【鲁教版数学九年级综合素质评价卷】期中综合素质评价

P期中综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．2sin60°等于()A．1 B．eq\r(3) C．eq\r(2) D．2eq\r(3)2．【2023·泰安东平县月考】若A(2，4)与B(－2，a)都是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上的点，则a的值是()A．4 B．－4 C．2 D．－23．已知反比例函数y＝－eq\f(3,x)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在其图象上，下列说法不正确的是()A．图象分布在第二、四象限 B．当x<0时，y随x的增大而增大C．图象经过点(3，－1)D．若x1<x2，则y1<y24．【2023·淄博高青县期中】如图，点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为()A．2 B．1 C．8 D．45．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝eq\f(4,x)(x>0)与y＝x－1的图象交于点P(a，b)，则代数式eq\f(1,a)－eq\f(1,b)的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2) C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,4)6．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于()A．eq\f(\r(2),6) B．eq\f(\r(26),26) C．eq\f(\r(26),13) D．eq\f(\r(13),13)7．若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－eq\f(6,x)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y18．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，竖直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()A．100eq\r(3)m B．50eq\r(2)m C．50eq\r(3)m D．eq\f(100\r(3),3)m9．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cosα，阻力臂L2＝l·cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是()A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定10．【2023·泰安市东平县月考】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10，0)，sin∠COA＝eq\f(4,5).若反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)经过点C，则k的值等于()A．10 B．24 C．48 D．50二、填空题(每题4分，共24分)11．若反比例函数y＝eq\f(m,x)(m≠0)的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是_______．12．【2023·烟台龙口期中】在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，则∠C的度数为_______．13．如图，点A是反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6.若点P(a，7)也在此函数的图象上，则a＝_______.14．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝_______.15．如图，铁路的路基横断面为一个等腰梯形ABCD,AB＝DC，若腰AB的坡度为i＝2∶3，上底AD＝3m，高AE＝4m，则下底BC的长为_______．16．如图，已知矩形ABCD，AB在x轴的正半轴上(点A与点O重合)，AB＝3，BC＝1，连接AC，BD，交点为M.将矩形ABCD沿x轴向右平移，当平移距离为_______时，点M在反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象上．三、解答题(17题8分，18，19题每题10分，20，21题每题12分，22题14分，共66分)17．计算：(1)2cos30°－tan60°＋tan45°－eq\f(1,2)sin60°；(2)eq\r(12)－2cos60°＋sin245°＋2－1.18．【2023·威海乳山期中】如图，点A在双曲线y＝eq\f(3,x)(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C.线段OA的垂直平分线BD分别交OC，OA于点B，D，△ABC的周长为4，求点A的坐标．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的长；(2)tan∠CDE的值．20．【2023·威海环翠区期中】如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°.(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明她走哪一条路较近？(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)21．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升10℃，上升到100℃时停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与开机后的时间x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示．(1)分别写出图中表示水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？22．【2023·淄博高青县期中】如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y＝－eq\f(6,x)(x<0)和y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC＝2.(1)求反比例函数y＝eq\f(k,x)的表达式．(2)连接BD，OB，OD，求△ODB的面积．(3)P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案一、1．B【点拨】2sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).2．B【点拨】∵A(2，4)与B(－2，a)都是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上的点，∴k＝2×4＝－2a，∴a＝－4.故选B.3．D【点拨】∵反比例函数y＝－eq\f(3,x)，∴图象分布在第二、四象限，故A正确；当x<0时，y随x的增大而增大，故B正确；图象经过点(3，－1)，故C正确；若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1<x2，则y1<y2不成立，故D错误．故选D.4．D【点拨】∵AB⊥x轴，点C在y轴上，△ABC的面积为2，∴eq\f(1,2)AB·OB＝2，∴AB·OB＝4，∴k＝AB·OB＝4.故选D.5．C【点拨】由题意得，函数y＝eq\f(4,x)(x>0)与y＝x－1的图象交于点P(a，b)，∴ab＝4，b＝a－1，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＝－eq\f(1,4).6．B【点拨】如图，过点B作BD⊥AC于D.由勾股定理得，AB＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)·BD＝eq\f(1,2)×1×3，∴BD＝eq\f(\r(2),2)，∴sin∠BAC＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(13))＝eq\f(\r(26),26).故选B.7．C【点拨】∵点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－eq\f(6,x)的图象上，∴y1＝－eq\f(6,－1)＝6，y2＝－eq\f(6,2)＝－3，y3＝－eq\f(6,3)＝－2.∴y1>y3>y2.故选C.8．A【点拨】根据题意，得∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，∴AB＝2AC＝200m．∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝100eq\r(3)m．故选A.9．A【点拨】∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值>0，∴动力随着动力臂的增大而减小．∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，动力臂L1＝L·cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小．故选A.10．C【点拨】如图，过点C作CE⊥OA于点E.∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10，0)，∴OC＝OA＝10.∵sin∠COA＝eq\f(4,5)＝eq\f(CE,OC)，∴CE＝8，∴OE＝eq\r(CO2－CE2)＝6，∴点C的坐标为(6，8)．∵反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)经过点C，∴k＝6×8＝48.故选C.二、11．m>0【点拨】反比例函数y＝eq\f(m,x)(m≠0)的图象是双曲线，当m>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当m<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限．12．60°【点拨】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°.13．eq\f(12,7)【点拨】∵△OAB的面积为6，∴|k|＝2×6＝12.∵k>0，∴k＝12，∴y＝eq\f(12,x).把P(a，7)代入y＝eq\f(12,x)，得7＝eq\f(12,a)，∴a＝eq\f(12,7).14．eq\f(4,3)【点拨】∵四边形ABCD为正方形，∴对角线CA为∠BCD的平分线，AD∥BC.∴∠ADN＝∠DNC.∵M，N关于对角线AC所在的直线对称，∴CM＝CN.又∵DM＝1，∴CM＝CN＝3，∴tan∠ADN＝tan∠DNC＝eq\f(DC,NC)＝eq\f(4,3).15．15m【点拨】过点D作DF⊥BC交BC于F点．∵腰AB的坡度为i＝2∶3，路基高是4m，∴BE＝6m．又易知CF＝BE＝6m，EF＝AD＝3m，∴BC＝6＋3＋6＝15(m)．16．eq\f(1,2)【点拨】将矩形ABCD沿x轴向右平移，当点M在反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象上时，过点M作ME⊥AB于点E，则AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)，ME＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).设OA＝m，则OE＝OA＋AE＝m＋eq\f(3,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2)，\f(1,2))).∵点M在反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象上，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,m＋\f(3,2))，解得m＝eq\f(1,2).三、17．解：(1)原式＝2×eq\f(\r(3),2)－eq\r(3)＋1－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)－eq\r(3)＋1－eq\f(\r(3),4)＝eq\f(4－\r(3),4).(2)原式＝2eq\r(3)－2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)＝2eq\r(3)－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝2eq\r(3).18．解：设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3,a))).∵BD垂直平分OA，∴BA＝BO，∵△ABC的周长为4，即AB＋BC＋AC＝4，∴OC＋AC＝4，∴a＋eq\f(3,a)＝4，解得a＝1(舍去)或a＝3，∴A点的坐标为(3，1)．19．解：(1)在Rt△DEA中，∵DE＝2，sinA＝eq\f(2,3)，∴AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(2,\f(2,3))＝3.∵DB＝9，∴AB＝DB＋AD＝12.在Rt△ABC中，∵AB＝12，sinA＝eq\f(2,3)，∴BC＝AB·sinA＝12×eq\f(2,3)＝8.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(122－82)＝4eq\r(5).在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).∴CE＝AC－AE＝3eq\r(5).∴tan∠CDE＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(3\r(5),2).20．解：(1)过D作DF⊥AE于F，如图．由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米．∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝eq\r(2)DF＝200eq\r(2)≈283(米)．∴步道DE的长度约为283米．(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE≈283米，EF＝DF＝200米．∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°.∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝200eq\r(3)米．∵BD＝100米，∴经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝400＋100＝500(米)．∵CD＝BC＋BD＝(200eq\r(3)＋100)米，∴AF＝CD＝(200eq\r(3)＋100)米，∴AE＝AF－EF＝(200eq\r(3)＋100)－200＝(200eq\r(3)－100)米，∴经过点E到达点D的路程为AE＋DE≈200eq\r(3)－100＋283≈529(米)．∵529>500，∴经过点B到达点D较近．21．解：(1)观察图象，可知当x＝7时，y＝100.当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝30，,7k＋b＝100，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝10，,b＝30.))即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x＋30.当x＞7时，设y＝eq\f(a,x)，由题意得100＝eq\f(a,7)，解得a＝700，∴y＝eq\f(700,x).当y＝30时，x＝eq\f(70,3)，∴y与x之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋30(0≤x≤7)，,\f(700,x)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＜x≤\f(70,3))).))(2)将y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2.将y＝50代入y＝eq\f(700,x)，得x＝14.∵eq\f(70,3)－14＝eq\f(28,3)(min)，eq\f(28,3)＋2＝eq\f(34,3)(