中考数学总复习中考数学专项提升第28讲 与圆有关的位置关系(讲义5考点+1命题点15种题型(含5种解题技巧))(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第六章圆第28讲与圆有关的位置关系（思维导图+5考点+1命题点15种题型（含5种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一点与圆的位置关系考点二直线与圆的位置关系考点三圆与圆的位置关系考点四与切线有关的知识考点五三角形的外接圆与内切圆04题型精研·考向洞悉命题点与圆有关的位置关系►题型01点与圆的位置关系►题型02直线与圆的最值问题►题型03直线与圆的位置关系►题型04圆与圆的位置关系►题型05利用切线的性质求解►题型06证明某直线是圆的切线（有明确的交点）►题型07证明某直线是圆的切线（无明确的交点）►题型08切线的性质与判定综合►题型09作圆的切线►题型10应用切线长定理求解或证明►题型11由三角形外接圆求值►题型12由三角形内切圆求值►题型13三角形内心有关的应用►题型14三角形外接圆与内切圆综合►题型15圆位置关系与函数综合

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求点与圆的位置关系★了解点与圆的位置关系.圆与圆的位置关系★★了解直线与圆的位置关系.切线的判定★★★掌握切线的概念，*探索并证明切线长定理切线的性质与计算★★三角形的内切圆★了解三角形的内心与外心三角形的内切圆★★【考情分析】本专题中切线的判定和性质是圆的相关问题中的重点，常以解答题的形式出现，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意其常用辅助线的作法:“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”同时，切线长定理也有考查。【命题预测】本专题内容是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一点与圆的位置关系点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系点在圆内点P在圆内d<r点在圆上点P在圆上d=r点在圆外点P在圆外d>r【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．1．（2024·云南怒江·一模）平面内，⊙O的半径为10cm，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】A【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键．根据点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径判断作答即可．【详解】解：∵点P在⊙O内，∴OP<10，∴OP的长可以是8cm，故选：A．2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2−2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断a的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键．【详解】解：由题意，得Δ=解得a>1，∴a>r=1，则点A在⊙O外，故选：A．3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（）A．a+b2 B．a−b2 C．a 【答案】B【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解．【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，∴圆的直径是a−b，因而半径是a−b2故选：B．4．（2024长春市三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知⊙A的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有∶①点P在圆外②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC=A∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，∴6<r<10，∴r的值可能是8．故选：B．考点二直线与圆的位置关系直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离图示公共点个数2个1个无圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系d<rd=rd>r公共点名称交点切点无直线名称交线/割线切线无结论直线l与⊙O相交d<r直线l与⊙O相切d=r直线l与⊙O相离d>r从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断.1．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行【答案】B【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d.∴d<r，∴直线和圆相交．故选：B【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交．2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙OA．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．3．（2020·广东广州·中考真题）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与ACA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】B【分析】根据RtΔABC中，∠C=90°，cosA=45，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC的值，比较BC与半径r的大小，即可得出⊙B【详解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°，cosA=∴cosA=AC∵AB=5，∴AC=4∴BC=A当r=3时，⊙B与AC的位置关系是：相切故选：B【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．4．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，设斜边BC上的高为ℎ，根据等面积法求出ℎ=2.4，即可得解．【详解】解：∵AB∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，设斜边BC上的高为ℎ，则S△ABC∴ℎ=AB⋅AC∴以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是相切，故选：C．QUOTEQUOTE考点三圆与圆的位置关系设的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：位置关系图形公共点个数性质及判定外离无两圆外离⇔外切1个切点两圆外切⇔相交两个交点两圆相交⇔内切1个切点两圆内切⇔内含无两圆内含⇔两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（）A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交【答案】C【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，掌握圆的五种位置关系成为解题的关键．根据圆与圆的五种位置关系的定义即可解答．【详解】解：观察图形即可求得包含了圆与圆位置关系中的外离和相交．故选C．2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（

）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】∵圆A与圆B内切，AB=4，圆B的半径为1∴圆A的半径为5∵AD=3<5∴点D在圆A内在Rt△ABC中，AC=∴点C在圆A上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键3．（2024·上海·二模）若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为．【答案】d>4【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，重点考察由数量关系及两圆位置关系求圆心距的取值范围的方法．本题直接告诉了两圆的半径及两圆位置关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P>R+r；外切，则P=R+r；相交，则R−r<P<R+r；内切，则P=R−r；内含，则P<R−r．(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．【详解】解：根据题意，得r+r=2+2=4，∵两圆外离，∴圆心距d>4，故答案为d>4考点四与切线有关的知识1.切线的性质定理与切线的判定定理切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线）【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径.2.切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．

1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=°．【答案】35【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，从而得出∠CAD的度数．【详解】解：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案为：352．（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面积．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．（1）由垂径定理的推论可知OC⊥AB，据此即可求证；（2）利用勾股定理求出CD即可求解；【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的弦，C为AB的中点，由垂径定理的推论可知：OC⊥AB，∵CD∥∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OA=OC=3，BD=2，∴OD=OB+BD=5，∴CD=O∴S△OCD3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°【答案】C【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．根据圆的内接四边形的性质得∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAE+∠BCD=236°得∠EAD=56°，由切线长定理得EA=ED，即可求得结果．【详解】解：如图，连接AD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAE+∠BCD=236°，∴∠BAE+∠BCD−∠BAD+∠BCD即∠BAE−∠BAD=56°，∴∠EAD=56°，∵EA，ED是⊙O的切线，根据切线长定理得，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=56°，∴∠E=180°−∠EAD−∠EDA=180°−56°−56°=68°．故选：C．4．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（

）A．28° B．50° C．56° D．62°【答案】C【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故选：C【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．5．（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．【详解】如图，∵PA,PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB,∠APO=∠BPO,故①正确，∵PA=PB,∠APO=∠BPO,∴PO⊥AB,故②正确，∵PA,PB是⊙O的两条切线，∴∠OAP=∠OBP=90°,取OP的中点Q，连接AQ,BQ，则AQ=1所以：以Q为圆心，QA为半径作圆，则B,O,P,A共圆，故③正确，∵M是△AOP外接圆的圆心，∴MO=MA=MP=AO,∴∠AOM=60°,与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是3个，故选C．【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．考点五三角形的外接圆与内切圆1.三角形的外接圆与外心三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.2.三角形内切圆与内心三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是【答案】1【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接OA、OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA2+O解得：OA=1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．2．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（

）．A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作⊙O；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】△ABC的外接圆如下图∵∠A=40°∴∠BOC=2∠A=80°故选：C．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．3．（2020·青海·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，则△ABC的内切圆的半径为．【答案】1【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出AB的长，设内切圆的半径为r，根据切线长定理，得到AB=AC−r+BC−r，进行求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=3,BC=4，∴AB=5，设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D,E,F，内切圆的半径为r，如图，则：四边形ODCE为正方形，CD=CE=r，AD=AF,BE=BF，∴AB=AF+BF=BE+AD=BC−r+AC−r，∴5=3+4−2r，∴r=1；故答案为：1．4．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为82则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15−17故答案为：6．【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=04题型精研·考向洞悉命题点一与圆有关的位置关系►题型01点与圆的位置关系根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系.设半径为r，点到圆心的距离为d1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外.1．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD=23，由圆周角定理可得∠AOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴点P在⊙O外，故选：C．2．（2021·青海·中考真题）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是．【答案】6.5cm或2.5cm【分析】分点P在⊙O外和⊙O内两种情况分析；设⊙O的半径为xcm，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设⊙O的半径为xcm当点P在⊙O外时，根据题意得：4+2x=9∴x=2.5cm当点P在⊙O内时，根据题意得：2x=9+4∴x=6.5cm故答案为：6.5cm或2.5cm．【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．3．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（

）A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆【答案】C【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，得出DM=AM=CM，得点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，再判断点B在圆M外即可；乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，得DN=AN=CN=BN，即可判断．【详解】解：如甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，∵∠ADC=90°，∴DM=AM=CM，∴点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，∵△BCM为直角三角形，∴BM>CM，∴点B在圆M外，∴甲图四点不共圆；如乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴DN=AN=CN=BN，∴点D、A、C、B是以点N为圆心，AN为半径的圆上，∴乙图四点共圆，综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆，故选：C．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02直线与圆的最值问题已知点P为⊙O上动点，点Q为直线AB上动点，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O为点C图示：结论：当O，P，Q三点共线且为垂线段时，PQ取最小值，最小值为PQ的长.1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则【答案】2【分析】记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2−QM2，由QM=2，则当PM最小时，【详解】解：记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，当x=0，y=4，当y=0，即x+4=0，解得：x=−4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP与⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴当PQ最小时即PM最小，∴当PM⊥AK时，取得最小值，即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32−4∴PQ最小值为27【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB

【答案】（1）43−4【分析】（1）连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则（2）分别在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，连接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．证出四边形BB'ON是平行四边形．由平行四边形的性质得出BN=B'O．当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圆心O'在【详解】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB

则OP+PM≥OM．∵⊙O半径为4，∴PM≥OM−4≥OM∵OA=OB．∠AOB=120°，∴∠A=30°，∴OM∴PM≥OM∴线段PM的最小值为43（2）如图②，分别在BC，AE上作BB

连接A'B'，B'O、OP∵OM⊥AB，BB'⊥AB∴四边形BB∴BN=B'O．∵B∴BN+PE≥B∴当点O在B'E上时，作⊙O'，使圆心O'在B作O'M'⊥AB，垂足为M'∴O'∴△B'O'∴O'∵⊙O'在矩形∴当⊙O'与FD相切时，B'此时，O'∵M∴M∴O∴O∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．►题型03直线与圆的位置关系判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：1）根据直线与圆的公共点的个数判断；①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交；②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离.2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.设半径为r，直线到圆心的距离为d①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离.1．（2022·山东青岛·模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为4cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径作⊙A，则⊙A与BC的位置关系是（A．相交 B．相切 C．相离 D．外离【答案】A【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一求得BD的值，再利用勾股定理可求得AD的长，把AD与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解．【详解】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一得：BD=1根据勾股定理得：AD=A∵∴23∴以3.5cm长为半径作⊙A，则⊙A与BC故选：A．2．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为个.【答案】4【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点．【详解】解：如图，由32+42=52得该三角形为直角三角形，设AC=3,BC=4,AB=5，作出△ABC的内切圆⊙O，设切点为D,E,F，连接OE,OD,OF∵S△ABC∴12解得：r=1，进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图，故答案为：4．3．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（x0,y0）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：d=A根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线y=3（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y=3x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，n=2【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长．【详解】解：（1）∵y＝3x＋9可变形为3x－y＋9＝0，则其中A＝3，B＝－1，C＝9，由公式可得d=3∴点M到直线y＝3x＋9的距离为3，（2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4，∵d＜r∴直线与圆相交，则弦长n=2×4【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运用圆的相关性质进行推理和计算．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04圆与圆的位置关系1．（2024·上海·中考真题）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．【详解】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，∴圆A含在圆P内，即PA=3−1=2，∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为12∵17<3+2=5∴圆P与圆B相交，故选：B．2．（2023·四川德阳·中考真题）已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为r，圆心距O1O2=5，如果在⊙O【答案】3≤r≤7【分析】当⊙O1位于⊙O2内部，且P，O1，O2位于同一条直线上时，r可以取得最大值；当⊙O1位于⊙O【详解】当⊙O1位于⊙O2内部，且P，O1如图所示，rmax

当⊙O1位于⊙O2外部，且P，O1如图所示，rmin

故答案为：3≤r≤7．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．3．（2024·上海·模拟预测）若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为．【答案】4±【分析】此题考查了相交两圆的性质，连心弦垂直平分公共弦，据此利用勾股定理分两种情况进行求解即可．【详解】解：大圆圆心到公共弦的距离为：52小圆圆心到公共弦的距离为：42∵两圆相交，∴两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的两侧，∴两圆的圆心在公共弦的同侧时，两圆圆心距长为4−7两圆的圆心在公共弦的两侧时，两圆圆心距长为4+7故答案为：4±QUOTE►题型05利用切线的性质求解运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度1．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【详解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°−40°=50°．故选：D．2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明∠EON=∠ABC，根据等边对等角推出∠A=∠OEC，则可证明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切线的性质得到∠OEN=90°，则解Rt△EON求出OE【详解】解：如图所示，连接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵MN是⊙O的切线，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半径OC的长为6，故答案为：6．3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．【答案】(1)6−(2)3【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：（1）连接AD，利用勾股定理的逆定理判定得出∠BAC=90°，利用切线的性质得出AD⊥BC，利用等面积法求出AD=125，然后利用（2）延长CA交⊙A于P，连接BP，则CP最大，然后在Rt△ABP【详解】（1）解∶连接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB∴∠BAC=90°，∵BC与⊙A相切于D，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴AD=AC⋅AB∴S阴影（2）解∶延长CA交⊙A于P，连接BP，此时CP最大，

由（1）知：∠BAC=∠PAB=90°，AP=AD=12∴PB=A►题型06证明某直线是圆的切线（有明确的交点）1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AD=10，cosB=35【答案】(1)证明见解析(2)90【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD．∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=∴cos在Rt△ACD中，cos∠ADC=3∴CD=AD⋅cos∠ADC=10×3∴CDAC∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD⋅FA，即(4x)2=3x(3x+10)∴FD=3x=90【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若CD=8①求DE的长；②求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)①9；②117【分析】（1）连接OD、BD，则∠ACD=∠ABD，可得∠ABD=∠ADF，由∠ABD+∠BAD=90°可得∠ABF+∠BAD=90°，进而由等腰三角形的性质可得∠ABF+∠ODA=90°，得到OD⊥DF，即可求证；（2）①证明△CBE∽△BDE得到CEBE=BEDE，据此即可求解；②由①可得CD=DE−CE=8，进而得DG=CD−CG=5，GE=CG+CE=4，利用勾股定理得BG=GE2−BE【详解】（1）证明：连接OD、BD，则∠ACD=∠ABD，∵∠ADF=∠ACD，∴∠ABD=∠ADF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABF+∠BAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ABF+∠ODA=90°，即∠ODF=90°，∴OD⊥DF，又∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：①∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∴∠ABC+∠CBE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠CBE=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠CBE=∠BDC，即∠CBE=∠BDE，又∵∠E=∠E，∴△CBE∽△BDE，∴CEBE∵BE=3CE=3，∴CE=1，∴13∴DE=9；②∵DE=9，CE=1，∴CD=DE−CE=9−1=8，∵CD=8∴CG=3∴DG=CD−CG=8−3=5，GE=CG+CE=3+1=4，∵∠GBE=90°，∴BG=G∵∠BAC=∠BDC，∠AGC=∠DGB，∴△AGC∽△DGB，∴AGDG即AG5∴AG=15∴AB=AG+BG=15∴⊙O的半径为117【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA=∠B．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若sin∠B=12(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AD=2【分析】（1）首先由直径得到∠ACB=90°，然后利用等边对等角得到∠B=∠BCO，等量代换得到OC⊥PC，进而证明即可；（2）利用sin∠B=12得到∠B=30°，求出∠PCA=∠B=30°（3）设AD=x，证明出△PAC∽△PCB，得到PAPC=PC【详解】（1）如图所示，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCO+∠OCA=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠BCO，∴∠PCA=∠OCA=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵sin∠B=∴∠B=30°，∴∠PCA=∠B=30°，由（1）知∠ACB=90°，∴∠CAB=60°，∴∠P=∠CAB−∠PCA=30°，∴∠PCA=∠P，∴AC=AP；（3）设AD=x，在Rt△ACB中，CD⊥AB∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°∴∠B=∠ACD∵∠BDC=∠ADC=90°∴△BDC∽△CDA∴BD∴CD∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，∴△PAC∽△PCB，∴PAPC∴PC在Rt△PCD中，由勾股定理得P即4+x2+6x=410+x解得x1=2，故AD=2．【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．►题型07证明某直线是圆的切线（无明确的交点）1．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC=42，求FG【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OD，过点O作OP⊥BC于点P，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCP=45°，推出OD=OP，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出OA，OD的长，勾股定理求出AG，连接OF，过O作OH⊥AG于点H，利用面积法求出OH，勾股定理求出HG，即可根据等腰三角形的性质求出FG的长．【详解】（1）证明：连接OD，过点O作OP⊥BC于点P，∵⊙O与AC相切于点D．∴OD⊥AC，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴∠OCD=∠OCP=45°，∴OD=OP，即OP是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵AC=42，AB=AC，∠ACB=90°∴AB=2AC=8，∵点O为AB的中点，∴OC=OA=1∵OD⊥AC∴OD=1在Rt△AOG中，连接OF，过O作OH⊥AG于点H，∴OH=OA⋅OG∴HG=∵OF=OG，∴FG=2HG=4

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．2．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．

(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若DE=2，GH=3，求DE的长l．【答案】(1)见解析(2)2π【分析】（1）连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，根据等腰三角形的性质得AO为∠BAC的平分线，再根据⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径得OM=OD，进而根据切线的判定可得到结论；（2）过点E作EN⊥AB于点N，先证△ODE≌△OGF得到DE=GF=2，进而得到FH=1，再证△BNE≌△CHF得到EN=FH=1，然而在Rt△DEN中利用三角函数可求出∠EDN=30°，进而得△ODE为等边三角形，据此得∠DOE=60°，OD=OE=DE=2，则∠DOF=120°【详解】（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，∵AB=AC，O是BC的中点，∴AO为∠BAC的平分线，∵⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径，∴OD为⊙O的半径，∴OD⊥AB，又OM⊥AC，∴OM=OD，即OM为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，∵点O为⊙O的圆心，∴OD=OG,OE=OF，在△ODE和△OGF中，OD=OG∠DOE=∠GOF∴△ODE≌△OGF(SAS∴DE=GF，∵DE=2,GH=3，∴GF=2，∴FH=GH−GF=3−2=1，∵AB=AC，O是BC的中点，∴OB=OC,∠B=∠C，又OE=OF，∴BE=CF，∵GH⊥AC,EN⊥AB，∴∠BNE=∠CHF=90°，在△BNE和△CHF中，∠BNE=∠CHF∠B=∠C∴△BNE≌△CHF(AAS∴EN=FH=1，在Rt△DEN中，DE=2,EN=1∴sin∴∠EDN=30°，∵OD⊥AB，∴∠ODE=90°−∠EDN=90°−30°=60°，又OD=OE，∴△ODE为等边三角形，∴∠DOE=60°,OD=OE=DE=2，∴∠DOF=180°−∠DOE=180°−60°=120°，∴l=60π×2【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．►题型08切线的性质与判定综合1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根据等腰三角形三线合一可知，AO⊥BC，AO平分∠BAC，结合AC与半圆O相切于点D，可推出ON=OD，得证；（2）由题意可得出∠OAC=∠COD，根据OF=OD，在Rt△ODC中利用勾股定理可求得OD的长度，从而得到OC的长度，最后根据sin【详解】（1）证明：连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如图∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC与半圆O相切于点D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圆O的切线（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°−∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，∵OC∴(OD+2)解得：OD=3∴2．（2023·湖北随州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．

(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AE=2，sin∠AFD=13，①求⊙O【答案】(1)证明见解析(2)①3；②2【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到∠CAE=∠ACO，推出AD∥OC，进而得到（2）①连接BE，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到BE∥DF，进而得到∠AFD=∠ABE，再利用锐角三角函数，求得AB=6，即可求出②利用锐角三角函数，分别求出BF和AD的长，即可得到线段DE的长．【详解】（1）证明：如图，连接OC，

∵点C是BE的中点，∴CE∴∠CAE=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠CAE=∠ACO，∴AD∥∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：①如图，连接BE，

∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AD，∵AD⊥DF，∴BE∥∴∠AFD=∠ABE，∵sin∴sin∵AE=2，∴AB=6，∴⊙O的半径为3；②由（1）可知，OC⊥DF，∴sin∵OC=3，OF=OB+BF=3+BF，∴3∴BF=6，∴AF=AB+BF=6+6=12，∵AD⊥DF，∴sin∴AD=4，∵AE=2，∴DE=AD−AE=4−2=2．【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．3．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；(3)若∠CAB=30°，【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】（1）连接PO，证明△PAO≌△PCO，即可得证；（2）根据sinD=（3）根据圆周角定理得出∠COD=2∠CAB=60°，进而勾股定理求得CD，根据S阴影【详解】（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°如图所示，连接PO

在△PAO与△PCO中，PA=PC∴△PAO≌△PCOSSS∴∠PCO=∠PAO=90°∵C为⊙O上的一点．∴PC是⊙O的切线；（2）∵PC是⊙O的切线；∴OC⊥PD，∴sin∴PD⋅OC=PA⋅OD（3）解：∵BC=BC∴∠COD=2∠CAB=60°，∵OC⊥PD∴∠D=30°，∴OC=∴CD=43∴S==8【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．►题型09作圆的切线1．（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°．

(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．【答案】(1)见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；（2）如图2，作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理可得DE=DC，由DE是半径，DE⊥AB，可证AB与⊙D相切．【详解】（1）解：如图1，AD即为所作；

（2）证明：如图2，作DE⊥AB于E，

∵AD是∠CAD的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵DE是半径，DE⊥AB，∴AB与⊙D相切．2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．(1)求证：BD为⊙O的切线；(2)求AE的长度．【答案】(1)画图见解析，证明见解析(2)AE=【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到OC=OA2+AC2=5，然后证明出△AOC≌△DOB（2）首先根据全等三角形的性质得到BD=AC=4，然后证明出△BAE∽△BDO，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）如图所示，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∵OA=3，AC=4，∴OC=O∵OA=3，AB=2，∴OB=OA+AB=5，∴OB=OC，又∵OD=OA=3，∠AOC=∠DOB，∴△AOC≌△DOBSAS∴∠OAC=∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∵点D在⊙O上，∴BD为⊙O的切线；（2）∵△AOC≌△DOB，∴BD=AC=4，∵∠ABE=∠DBO，∠BAE=∠BDO，∴△BAE∽△BDO，∴AEOD=AB∴解得AE=3【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得CDBD=2（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出S△CFB=S△CFR=【详解】（1）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∵AB=5，BD=9，DC=6，∴DE5∴DE=2；（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，∵∠DFA=∠A，∴四边形ABRF是等腰梯形，∴AB=FR，∵△FBC的面积等于12∴S△CFB∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半径，∴直线BC与⊙F相切．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．QUOTE►题型10应用切线长定理求解或证明1．（2023·广东广州·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（

）A．2r，90°−α B．0，90°−α C．2r，90°−α2 【答案】D【分析】如图，连接IF，【详解】解：如图，连接IF，∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴BF=BD，∴BF+CE−BC=BD+CD−BC=BC−BC=0，∠AFI=∠AEI=90°，∴∠EIF=180°−α，∴∠EDF=1故选：D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．2．（2023·湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE

【答案】35°/35度【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB=125°，再由切线长定理得到BD=BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即【详解】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，∴∠OAB=1∵∠ACB=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=110°，∴∠OAB+∠OBA=1∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=125°，∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，∴BD=BE，又∵OD=OE，∴OB是DE的垂直平分线，∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，∴∠AFD=∠AOH−∠OHF=35°，故答案为：35°．

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆O相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．(1)求证：BA=BD；(2)若∠ABE=60°，①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外）②AB=6，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)①圆上；②6【分析】（1）证明BA是半圆O的切线，切点为A，由切线长定理可得BA=BD．（2）①由∠ABE=60°，可得∠BEA=30°．由BA，BE是圆O的切线．可得∠OBE=12∠ABE=30°=∠OEB．则OB=OE．证明△OBA≌△OEFAAS．则OF=OA．进而可得点②如图，连接OD，由BE与半圆相切于点D，可得OD⊥BE，进而可得DE=BD=AB=6，∠OBA=∠OBD=30°，OD=OA=AB⋅tan30°=23【详解】（1）证明：∵AM⊥AB，OA是半径，∴BA是半圆O的切线，切点为A．又∵BE与半圆O相切于点D，∴BA=BD．（2）①解：∵∠ABE=60°，∴∠BEA=30°．∵BA，BE是圆O的切线．∴∠OBE=1∴OB=OE．又∵∠AOB=∠FOE，∠A=∠F=90°，∴△OBA≌△OEFAAS∴OF=OA．∴点F在半圆O所在的圆上，故答案为：圆上．②解：如图，连接OD，∵BE与半圆相切于点D，∴OD⊥BE，∵OB=OE，∴DE=BD=AB=6，∵∠OBA=∠OBD=30°，∴OD=OA=AB⋅tan∵∠COD=90°−∠OEB=60°∴S阴影∴阴影部分的面积为63【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，扇形面积，正切，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，扇形面积，正切，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．►题型11由三角形外接圆求值1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．【详解】解：∵⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，∴点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DF=1∵DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，∴CB+CA+AB=21即2DF+2DE+2EF=21，∴EF=4，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．2．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

【答案】6【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=12OA=2，进而求出BE=BO+EO=6【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC∴∠ABE=∠CBE=∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4∴OA=OB=4，CF⊥AB，∴∠OBA=∠OAB=30°∴∠OAE=∠OAB=∵BE⊥AC∴OE=∴BE=BO+EO=6∵PD⊥AB，∠ABE=30°∴PD=∴CP+∴CP+12BP∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB∴CF=BE=6∴CP+1故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：12则外接圆半径r=5图中D点到O点距离为：12图中E点到O点距离为：12则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．4．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3【分析】（1）根据旋转的性质得到AE=AD，∠DAE=α，证明∠BAE=∠CAD，进而证明△ABE≌△ACD，可以得到∠AEB=∠ADC，由∠ADC+∠ADB=180°，可得∠AEB+∠ADB=180°，即可证明A、B、D、（2）如图所示，连接OA，OD，根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB=∠DAC，由圆周角定理得到∠AOD=2∠ABC=2∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，利用三角形内角和定理证明∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，由此即可证明AC是（3）如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，先求出∠B=∠C=30°，再由三线合一定理得到BM=CM=12BC=3，AM⊥BC，解直角三角形求出AB=23，则BG=12AB=3，再解Rt△BGF得到BF=2，则FM=1；由⊙P是四边形AEBD【详解】（1）证明：由旋转的性质可得AE=AD，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠BAD=∠DAE−∠BAD，即∠BAE=∠CAD，又∵AB=AC，∴△ABE≌△ACDSAS∴∠AEB=∠ADC，∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠AEB+∠ADB=180°，∴A、B、D、E四点共圆；（2）证明：如图所示，连接OA，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠DAC，∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，∴∠AOD=2∠ABC，∴∠AOD=2∠ABC=2∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°，∴2∠DAC+2∠OAD=180°，∴∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；

（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵点M是边BC的中点，∴BM=CM=12BC=3∴AB=BM∴BG=1在Rt△BGF中，BF=∴FM=1，∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，∴点P一定在AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上，∴当MP⊥GF时，PM有最小值，∵∠PFM=∠BFG=90°−∠B=60°，∴在Rt△MPF中，PM=MF⋅∴圆心P与点M距离的最小值为32【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．►题型12由三角形内切圆求值1．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（A．12rl B．12πrl C．【答案】A【分析】由题意可得S△AOB=12AB×OE=【详解】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，OE=r，∴S同理：S△BOCS△AOC∴S=S∵l=AB+BC+AC，∴S=1故选A【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．2．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE

A．4 B．43 C．2 D．【答案】A【分析】分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=12BC=12AD=【详解】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，∴EB=EC，∵∠B=60°，∴△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，∴M在直线PQ上，连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，∵AD=8∴BH=12BC=12AD=∵∠MBH=12∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=43×3∴ΔBCE的内切圆半径是4．故选：A．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．3．（2024·北京·模拟预测）在边长为1的正三角形内放入n个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为r最大．(1)当n=1，r=(2)当n=6，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹）(3)当n=5050，求r的长度．（可画示意图说明）【答案】(1)3(2)见解析(3)r的长度为99−【分析】（1）根据等边三角形的内切圆半径r最大，利用面积法求解r即可得答案；（2）如图，根据等边三角形的性质、内切圆的定义、角平分线的性质作图即可；（3）先求出共有100层，最后一层有100个圆，利用梯形和三角形面积公式，列方程求出r值即可．【详解】（1）解：如图，⊙O为等边三角形ABC内切圆圆心，切点为D、E、F，∴OD=OE=OF=r，AD⊥BC，BD=1∴AD=A∴S△ABC∴r=3故答案为：36（2）解：如图，作∠BAC、∠ACB、∠ABC的平分