴12∴CH=45∴直线AB与⊙C相交．8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数y=1xx>0的图象上的一点，⊙P的半径为2，当⊙P与直线y=x有公共点时，点P的横坐标x

A．1≤x≤2 B．C．2−1≤x≤1 D．【答案】D【分析】如图所示，P1P2即为⊙P与直线y=x有一个公共点的情况，点P只有在线段P1P2上，即符合题意，根据图象的对称性可知，△AP1P2是等腰直角三角形，求得AP1=AP2【详解】解：如图所示，P1P2即为⊙P与直线y=x有一个公共点的情况，点P

根据图象的对称性可知，△AP∵⊙P的半径为2，∴P1∴APP1x0则△AP1P2的中点∴Mx∴x0解得：x0∴P1的横坐标是2−1，P2∴2−1≤x≤故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2024·浙江宁波·三模）如图1，已知Rt△ACB，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，点D、E为边AC，BC上的任意点（不与点A，点B重合），以DE为直径的⊙O交边AB于点F，点G，半径为r，连结CF交DE于点H，连结OF(1)请用含有α的代数式表示出∠OFC；(2)若α=60°，CH∶HF＝2∶1，求CE的长（用含有(3)若DE∥AB，如图2，若⊙O与边AB相交，求(4)若D为AC中点，△CEF是以EF为腰的等腰三角形，求⊙O的半径．【答案】(1)∠OFC=90°−α；(2)2r(3)49(4)2−336或【分析】（1）连结OC，利用圆周角定理和等腰三角形的性质解答即可；（2）连接OC，过点H作HM⊥OF于点M，过点O作ON⊥CF于点N，设HM=x，则FH=2x，再利用直角三角形的边角关系定理得到∠HON=30°，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到△OCE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；（3）过点O作OM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得圆心到AB的距离，再利用直线与圆相交的性质列出不等式解答即可；（4）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当EF=EC时，连结OC，利用垂径定理，线段的垂直平分线的性质，勾股定理和三角形的中位线定理解答即可；②当FE=FC时，过点F作FM⊥AC于M，延长FO交BC于N，连结FD，设AM=x，则MF=CN=NE=2x，MD=1−x，MC=FN=2−x，利用相似三角形的判定与性质求得x值，再利用三角形的中位线定理和，结合图形列出关于r的方程解答即可；③不存在CF=CE的情形．【详解】（1）解：连结OC，如图，∵∠CEF=α，∴∠COF=2α，∵OC=OF，∴∠OFC=∠OCF=180°−∠COF（2）解：连接OC，过点H作HM⊥OF于点M，过点O作ON⊥CF于点N，如图，∵∠FEC=α=60°，∴∠OFC=30°，∴FH=2HM，设HM=x，则FH=2x，∵CH∶HF＝∴CH=4x，∴CF=HF+HC=6x∴FM=F∵ON⊥CF，∴FN=1∴HN=x，ON=3∴tan∠HON=∴∠HON=30°，∴∠HOF=∠HFO=30°，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∵∠OFE+∠OEF=∠HOF=30°，∴∠OFE=15°，∴∠CFE=45°，∴∠COE=90°，∵OC=OE=r，∴CE=2（3）解：过点O作OM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图，∵DE∥∴四边形OMNE为矩形，∴OM=NE，∵DE∥∴△CDE∽△CAB，∴CECB∵DE=2r，∴CE4∴CE=4∴BE=BC−CE=4−4∵sinB=∴EN=BE·sin∴OM=BE=4∵⊙O与边AB相交，∴0<OM<r，∴0<4∴45（4）解：①当EF=EC时，连结OC，如图，∵EF=EC，OF=OC，∴O，E在线段即ED垂直平分CF，∵D为中点，H为中点，∴DE∥AB，E为BC中点，∴CE=1∴DE=C∴r=5②当FE=FC时，过点F作FM⊥AC于M，延长FO交BC于N，连结FD，如图，∵FM⊥AC，AC⊥BC，∴FM∥∴△AMF∽△ACB，∴AMMF∵FC=FE，∴FC=∴FN垂直平分CE，∵FM⊥AC，∠ACB=90°，∴四边形FMCN为矩形，设AM=x，则MF=CN=NE=2x，∴MD=1−x，MC=FN=2−x，∵四边形FDCE为圆的内接四边形，∴∠FDM=∠FEN，∵∠FMD=∠FNE=90°，∴△FMD∽△FNE，∴FMFN即2x2−x解得x=33∵ON为△EDC的中位线，∴ON=1∴r=FN−ON=2−x−1∴即r=2−33③不存在CF=CE的情形；∴综上所述，若D为AC中点，△CEF是以EF为腰的等腰三角形，⊙O的半径r=2−336或【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定与性质，三角函数，添加恰当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．👉题型04圆与圆的位置关系10．（2024·上海·三模）如图，已知⊙O1和⊙O2外切，半径长分别为1cm和3cm．如果半径长是5cm的⊙O与⊙O1、⊙OA．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆相切分为外切合内切两种情况，据此分⊙O与⊙O1和⊙O2一内切和一外切，⊙O与⊙O1和⊙O【详解】解：如图所示，⊙O与⊙O1和⊙O2一内切和一外切有两种情况，⊙O与⊙O1和⊙O故选：C．11．（2024·四川德阳·二模）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=48cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙B以每秒3cm的速度自右向左运动，与此同时，⊙A的半径不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系为r=1+2t（t≥0【答案】465，485，48【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，一元一次方程的应用，根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，分两次首次外切，首次内切，再次内切，最后外切四种情况考虑，即可作答．【详解】①当首次外切时，如图，有1+2t+3t+1=48，解得：t=46②当首次内切时，如图，有1+2t+3t−1=48，解得：t=48③当再次内切时，如图，有3t+1−1+2t解得：t=48；④当再次外切时，如图，有3t−1−1+2t解得：t=50；∴当点B出发后465秒、485秒、48秒和故答案为：465，485，48，12．（2024·上海静安·三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边△ABC的边长为20cm，分别以A、B、C为圆心，AB为半径作BC、AC、AB(1)若Q为BC上任意一点，则MQ的最小值为______cm，最大值为______cm．(2)转子沿圆P转动时，始终保持⊙M与⊙P相切，⊙M的半径为8cm，⊙P的半径为5cm，当圆心P在线段AM的延长线上时，求【答案】(1)20−203(2)427【分析】本题考查了解直角三角形，圆与圆的位置关系，（1）过点M作MD⊥BC交BC于点D，交BC于点E，解Rt△BDM，求得BM，进而根据点Q（2）根据题意画出图形，根据两圆的位置关系可得PM=3，进而根据勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点M作MD⊥BC交BC于点D，交BC于点E，∵等边△ABC的边长为20cm，M为△ABC∴∠MBD=30°，BD=1∴BM=BD又∵MB=MA,AE=AB=20，∴当Q点在E点时，MQ取得最小值，最小值为ME=AE−AM=20−当Q点在B或C点时，MQ取的最大值，最大值为MB=（2）解：如图所示，由（1）可得BD=10，则DM=∴PM=8−5=3∴DP=DM−PM=∴B=100+=427👉题型05利用切线的性质求解13．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，点B4,3在⊙A上，若⊙A与y轴相切，则⊙A的半径为【答案】25【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，坐标与图形性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，设⊙A的半径为r，则OA=AB=r，AC=4−r，在Rt△ABC【详解】解：如图，连接AB，过点C作BC⊥OA，∵B4,3∴BC=3，OC=4，设⊙A的半径为r，则OA=AB=r，∴AC=4−r，在Rt△ABC中，由勾股定理得，A∴r2解得：r=25故答案为：25814．（2012·北京海淀·中考模拟）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（）A．−2≤x≤2 B．0≤x≤2 C．【答案】B【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，平行线的性质，勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是求出相切时的x值，即可分析出x的取值范围．根据题意，由直线和圆有公共点得相切或相交，相切时，设切点为C，连接OC，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是2，所以x的取值范围是0≤x≤2【详解】解：设切点为C，连接OC，则：圆的半径OC=1，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA∥∴∠OPC=45°，∴△OCP为等腰直角三角形，∴PC=OC=1，∴OP=1同理，原点左侧的距离也是2，且线段是正数，所以x的取值范围是0≤x≤2故选：B．15．（2025·山东临沂·一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，直径AD⊥BC于E，过点A作⊙O的切线AF与∠ABC的平分线交于点F，BF交AC于点G，交AD于点H，交⊙O于点M，连接AM．(1)求证：∠ACB=2∠ABF；(2)若tan∠AMB=2，BC=2，求CG【答案】(1)见解析(2)CG=10−4【分析】（1）证明BE=CE，∠AEB=∠AEC=90°，可得△AEB≌△AECSAS，可得∠ABC=∠ACB，结合BF（2）求解BE=CE=1，结合tan∠AMB=tan∠ACB=AECE=2，可得AB=AC=5，证明AF【详解】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，∴BE=CE，∠AEB=∠AEC=90°，又∵AE=AE，∴△AEB≌∴∠ABC=∠ACB，又∵BF平分∠ABC，∴2∠ABF=∠ABC=∠ACB．（2）解：∵BC=2，由（1）得BE=CE，∴BE=CE=1，又∵∠AMB=∠ACB，∴在Rt△ACE中，∴AE=2，∴AC=A∴AB=AC=5又∵AF是⊙O的切线，∴DA⊥AF即∠DAF=90°，又∵∠AEC=90°，∴AF∥∴∠F=∠FBC=∠ABF，∴AB=AC=AF=5∵AF∥∴△AGF∽∴AGCG∴5−CG解得：CG=10−45【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．👉题型06证明某直线是圆的切线（有明确的交点）16．（2025·广西柳州·一模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，AD=CD，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若BD=8，⊙O的半径为5，求DE的长．【答案】(1)证明见解析(2)24【分析】（1）如图，连接OD，AC，由AD=CD，OD是半径，可得OD⊥AC，由AB是⊙O的直径，可得AC⊥BC，则（2）由勾股定理得，AD=6，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°=∠DEB，证明△ABD∽△DBE，则ADDE【详解】（1）证明：如图，连接OD，AC，∵AD=CD，OD∴OD⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴OD∥∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由题意知，AB=10，由勾股定理得，AD=A∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°=∠DEB；∵AD=∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽∴ADDE=AB解得，DE=24∴DE的长为245【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明切线与相似是解题的关键．17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)证明见解析(2)AD=【分析】本题考查圆的切线，圆周角定理、相似三角形的判定及性质；（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA=OC，可得∠DAC=∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，得CO⊥DC，即可证明CD是（2）由OE是△ABC的中位线，得AC=12，再证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO．∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6 cm∴AC=12 cm∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC=∴AD=3618．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB=22，BC=2【答案】(1)直线CE与⊙O相切，见解析(2)6【分析】本题考查切线的判定，矩形的性质，三角函数解直角三角形，勾股定理等：（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在Rt△ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=2，然后根据勾股定理求得AC=6，同理知DE=1；在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO【详解】（1）解：（1）直线CE与⊙O相切．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE．连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE．∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AEO+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．（2）解：∵tan∠ACB=ABBC∴AB=BC⋅tan∴AC=A又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=∵矩形ABCD中，DC=AB=2∴DE=DC⋅tan在Rt△CDE中，CE=设⊙O的半径为r，CO即6解得：r=6即⊙O的半径为64👉题型07证明某直线是圆的切线（无明确的交点）19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△BCE中，BC⊥BE，点A在BE上，以AB为直径的⊙O交CO的延长线于点G，过点E作EF⊥CG于点F，∠FEB=∠ECG．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若BCBE=4【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）过圆心O作OD⊥CE，垂足为D，证明CG是∠BCE的角平分线，根据角平分线的性质得出OD=OB，说明OD是⊙O的半径，即可证明结论；（2）设BC=4k，BE=3kk≠0，求出EC=5k，根据切线长定理得出CD=CB=4k，求出DE=k，根据tan∠BEC=DODE=【详解】（1）证明：如图，过圆心O作OD⊥CE，垂足为D，∵BC⊥BE，EF⊥CG，∴∠CBO=∠EFO=90°，∴∠BOC=∠EOF，∴∠FEB=∠BCO，∵∠FEB=∠ECG，∴∠BCO=∠ECG，即CG是∠BCE的角平分线∵OD⊥CE，OB⊥BC，∴OD=OB，即OD是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵BCBE=43，可设∴EC=5k，由（1）知CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD=CB=4k，∴DE=k，在Rt△DEO和Rt△BEC中，即DO∴DO=4∵DO=BO，∴BO=4∴tan∠BCO=【点睛】本题主要考查了切线的判定定理和性质定理，解直角三角形，求一个角的正切值，角平分线的性质，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定定理和性质定理．20．（2023·广东江门·一模）如图，点O在∠MPN的平分线上，⊙O与PO相交于点C．与PO的延长线相交于点D，与PM相切于点A．(1)求证：直线PN是⊙O的切线；(2)若PA=4,PC=2，求⊙O的半径；(3)点G是劣弧AC上一点，过点G作⊙O的切线分别交PM,PN于点E，F，若△PEF的周长是⊙O半径的3倍，求tan∠EPF【答案】(1)见解析(2)3(3)12【分析】（1）连接OA，过O作OB⊥PN于B，根据切线的性质可得OA⊥PM，再由角平分线的性质可得OB=OA，即可；（2）设⊙O的半径是x，在Rt△AOP（3）延长BO交PM于点H，设⊙O的半径为r，根据切线长定理可得BF=FG,AE=EG,PA=PB，从而得到2PA=3r，设PA=3a,则r=2a，再证得∠AOH=∠BPH，可得tan∠AOH=tan∠EPF，从而得到OH=【详解】（1）证明：如图1，连接OA，过O作OB⊥PN于B，∵⊙O与PM相切于点A，∴OA⊥PM，∵点O在∠MPN的平分线上，∴OB=OA，∴直线PN是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径是x，在Rt△AOP中，O∴x+22解得：x=3，所以⊙O的半径为3；（3）解：如图2，延长BO交PM于点H，设⊙O的半径为r，∵PA,PB,EF是⊙O的切线，∴BF=FG,AE=EG,PA=PB，∴△PEF的周长=PF+EF+PE=PF+BF+PE+AE=PA+PB=2PA=3r，∴PAr设PA=3a,则r=2a，∵∠PBH=∠OAH=90°，∴∠BPH+∠BHP=∠OHA+∠AOH，∴∠AOH=∠BPH，∴tan∠AOH=∴AHOA=BH∴OH=3AH−4a∵OH∴3AH−4a2∴5AH∴AH=24∴tan∠EPF=【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理是解题的关键．👉题型08切线的性质与判定综合21．（2024·河北·模拟预测）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，延长CA至点D，使AD=8，连接BD，以AD为直径的☉O绕点A(1)如图2，☉O旋转°时，☉O与AC(2)在（1）的条件下，判断☉O与BD的位置关系并加以证明(3)如图3，若☉O与BC相切于点M，与CA相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值【答案】(1)90(2)☉O与BD(3)40【分析】（1）根据旋转的性质结合圆的切线可得答案；（2）证明四边形ACBD为矩形，可得∠ADB=90°，可得BD是⊙O的切线；（3）如图，连接OM，则OM⊥BC，作OE⊥AC于E，证明四边形OMCE为矩形，可得OM=CE=12AD=4，证明△AON【详解】（1）解：当⊙O与AC相切时，∴AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴旋转角为180°−90°=90°；（2）解：BD与⊙O相切，理由如下：∵AD⊥AC，∠ACB=90°，∴AD∥∵AD=BC=8，∴四边形ACBD为矩形，∴∠ADB=90°，∵AD为直径，∴BD是⊙O的切线．（3）解：如图，连接OM，则OM⊥BC，作OE⊥AC于E，而∠C=90°，∴四边形OMCE为矩形，∴OM=CE=12AD=4∴AE=6−4=2，∴NE=AE=2，∴AN=4=OA=ON，∴△AON为等边三角形，∴∠AON=60°，∴S阴影【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握基础知识是解本题的关键．22．（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明．添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，MN⊥EF，垂足为O，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，OF上滑动，当点B恰好落在⊙O上时，∠PBO=12∠PAO，请判断此时AP小王的解题思路如下：AP与⊙O相切．理由：连接OP．∵点B恰好落在⊙O上，∴∠PBO=1∵∠PBO=1∴∠POE=∠PAO．∵MN⊥EF，∴∠POE+∠AOP=90°，∴∠PAO+∠AOP=90°．∵∠PAO+∠AOP+∠APO=180°，（依据2）∴∠APO=90°，∴AP与⊙O相切．任务：(1)依据1：_____________________________．依据2：________________________________．(2)在图2中，⊙O的半径为6，AP=8，求BP的长．【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于180°(2)BP=【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出∠APO=90°，根据切线的判定定理即可得解；（2）过点P作PD⊥OE于点D，根据直角三角形的性质及角的和差求出∠POD=∠PAO，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△PDO∽△OPA，根据相似三角形的性质求出PDPO=OPOA=ODAP【详解】（1）解：（1）如图2，连接OP．∵点B恰好落在⊙O上，∴∠PBO=1∵∠PBO=1∴∠POE=∠PAO．∵MN⊥EF，∴∠POE+∠AOP=90°，∴∠PAO+∠AOP=90°．∵∠PAO+∠AOP+∠APO=180°（三角形内角和是180°)，∴∠APO=90°，∴AP与⊙O相切．故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是180°；（2）解：如图2，过点P作PD⊥OE于点D，∴∠PDO=90°，∵AP与⊙O相切，∴∠APO=90°=∠PDO，∴∠PAO+∠AOP=90°，∵∠POD+∠AOP=90°，∴∠POD=∠PAO，∴△PDO∽△OPA，∴PDPO∵∠APO=90°，AP=8，OP=6，∴OA=A∴PD6∴PD=185，∴BD=BO+OD=6+24∴BP=B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的内角和定理等，熟记相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质是解题的关键．23．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；(3)若AC=16，tan∠BAC=43【答案】(1)见解析(2)见解析(3)72【分析】（1）连接OD，由切线的性质可知∠ODC=90°．证明△OBC≌△ODC得出∠OBC=∠ODC=90°，即OB⊥CB，说明BC是圆O的切线；（2）证明△AOD∽△ACB得出AOAC=AD（3）设AB=3x，则BC=4x．由勾股定理求出x的值，得出AB=485，BC=645．由tan∠BAC=ODAD=43，可设OD=4y，则OB=4y，AD=3y，即可求出OA=5y，从而得出AB=9y=485，解出y的值，即可求出OB=6415，即【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵AC与圆O相切于点D，∴OD⊥AC，即∠ODC=90°，∵BC=CD，∴△OBC≌△ODCSSS∴∠OBC=∠ODC=90°，即OB⊥CB，∴BC是圆O的切线；（2）证明：∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°．∵∠OBC=90°，∴∠ADO=∠ABC．又∵∠BAC=∠DAO，∴△AOD∽△ACB，∴AO∴AO⋅AB=AC⋅AD；（3）解：∵∠OBC=90°，∴tan设AB=3x，则BC=4x．∵AB∴（解得：x=165（∴AB=48∵OD⊥AC，∴tan设OD=4y，则OB=4y，∴OA=O∴AB=OA+OB=9y=48解得：y=16∴OB=6415，即⊙O半径为∵F是AC中点，∴AF=CF=BF=1∴∠ABF=∠BAF．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠ABF=∠BAF=∠OBE=∠OEB，∴△OBE∽△FBA，∴BEAB=解得：BE=128∴EF=BF−EF=8−128【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．👉题型09作圆的切线24．（2024·广东东莞·三模）已知：点P是⊙O外一点．(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（PE=PF，OP平分∠EPF【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）①连接PO，分别以点P,O为圆心，大于12PO的长为半径画圆，两圆交于点M,N两点，作直线MN交OP于点A，②以点A为圆心，OA为半径画圆，与⊙O交于E,F两点，作直线（2）根据切线的性质得出∠PEO=∠PFO=90°，根据四边形内角和得出∠EOF=150°，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】（1）解：如图所示，PE，PF即为所求，证明：连接OE，OF，∵PO是圆A的直径，∴∠PEO=∴PE⊥OE，PF⊥OF，∵OE、OF是⊙O的半径，∴PE、PF是⊙O的切线；（2）证明：连接OE，OF，∵PE、PF是⊙O的切线，∴PE⊥OE，PF⊥OF，在Rt△PEO和RtPO=POOE=OF∴Rt∴PE=PF，∠OPE=∴PO平分∠EPF【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，尺规作线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点．(1)请按要求作出图形：在直径AB上截取AE=AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交射线CE于点D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)证明（1）中的直线BD为⊙O的切线；(3)在（1）的条件下，若∠ABC=2∠CDB，求AEBE【答案】(1)作图见详解；(2)见解析；(3)AE【分析】（1）在直径AB上截取AE=AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交射线CE于点D，即可求解；（2）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和等量代换的性质计算得到∠OBD=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可；（3）设∠D=x，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和三角形的外角的性质计算得到∠ABF=∠FBC+∠ABC=4x=90°，则得到△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质分别求得AE，BE，代入化简即可得出结论．【详解】（1）解：在直径AB上截取AE=AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交射线CE于点D，如图，（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，∵∠AEC=∠BED，∴∠ACE=∠BED，∵BC=BD，∴∠BCE=∠D，∴∠BED+∠D=90°，∴∠OBD=90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半径，∴直线BD为⊙O的切线；（3）解：设∠D=x，∵∠ABC=2∠CDB，∴∠ABC=2x，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D=x，∴∠FBC=∠BCD+∠D=2x，∴∠FBC=∠ABC=2x，∴∠ABF=∠FBC+∠ABC=4x=90°，解得：2x=45°，即∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC=AE=2∴BE=AB−AE=AB−2∴AEBE【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．26．（2024·辽宁·模拟预测）《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点M．求作：直线MN，使MN与⊙O相切于点N．”小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：①连接OM，分别以点O，M为圆心，以的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B两点(点A，B分别位于直线OM的上下两侧)；②作直线，交OM于点C；③以点C为圆心，长为半径作⊙C，交⊙O于点N(点N位于直线OM的上侧)；④连接MN，交AB于点D，则直线MN即为所求；(1)请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线MN是⊙O切线的理由；(2)李老师夸奖了小星的作图方法，同时在(1)的图形中延长MO交⊙O于点E，过点E作EF∥ON交MN的延长线于点F，连接EN，并增加条件：FN=22，EN=26，【答案】(1)大于12OM；AB；OC；(2)ND=21【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；先根据圆周角定理的推论得到∠ONM=90°，然后根据切线的判定定理得到直线MN为切线；（2）连接OD，由勾股定理求出EF的长，在Rt△MEF和Rt△MON中，利用正切函数的定义先后求得MN=62，ON=3，由作图可知直线AB是线段OM的垂直平分线，设ND=x，则DO=DM=6【详解】（1）解：①连接OM，分别以点O，M为圆心，以大于12OM的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B两点(点A，B分别位于直线②作直线AB，交OM于点C；③以点C为圆心，OC长为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点N(点N位于直线OM的上侧)；④连接MN，交AB于点D，则直线MN即为所求；按照步骤完成作图如下．由题意得：OM为⊙C的直径，∴∠ONM=90°(直径所对的圆周角为90°)，∴ON⊥MN，∵ON为⊙O的半径，∴直线MN为⊙O的切线；（2）解：连接OD，∵∠ONM=90°，EF∥∴∠F=90°，∵FN=22，EN=2∴EF=E在Rt△MEF中，tan∴EFFM∴FM=82∴MN=62在Rt△MON中，tan∴ONMN∴ON=3，由作图知直线AB是线段OM的垂直平分线，∴DO=DM，设ND=x，则DO=DM=62在Rt△DON中，ON2解得x=21∴ND=21【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质，正切函数．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．👉题型10应用切线长定理求解或证明27．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆O相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．(1)求证：BA=BD；(2)若∠ABE=60°，①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外）②AB=6，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)①圆上；②6【分析】（1）证明BA是半圆O的切线，切点为A，由切线长定理可得BA=BD．（2）①由∠ABE=60°，可得∠BEA=30°．由BA，BE是圆O的切线．可得∠OBE=12∠ABE=30°=∠OEB．则OB=OE．证明△OBA≌△OEFAAS．则OF=OA．进而可得点②如图，连接OD，由BE与半圆相切于点D，可得OD⊥BE，进而可得DE=BD=AB=6，∠OBA=∠OBD=30°，OD=OA=AB⋅tan30°=23【详解】（1）证明：∵AM⊥AB，OA是半径，∴BA是半圆O的切线，切点为A．又∵BE与半圆O相切于点D，∴BA=BD．（2）①解：∵∠ABE=60°，∴∠BEA=30°．∵BA，BE是圆O的切线．∴∠OBE=1∴OB=OE．又∵∠AOB=∠FOE，∠A=∠F=90°，∴△OBA≌△OEFAAS∴OF=OA．∴点F在半圆O所在的圆上，故答案为：圆上．②解：如图，连接OD，∵BE与半圆相切于点D，∴OD⊥BE，∵OB=OE，∴DE=BD=AB=6，∵∠OBA=∠OBD=30°，∴OD=OA=AB⋅tan∵∠COD=90°−∠OEB=60°∴S阴影∴阴影部分的面积为63【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，扇形面积，正切，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，扇形面积，正切，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．28．（2024·山西·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，AB=10，AC=6．CP与⊙O相切时，连接CP，求BP的长．【答案】BP=【分析】本题考查了切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．连接OP，BC，OC，得到∠ACB=90°，根据勾股定理求出CB=8，根据切线长定理可得PC=PB，OC=OB，推出OP垂直平分BC，证明△BPO∽△CBA，得到BP:CB=BO:AC，即可求解．【详解】解：如图，连接OP，BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴CB=AB∵PB⊥AB，∴PB为⊙O的切线．∵CP与⊙O相切，∴PC=PB，OC=OB，

∴OP垂直平分BC，∵∠PBC+∠ABC=90°，∠PBC+∠BPO=90°，∴∠BPO=∠ABC，∵∠PBO=∠ACB，∴△BPO∽△CBA，

∴BP:CB=BO:AC，即BP:8=5:6．

∴BP=2029．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作射线l⊥AB，点P为l上一个动点，点C为⊙O上异于点A的一点，且PA=PC，过点B作AB的垂线交PC的延长线于点D，连接AD．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若AP=4BD，求sin∠BAD【答案】(1)见解析(2)sin【分析】（1）连接OP、OC，证明△OPA≌△OPCSSS，求得∠OAP=∠OCP=90°，据此即可证明PC为⊙O（2）过点D作DG⊥AP，设BD=a，求得PD=5a，PG=3a，利用勾股定理求得AB=DG=4a，再求得AD=17【详解】（1）证明：连接OP、OC，∵AB是⊙O的直径，过点A作射线l⊥AB，∴∠OAP=90°，∵PA=PC，OA=OC，OP=OP，∴△OPA≌△OPCSSS∴∠OAP=∠OCP=90°，即OC⊥PD，∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线；（2）解：过点D作DG⊥AP，垂足为点G，设BD=a，∴AP=4BD=4a，∵BD⊥AB，∴BD为⊙O的切线，∵PC、PA、BD为⊙O的切线，∴PA=PC，DC=DB，∴PD=PC+CD=5a，∵射线l⊥AB，DG⊥AP，BD⊥AB，∴∠GAB=∠AGD=∠ABD=90°，∴四边形ABDG是矩形，∴AG=BD=a，AB=DG，∴PG=PA−AG=3a，在Rt△DPG中，DG=∴AB=DG=4a，在Rt△ABD中，AD=∴sin∠BAD=【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．30．（2024·湖南长沙·模拟预测）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA=34【答案】(1)33°(2)见解析(3)4【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义；（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）连接CD，则∠ADC=90°，根据切线长定理得到DE=CE，则∠EDC=∠ECD，得到∠A=∠ADE，即可求解；（3）根据tan∠DCB=tan∠A=34=BDCD，设BD=3x，CD=4x，则BC=BM=5x，再依据tan∠A=34【详解】（1）由题意知，BC=BM，∵∠ABC=66°，∴∠BMC=∠BCM=57°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM=∠ACB−∠BCM=90°−57°=33°；（2）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AC为过C点的切线，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CE；（3）连接CD，由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°−∠B，∴tan∠DCB=∴设BD=3x，CD=4x，则BC=BM=5x，∵tan∠A=∴AD=16x3，∴AB=BD+AD=25x∴AM=AB−BC=10∴S△ACMS△ADE∴S△ADE👉题型11由三角形外接圆求值31．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是9×9的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆．(1)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图：①确定△ABC的外接圆的圆心O；②作出过点C的切线，与AB的延长线交于点D；（上述两问都要保留作图痕迹）(2)求ABC的长和CD的长．【答案】(1)见解析(2)ABC的长为52π【分析】（1）①利用网格的特点，分别作线段AC，BC的垂直平分线，相交于点②利用网格的特点，作出等腰直角三角形OCF，得到∠OCF=90°，据此即可得解；（2）利用勾股定理及其逆定理求得△AOC是等腰直角三角形，且∠AOC=90°，利用弧长公式可求得ABC的长；证明△EFD∽△BCD，利用相似三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】（1）解：①如图，分别作线段AC，BC的垂直平分线，相交于点则点O即为所求．②如图，连接OC，过点C作OC的垂线，交AB的延长线于点D，则CD即为所求．；（2）解：连接OA，由勾股定理得，OA=OC=22+∴OA∴△AOC是等腰直角三角形，且∠AOC=90°，∴ABC的长为90π×5由网格的特点知，EF∥∴△EFD∽△BCD，∴DF∴CD∵CF=2∴CD=2【点睛】本题考查三角形的外接圆、弧长公式和圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．32．（2023·广东湛江·模拟预测）如图，已知△ABC．(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若AB=2，∠ACB=45°，求⊙O【答案】(1)图见解析(2)⊙O的半径为1【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，连接OA．以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；（2）由圆周角定理求出∠AOB=90°，然后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，⊙O即为所求．（2）解：连接OB．由题意得，OA=OB=r，∵AB=AB，∴∠AOB=90°．在Rt△AOB中，O∵AB＝∴OA=OB=1，∴⊙O的半径为1．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．33．（2023·河北秦皇岛·一模）在△ABC中，∠B=45∘，AB=6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（

甲：AC=4；乙：AC=8；丙：△ABC的外接圆半径为4A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙【答案】B【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键．根据题意画出图形，使∠B=45∘，AB=6，点C在射线BE上，作AD⊥BE于点D，根据等腰直角三角形的性质可得AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断甲乙；由AD和AB的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在AB【详解】解：如图，∠B=45∘，AB=6，点C在射线BE上，作AD⊥BE于点D∴AD=BD=22∵32∴不存在AC=4的△ABC，故甲不符合题意；∵AB=6，AD=32，AC=8而AC>6，∴存在AC=8的△ABC，使得BC的长唯一成立，如上图中的点C即是，故乙符合题意；∵AD=32>4，当△ABC的外接圆半径为4时，如图，∵∠B=45∘，∴∠AOC=90°，∴AC=42∵4<32∴存在两个C使△ABC的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在AB的上、下两侧，故丙不符合题意；综上所述，只有乙符合题意．故选：B．👉题型12由三角形内切圆求值34．（2024·四川乐山·二模）已知△ABC，如图所示．(1)用无刻度直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.2cm，求【答案】(1)见解析(2)8.4【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点，（2）解：如图所示，连接OA，OB，∵内切圆的半径为1.2cm，∴OD=OF=OE=1.2cm∵△ABC的周长为14cm∴AB+BC+AC=14cm则S=故△ABC的面积为8.4cm【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．35．（2024·湖北武汉·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=20，BC=21，CA=13，则下列说法不正确的是（

）A．∠EDF=∠A B．∠EOF=∠B+∠CC．BD=14 D．OE=【答案】A【分析】根据切线的性质可得∠A+∠EOF=180°，由三角形的内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设AE=AF=x，BD=BF=y，CD=CE=z，由AB=AF+BF=20，BC=BD+CD=21，CA=AE+CE=13，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作CH⊥AB于点H，根据勾股定理得到CH2=AC2−AH2=BC2−BH2，构造方程可求出CH=635，得到S△ABC【详解】解：∵AB，AC是⊙O的切线，∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴∠AFO=∠AEO=90°，∴∠A+∠EOF=360°−∠AEO−∠AFO=360°−90°−90°=180°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠EOF=∠B+∠C，故B选项正确；∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AE=AF，BD=BF，CD=CE，∵AB=AF+BF=20，BC=BD+CD=21，CA=AE+CE=13，设AE=AF=x，BD=BF=y，CD=CE=z，∴x+y=20y+z=21x+z=13，解得∴AE=AF=6，BD=BF=14，CD=CE=7，故C选项正确；过点C作CH⊥AB于点H，∴∠AHC=∠BHC=90°，设AH=n，则BH=AB−AH=20−n，∵在Rt△ACH中，C在Rt△BCH中，C∴132−n∴CH=63∴S△ABC连接AO， BO，CO，DO设⊙O的半径为r，即EO=FO=DO=r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，∴S△ABC∴27r=126，解得：r=14∴EO=FO=DO=14∵CH=635，∴sin∠CAB=∴∠CAB≠60°∵EF=∴∠EOF=2∠EDF，∵∠CAB+∠EOF=180°∴∠CAB+2∠EDF=180°，若∠EDF=∠CAB成立，则∠CAB=60°，这与∠CAB≠60°矛盾，∴∠EDF=∠CAB不成立，故A选项错误．故选：A【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键．36．（2024·广东广州·一模）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE=α，则AF+CD−AC的值和∠A的大小分别为（

）A．0，180°−2α B．r，180°−αC．2r，90°−α D．3r【答案】A【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接IF,IE．利用切线长定理，可得AF=AE,CD=CE,IF⊥AB,IE⊥AC，从而得到【详解】解：如图，连接IF,IE．∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AF=AE,CD=CE,∴AF+CD−AC=AE+CE−AC=AC−AC=0,∴∠EIF=2∠EDF=2α，∴∠A=360°−∠AFI−∠AEI−∠EIF=180°−2α．故选：A👉题型13三角形内心有关的应用37．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是Rt△ABC的内心．点P到边AB的距离为【答案】2【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接AP，BP，CP，过点P分别作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC于点D，E，F，根据S△ABC=12×8×6=24【详解】解：如图，连接AP，BP，CP，过点P分别作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC于点D，E，F，在Rt△ABC∵∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∴BC=A∵P是Rt△ABC∴PD=PE=PF，∵S∴12∴PD=2，∴点P到边AB的距离为2；故答案为：2．38．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=5，AB=7，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，过O作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，则DE的长为（

）A．26 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为N,K,H，连接ON，OH，OK，过A作AT⊥BC于T，利用内切圆的性质求解GT=OK=r，AF=3r，再利用相似三角形的性质解得即可．【详解】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为N,K,H，连接ON，OH，OK，过A作AT⊥BC于T，∴ON=OH=OK=r，OK⊥BC，∵DE∥∴∠KOG=180°−90°=90°=∠OGT，∴四边形OKTG为矩形，∴GT=OK=r，∴12∴AT=3r，∴AG=3r−r=2r，∵DE∥∴△ADE∽△ABC，∴AGAT∴DE=2故选:B【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．39．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=8，tan∠ABC=43，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解直角三角形．设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知AF=AG，根据DE是⊙O的切线，可得【详解】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F、H、G，连接OF、OH、OG，∴四边形OHCG是正方形，

由切线长定理可知AF=AG，∵DE是⊙O的切线，∴MD=DF，EM=EG，∵∠ACB=90°，AC=8，tan∠ABC=∴8BC解得BC=6，∴AB=A∵⊙O是△ABC的内切圆，H、G为切点，∴OH⊥BC，OG⊥AC，∵∠ACB=90°，∴四边形OHCG是矩形，∵OH=OG，∴四边形OHCG是正方形，设内切圆的半径为x，∴CH=CG=x，∴BH=6−x=BF，AG=8−x=AF，∴6−x+8−x=10，解得x=2，∴AF=AG=6，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=6+6=12．故选：B．👉题型14三角形外接圆与内切圆综合40．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(1)求证：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．【答案】(1)见解析；(2)AI=4．【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；（2）连接EC，由△ADB∽△CDE，可得BDDE=ADDC=ABEC=2，设DE=m，CD=n，则BD=2m，AD=2n，同法可证：△ADC∽△BDE，推出ADBD=ACBE，推出2n2m=32，推出【详解】（1）∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；（2）连接EC．∵∠BAE=∠CAE，∴BE∴BE=EC=4，∵∠ADB=∠CDE，∠BAD=∠DCE，∴△ADB∽△CDE，∴BDDE=ADDC=ABEC=2同法可证：△ADC∽△BDE，∴AD∴2n∴n：m=3：2，设n=3k，m=2k，∵∠CED=∠AEC，∠ECD=∠BAE=∠CAE，∴△ECD∽△EAC，∴EC∴16=m⋅m+2n∴16=2k∴k=1或−1(舍弃)，∴DE=2，AD=6，∴AE=8，∵EI=BE=4，∴AI=AE−EI=4．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．41．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC=20°，则∠CAI=°．【答案】35【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BOC=140°，进而由圆周角定理得∠BAC=12∠BOC=70°【详解】连接OC，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=20°，∴∠BOC=180°−2×20°=140°，∴∠BAC=1∵点I是△ABC的内心，∴∠CAI=1故答案为：35．42．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是

（1）点P到边AB的距离为；（2）Q是Rt△ABC的外心，连接PQ，则PQ的长为【答案】25【分析】（1）连接AP，BP，CP，过点P分别作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC于点D，E，F，根据SΔABC=12（2）连接PQ，证明△ADP≌△AFP，可得AD=AF=4，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图，连接AP，BP，CP，过点P分别作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC于点D，E，F，

在Rt△∵∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∴BC=A∵P是Rt△∴PD=PE=PF，∵S∴12∴PD=2，∴点P到边AB的距离为2；故答案为：2；（2）如图，连接PQ，由1.知，PD=PE=2，∵PE⊥BC，PD⊥AB，∴四边形BEPD是正方形，∴BE=BD=PD=PE=2，∵AB=6∴AD=4，在△ADP和△AFP中，∠DAP=∠FAP∠ADP=∠AFP=90°∴△ADP≌△AFP（AAS），∴AD=AF=4，∵Q是Rt△ABC∴AQ=5，∴FQ=1，在Rt△PQ=P故答案为：2；5．【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别．👉题型15圆位置关系与函数综合43．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，AB=5A．32 B．3 C．62【答案】D【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得B(1,k)，A(k,1)，再列式AB=(k−1)2+(1−k)2【详解】解：根据题意可知，把x=1代入y=kx，得把y=1代入y=kx，得∴B(1,k)，A(k,1)，∴AB=(k−1)∵AB=52∴2(k−1)∴k−1=±5，解得k=6或k=−4（k>0，故舍去），故选：D44．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点Px1,y1是图形G1上的任意一点，点Qx2,y2是图形G2上的任意一点，若存在直线l∶y=kx+bk≠0满足y1≤kx1(1)在直线①y=−2x，②y=4x−1，③y=−2x+3，④y=−3x−1中，是图1函数y=6x(x<0)(2)如图2，第一象限的等腰直角△EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是2,1，△EDF与⊙O的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点M(2,t)是此正方形的中心，若存在直线y=−2x+b【答案】(1)①④；(2)y=−2x+5；(3)t≤−7或t≥9．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为y=−3x或y=−3x−1与双曲线y=6x(x<0)（2）先作出以原点O为圆心且经过△EDF的顶点D的圆，再过点D作⊙O的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t的取值范围即可．【详解】（1）解：如图，从图可知，y=−2x与双曲线y=6x(x<0)和正方形OABC只有一个公共点，y=−3x−1与双曲线y=6x(x<0)和正方形OABC没有公共点，y=4x−1、y=−2x+3不在双曲线y=6x(x<0)及正方形ABCD故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD，以O为圆心，OD长为半径作⊙O，作DG⊥x轴于点G，过点D作⊙O的切线DM，则MD⊥OD，∵MD⊥OD，DG⊥x轴，∴∠ODM=∠OGD=90°，∴∠MOD+∠OMD=90°，∵∠MOD+∠DOG=90°，∴∠OMD=∠DOG，∴tan∠OMD=∵D2,1∴DG=1，OG=2，∴tan∠OMD=tan∠DOG=∵tan∠OMD=∴5DM∴∴MN=1∴OM=O∴M0,5设直线MD的解析式为y=mx+n，把M0,5、Dn=52m+n=1解得m=−2n=5∴y=−2x+5，∴△EDF与⊙O的“楚河汉界线”为y=−2x+5；（3）解：由y=−2x+by=−x2∵直线与抛物线有唯一公共点，∴△=0，∴16−4b+12=0，解得b=7，∴此时的“楚河汉界线”为y=−2x+7，当正方形A1B1∵点M2,t∴顶点A1∵顶点A10,t−2不能在直线y=−2x+7下方，得解得t≥9；当正方形A1B1对于抛物线y=−x2+2x+3，当x=0时，y=3；当x=4∴直线y=−2x+3恰好经过点0,3和点4,−5；对于直线y=−2x+3，当x=4时，y=−5，由C12,t+2不能在直线得t+2≤−5，解得t≤−7；综上所述，t≤−7或t≥9．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．45．（2024·浙江温州·二模）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=8，AD=2，点E在AB上，作EF∥CD交BC于点F，点G为CD上一点，且DGCF=35，如图2，作△EFG的外接圆交CD于点H，连结EH，

(1)求CD的长；(2)求y关于x的函数表达式；(3)当CF与△EFH的一边相等时，求满足所有条件的BE的长．【答案】(1)10(2)y=−(3)BE的值为4或8827或【分析】（1）作DM⊥BC于点M，可证四边形ABMD是矩形，可求出DM,CM的值，在Rt△CDM（2）根据题意可证△BEF∽△MDC，分别用含x的式子表示BF，用含y的式子表示CF，根据