第1章 二次根式 单元检测能力提升卷（含解析）浙教版八年级下册数学

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）第1章二次根式单元检测能力提升卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠25．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（）A． B． C． D．6．估计的值在（）A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间7．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．58．已知，则的值为（）A． B． C．12 D．189．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．若7＜m＜9，则化简的结果是（）A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．＝．12．计算：＝，＝，＝．13．已知，，则x2﹣y2的值为．14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为．15．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝6，c＝7，则AC边上的高的长为．16．已知，求＝．三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）17．小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．18．计算：（1）（+）÷﹣6；（2）﹣（1+）（2﹣）．19．先化简，再求值：当a＝9时，求a+的值．小宁的解答过程如下：原式＝a+第一步＝a+1﹣a第二步＝1第三步（1）小宁的解答从第步出现错误的，错误的原因是．（2）写出正确的解答过程．20．已知；（1）求x2﹣xy+y2的值；（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．21．如图，某小区内有一块矩形广场，广场长为2米，宽为2米，广场中间有两块大小相同的矩形绿地（阴影部分），每块小矩形绿地的长为米，宽为米．（1）求广场的周长；（2）除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？22．阅读下列材料：通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是．（1）的整数部分是．（2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值．23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：∵＝＝，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）＝；（2）化简：；（3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．24．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当m、n均为正整数，若，则m＝，n＝．（2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（3）化简．

答案与解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【点拨】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解析】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，x2+1＞0，故一定是二次根式，符合题意；C、，若﹣1＜x＜1时，无意义，不合题意；D、，是三次根式，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【点拨】根据最简二次根式的定义判断即可．【解析】解：A.＝＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.＝，故C不符合题意；D.是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．3．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【点拨】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．【解析】解：A、+无需计算，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、×＝，正确；D、＝3，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解析】解：由题意得4﹣2x＞0，解得x＜2，故选：A．【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．5．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（）A． B． C． D．【点拨】先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项．【解析】解：A．＝3，与两者不是同类二次根式，故该选项不符合题意；B．＝，能与合并，故该选项符合题意；C．＝，2不能与合并，故该选项不符合题意；D．＝，不能与合并，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，熟练掌握二次根式性质是关键．6．估计的值在（）A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间【点拨】先利用乘法分配律进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出+1的值的范围，即可解答．【解析】解：＝×+×＝+1，∵25＜35＜36，∴5＜＜6，∴6＜+1＜7，∴估计的值在6到7之间，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【点拨】原式变形为，由已知易得m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，然后整体代入计算即可．【解析】解：m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，原式＝＝＝＝3．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．8．已知，则的值为（）A． B． C．12 D．18【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数，由非负数的性质列式求出x的值；然后将x的值代入求出y的值，最后代入待求式，进行计算即可．【解析】解：由题意得：，解得x＝3，把x＝3代入，可得y＝3，所以＝＝．故选：B．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件以及求代数式的值的方法．9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【点拨】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题．【解析】解：∵，且，，，∴a2＝5，b2＝6，c2＝7，∴＝＝＝，故选：C．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键．10．若7＜m＜9，则化简的结果是（）A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5【点拨】根据7＜m＜9判断出5﹣m＜0，m﹣10＜0，再根据二次根式的性质化简即可．【解析】解：∵7＜m＜9，∴5﹣m＜0，m﹣10＜0，∴＝m﹣5+10﹣m＝5，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握：当a≥0时，；当a＜0时，．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．＝．【点拨】先把的分子分母都乘以2得到解＝，再利用二次根式的除法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】解：＝＝＝．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的除法．12．计算：＝5，＝3，＝﹣1﹣．【点拨】根据二次根式的性质、分母有理化的方法计算即可得出答案【解析】解：，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的性质化简，分母有理化、二次根式的乘除法，熟练掌握运算方法是解题的关键．13．已知，，则x2﹣y2的值为．【点拨】根据题意，先求出x+y和x﹣y的值，然后代入计算，即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为﹣3a．【点拨】由数轴易得a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a+b＜0，再根据二次根式，绝对值的性质及立方根的定义化简即可．【解析】解：由数轴易得a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a+b＜0，原式＝|a|﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣a﹣b﹣a+b＝﹣3a，故答案为：﹣3a．【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，绝对值及立方根，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．15．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝6，c＝7，则AC边上的高的长为．【点拨】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出AC边上的高．【解析】解：∵a＝5，b＝6，c＝7，∴，∴，设AC边上的高的长为h，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．已知，求＝．【点拨】根据二次根式有意义求出x，y的值即可．【解析】解：∵，∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x＝3，∴y＝8，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）17．小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【点拨】根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．【解析】解：有错误；正确解法：原式＝2﹣＝【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．18．计算：（1）（+）÷﹣6；（2）﹣（1+）（2﹣）．【点拨】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可；（2）先展开，再去括号，最后合并．【解析】解：（1）原式＝+﹣2＝2+5﹣2＝5；（2）原式＝3﹣2+1﹣（2﹣+2﹣3）＝3﹣2+1﹣2+﹣2+3＝5﹣3．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．19．先化简，再求值：当a＝9时，求a+的值．小宁的解答过程如下：原式＝a+第一步＝a+1﹣a第二步＝1第三步（1）小宁的解答从第二步出现错误的，错误的原因是二次根式的性质用错．（2）写出正确的解答过程．【点拨】（1）根据二次根式的性质判断；（2）根据二次根式的性质＝|a|把原式化简，把a的值代入计算即可．【解析】解：（1）小宁的解答从第二步出现错误的，错误的原因是：二次根式的性质用错，∵a＝9，∴1﹣a＜0，∴＝a﹣1，故答案为：二，二次根式的性质用错；（2）原式＝a+＝a+a﹣1＝2a﹣1，当a＝9时，原式＝2×9﹣1＝17．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．20．已知；（1）求x2﹣xy+y2的值；（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．【点拨】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可；（2）先求出a，b的值，进而可得出结论．【解析】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（2﹣+2+）2﹣3×（2﹣）（2+）＝42﹣3×1＝16﹣3＝13；（2）由（1）知，x＝2﹣，y＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴﹣2＜﹣＜﹣1，3＜2+＜4，∴0＜2﹣＜1，∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，∴a＝2﹣，b＝2+﹣3＝﹣1，∴原式＝（2﹣+﹣1）2+＝1+＝1+2﹣3＝2﹣2．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．21．如图，某小区内有一块矩形广场，广场长为2米，宽为2米，广场中间有两块大小相同的矩形绿地（阴影部分），每块小矩形绿地的长为米，宽为米．（1）求广场的周长；（2）除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？【点拨】（1）根据矩形的周长公式列式，再根据二次根式的性质化简即可；（2）根据铺地砖的面积等于矩形广场的面积减两个绿地的面积列式，再利用二次根式的混合运算法则化简，再乘以50元/平方米的价格，即可求出铺地砖的费用．【解析】解：（1）∵矩形广场长为米，宽为米，∴矩形广场的周长为（米）．（2）由题意可知，铺地砖的面积为：＝＝＝（平方米），∵铺地砖的费用为50元/平方米，∴这个广场铺地砖的费用为元．【点睛】本题考查了二次根式的性质及混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．22．阅读下列材料：通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是．（1）的整数部分是1．（2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值．【点拨】（1）仿照材料估算即可得到答案；（2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可．【解析】解：（1）∵12＜3＜22，即1＜＜2，∴的整数部分为1；故答案为：1；（2）∵1＜＜2，∴9＜8+＜10，∴x＝9，y＝8+﹣9＝﹣1，∴＝2×9+（﹣1﹣）2017＝18+（﹣1）2017＝18﹣1＝17．【点睛】本题考查二次根式化简求值和实数大小的估算，解题的关键是读懂题意，能估算无理数的大小．23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：∵＝＝，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×