高中数学复习专题16 双曲线（学生版）

专题16双曲线一、填空题1．（2024新高考Ⅰ卷·12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．一、填空题1．（2023新高考Ⅰ卷·16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．一、双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．二、双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【双曲线常用结论】1、双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．2、点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．3、双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；4、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）5、双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为一、单选题1．（2024·甘肃兰州·三模）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（

）A．若，则曲线的离心率B．若，则曲线的离心率C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得3．（2024·安徽·三模）过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（

）A． B． C． D．34．（2024·全国·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且离心率为，过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则（

）A． B． C．2 D．35．（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（

）A．2 B． C． D．6．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．7．（2024·宁夏银川·三模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（

）A． B． C． D．8．（2024·湖南永州·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（

）A． B． C． D．9．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（

）A． B． C． D．410．（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（

）A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为12．（2024·河北保定·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（

）A． B．C．的离心率为 D．直线的斜率为13．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的共轭双曲线方程为C．当点位于双曲线右支时，D．点到两渐近线的距离之积为14．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（

）A．B．C．D．若，则15．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（

）A． B．直线PF1的斜率为C．的周长为 D．的外接圆半径为三、填空题16．（2024·湖北荆州·三模）已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为．17．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为．18．（2024·安徽马鞍山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则．19．（2024·浙江金华·三模）若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为.20．（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为.21．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且的面积为6，则该双曲线的实轴长为．22．（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶