专题9-50平行四边形(最值问题)(专项练习)-八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

、专题9.50平行四边形（最值问题）（专项练习）一、单选题1．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（

）A．5 B．7 C． D．2．如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．3．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（

）A．6 B．8 C． D．4．已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且）上，AB＝5，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（）A．24 B．25 C．26 D．305．在边长为的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为，则C的最小值为（

）A． B． C． D．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为(

)A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（）A．12 B． C． D．9．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（

）A． B． C． D．10．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为(

).A． B． C． D．二、填空题11．如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．12．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．13．如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．14．如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，S▱ABCD＝30，将线段AB沿着直线AB上下平移得到线段A'B'，连接A'C，B'C，则A'C+B'C的最小值是_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点E为BC上任意一点，连接EA，以EA，EC为邻边作平行四边形EAFC，连接EF，则EF的最小值为___．17．如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．18．如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上一动点，连接并延长至点D，使，以为边作，连接，则长度的最小值为_____________．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段绕着点O逆时针方向旋转后得到线段，连接，直线交x轴于点C．(1)求直线的解析式．(2)若点是点C关于直线的对称点，沿着直线平移得到．求的最小值，并求出此时的坐标．(3)点D是坐标平面内一点，且满足，在x轴上是否存在一点E，使得以点B、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点.（Ⅰ）若为等腰直角三角形.①直接写出此时点的坐标：______；直线的解析式为______；②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值.（Ⅱ）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式.21．（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=BC．（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE=（AD+BC）②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限内，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°．（1）顶点B的坐标为，顶点C的坐标为；（2）设对角线AC、OB交于点E，在y轴上有一点D（0，﹣1），x轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MN，点M在点N的左侧，连接DM、EN，求DM+EN的最小值；（3）如图2，若直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请直接写出直线l的函数解析式．23．在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．（1）如图1，若，求、的长；（2）如图2，当时，求证：；（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．24．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC＝60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE＝AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF．（1）如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE＝4，OC：EC＝5：3，求AC的长度；（2）如图2，若EC＝FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG＝60°，∠AGB＋∠BCD＝180°，求证：BG＋EG＝DC．（3）如图3，若BE＝4，CE＝，将EF绕点E逆时针旋转90°得EF′，请直接写出当AF′＋BF′取得最小值时△ABF′的面积．参考答案1．A【分析】由折叠可得，当三点共线时，的长度最小，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值．解：如图：连接，作，∵四边形是平行四边形，∴，∴且，∴，∴；∵M是中点，∴，∴，∴；∵折叠，∴，∴当三点共线时，的长度最小，∴此时，故选：A．【点拨】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求的长度．2．A【分析】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，根据，，，运用勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根据平移性质证明四边形ADEC是平行四边形，得到CE∥AD，根据当DE⊥AB时，DE最小，此时，根据∠DEC=∠ECG=90°，证明四边形EDGC是矩形，得到DE=CG，运用面积法得到，求出，得到DE的最小值为．解：过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，则∠AGC=90°，∵中，，，，∴，∴是直角三角形，∠ACB=90°，由平移知，AE∥CD，AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CE∥AD，当DE⊥AB时，DE最小，此时，∠DEC=∠ECG=90°，∴四边形EDGC是矩形，∴DE=CG，∵∴∴，∴，∴DE的最小值为．故选A．【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四边形，三角形面积，垂线段，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握用勾股定理的逆定理判断直角三角形，平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积公式，垂线段最短的性质．3．D【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．解：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，，设，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，则，即，解得，故选：D．【点拨】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．B【分析】由直线关系式确定出直线过定点（3，4），平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大面积．解：∵直线AB：y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4，∴AB过定点M（3，4），∴OM＝5，作OH⊥AB于H，∴OH≤5，∴S△ABO最大＝，∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25，故选：B．【点拨】此题考查了一次函数性质，动点平行四边形面积最值问题，解题的关键是把求平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大面积．5．C【分析】根据平行四边形的性质可推出DE=2OD，则可得当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小，过O作OF⊥AC于点F，利用等边三角形及直角三角形性质可求得AF=OA=，则可利用勾股定理求得OF的长，即可得出结论．解：设AB与DE相交于点O，∵四边形是平行四边形，是边长为2的等边三角形，∴OA=OB=AB=1，OD=OE=DE．即DE=2OD．∴当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小．如图，过O作OF⊥AC于点F，∴∠AFO=90°．∵是等边三角形，∴∠BAC=60°．∴∠AOF=30°．∴AF=OA=．∴OF=．当OD=OF时，DO的值最小，即DE的值最小，∴DE=2OF=．故选：C．【点拨】此题考查了平行四边形、等边三角形及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6．B【分析】由轴对称的性质可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，则可求得答案．解：∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），∴AB=＝，BC=3，∵若点A关于BP的对称点为A'，∴BA′=BA=，在△BA′C中，由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，∴A′C≥3-，即A′C的最小值为3-，故选B．【点拨】本题考查平行四这形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC-BA′是解题的关键．7．B【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于，交于．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，∴四边形C1DEC2是平行四边形，∴C1D＝C2E，又∵CC1关于AB对称，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF，∴C2F．故选：B．【点拨】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．8．D【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值．解：由勾股定定理得：，则；过点作，垂足为，则，则，则，，由，得，再由勾股定理得：；如图1：周长；如图2：周长；如图3：周长为最长．∵，并且即，故周长的最大值是故选：．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长．9．A【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD＋OA＝OB＋BC，∵AE＝AD，∴AE＋OA＝OB＋BC，即OE＝OB＋BC，∴OB＋CB的最小值为OE，由，当时，，解得：，，，当时，，，，，取的中点，过作轴的垂线交于，，当时，，，，，为的中点，，为等边三角形，，，，，∴FD＝3，∠FDG＝60°，∴DG＝DF＝，∴DE＝2DG＝3，∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，∴OS＝，∴OE＝＝，∴OB＋CB的最小值为，故选：A．【点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．10．B【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．解：取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝1．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．故选B．【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．

平行四边形

##【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．解：如图，∵AQBC，CQAP，∴四边形APCQ是平行四边形．当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，∵四边形APCQ是平行四边形，∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=，∴PQ=，∴QC=，∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×+2×=，故答案为：平行四边形；．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．12．3【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．解：如图，过作交的延长线于点，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．【点拨】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．13．12【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，∴BO＝DO＝6，AO＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，∴∠DAO＝30°，∴AO＝2DO＝12，∵AP＝OQ，∴PQ＝AO＝12，如图，作，使得DK＝PQ＝12，连接BK，∴四边形DPQK为平行四边形，∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，∵DK=PQ=BD=12，∴△BDK是等边三角形，∴BK=DB=12，∴DP+BQ的最小值为12．故答案为：12．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．14．【分析】利用平行四边形的知识，将的最小值转化为的最小值，再利用勾股定理求出MC的长度，即可求解；解：过点A作且，连接MP，∴四边形是平行四边形，∴，将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小，∵，，∴，在中，；故答案是：．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．15．13【分析】先由平移的性质得到四边形A'B'CD为平行四边形，从而得到CB'＝DA'，进而使得CB'+CA'＝DA'+CA'，再作D关于直线AB的对称点D'，连接A'D'，CD'，DD'交BA延长线于HA，由对称性可知CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C，再由AB＝5，S▱ABCD＝30，求出DH，由勾股定理求出D'C即可．解：连接A'D，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，∴AB=CD=5，AB∥CD，由平移性质得：A'B'∥CD，A'B'＝CD，∴四边形A'B'CD为平行四边形，∴CB'＝DA'，∴CB'+CA'＝DA'+CA'，作D关于直线AB的对称点D'，连接A'D'，CD'，DD'交BA延长线于H，由对称性得：DA'＝D'A'，DD'＝2DH，DH⊥AB，∴CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C，∵AB＝5，S▱ABCD＝30，∴5DH＝30，∴DH＝6，DD'＝12，∵AB∥CD，∴DD'⊥CD，∴，∴A'C+B'C的最小值为13，故答案为：13．.【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，最短路径问题，勾股定理，解题的关键在于能够证明作D关于直线AB的对称点D'得到CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C．16．【分析】由平行四边形的性质可知O是AC中点，EF最短也就是EO最短，故应该过O作BC的垂线OD，所以点E与点D重合时，OE长度最小．解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=4，∴BC=2AB=8，AC=AB=4，∵四边形EAFC是平行四边形，∴EO=FO，CO=AO=2，当EF最短也就是EO最短，则过O作BC的垂线OD，垂足为D，在Rt△OCD中，CO=2，∠ACB=30°，∴OD=OC=．∴点E与点D重合时，OE长度最小，此时OE=OD=．∴EF=2OE=2．故答案是：．【点拨】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．17．【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．解：如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，，此时四边形的周长为，当点、、三点共线时，四边形的周长最小，，，，经过点，，，，，，，四边形周长的最小值为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．18．3【分析】设为，由知，，根据平行四边形的性质求出的坐标，用勾股定理求出，再用的取值求出的最小值．解：，，设为，由知，，是平行四边形，，故,时，最小，．故答案为：3．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出,坐标．19．(1)直线的解析式为；(2)点的坐标为；(3)点D的坐标为或或或．【分析】（1）由旋转的性质知是等边三角形，求得点C的坐标是，利用待定系数法即可求解；（2）由题意是定值，所以时，的值最小，求出即可解决问题；（3）由题意知，点D在过点C且与平行的直线l上，或点D在过点A且与平行的直线上，据此画出图形，即可解答．（1）解：∵点A的坐标是，将线段绕着点O逆时针方向旋转后得到线段，∴是等边三角形，且，∴，，∴，，∴点C的坐标是，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为；（2）解：由题意是定值，所以时，的值最小，连接，，∵，是等边三角形，点是点C关于直线的对称点，∴也是等边三角形，∴，∴，∴当三点共线时，的值最小，由于平移，则，，设与x轴交于点G，此时，，∴，，∴，，∴，此时点的坐标为；（3）解：存在，如图所示，过点C作的平行线l，∵，∴点D在直线l上，当E、C重合，时，四边形是平行四边形，此时B、D关于x轴对称，是等边三角形，∴，，∴点B的坐标为，点D的坐标为；当E、C重合，时，四边形是平行四边形，∵点B的坐标为，，∴点D的坐标为；如图所示，过点A作的平行线，∵，∴点D在直线上，当时，四边形是平行四边形，此时B、D关于y轴对称，C、E也关于y轴对称，∵点B的坐标为，点C的坐标是，∴点D的坐标为；点E的坐标是；当时，四边形是平行四边形，∵点B的坐标为，点E的坐标是，由平移的性质，∵点O的坐标为，∴点D的坐标为；综上，点D的坐标为或或或．【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，线段的和差最值问题，平行四边形与坐标与图形结合的问题，将不共线的线段转换为共线线段为解题关键．20．（1）①，；②周长的最小值为；（Ⅱ）直线解析式.【分析】（1）①直接根据条件就可以求出点和解析式.②作点关于轴对称点，作点关于直线对称点连接交轴于，交直线于，求出直线解析式，再根据条件求出最小周长.(2)作于，，先求出，再求出E，P两点的坐标，再列解析式.解：（1）①，∴直线解析式；②作点关于轴对称点，作点关于直线对称点连接交轴于，交直线于，此时周长的最小，∵，，∴直线解析式，当时，，∴，∵，∴周长的最小值为；（Ⅱ）如图：作于，∵，∴且，∴，且，∴，∵四边形是平行四边形，∴.又∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，设直线的解析式，，∴，∴直线解析式.【点拨】本题考查直线与几何的综合运用，要熟悉掌握求解析式与画辅助线的能力.21．（1）见分析；（2）①见分析，②3【分析】（1）延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，证明四边形BCFD是平行四边形即得；（2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M，先证明，进而得出，再根据（1）的结论即得；②连接DM，根据（1）的结论得出EF=DM，进而得出当DM最大时，EF最大，再根据勾股定理求出DM的值，进而得出EF的值．解：（1）如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，∵D、E分别是AB、AC的中点∴，AD=BD在和中∴∴∠A=∠ECF，AD=CF∴CF∥AB又∵AD=BD∴CF=BD∴四边形BCFD是平行四边形∴DF=BC，DE∥BC∵EF=DE∴DE=DF=BC∴DE∥BC，DE=BC（2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M∵AD∥BC∴∵F分别是CD的中点∴DF=FC∵∴∴∴BM=AD+BC∵E、F分别是AB、CD的中点∴EF∥BC，FE=BM∴EF∥BC，FE=（AD+BC）②解：连接DM∵点E，F分别为MN，DN的中点∴由（1）知EF=DM∴DM最大时，EF最大∵M与B重合时DM最大∴DM=DB==6∴EF的最大值为3．【点拨】本题考查了勾股定理、全等三角的性质及判定，解题关键是根据边的中点构造全等三角形转化边．22．（1）（9，3），（3，3）；（2）DM+EN的最小值为；（3）直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2．【分析】（1）延长BC交y轴于点G，可得到等腰，可求出OG，CG，即可求解；（2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，可得到四边形OABC是平行四边形，则当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值，由勾股定理即可求出；（3）直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R，然后进行分类讨论即可．解：（1）延长BC交y轴于点G，∵在平行四边形OABC中，OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°，∴∠COG＝45°，OG＝CG，BC＝OA＝6，∴在中，，即，解得：，即CG=3，∴BG＝BC+CG＝9，∴顶点B的坐标为（9，3），顶点C的坐标为（3，3），故答案为：（9，3），（3，3）；（2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，∵MN＝DF＝1，∴F（1，–1），又由平移性质可得DF∥MN，∴将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，，∴DM＝FN，∴当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值，此时DM+EN＝FN+EN＝EF，∵四边形OABC是平行四边形，∴E是AC的中点，∵A（6，0），C（3，3），∴E（4.5，1.5），∵F（1，–1），∴EF＝，∴DM+EN的最小值为；（3）设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R，∵直线l：y＝kx+b过点P（0，−2），∴b＝–2，在y＝kx﹣2中，当y＝0时，x＝，当y＝3时，x＝，∴Q（，0），R（，3），∴OQ＝，CR＝，∴S四边形OQRC＝（OQ+CR）×3＝，①当S四边形OQRC＝S四边形QABR时，＝，解得：k＝1，∴直线l的函数解析式为：y＝x–2，②当S四边形OQRC＝2S四边形QABR时，＝，解得：k＝，∴直线l的函数解析式为：y＝x﹣2，综上，直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一次函数的几何应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想解答．23．（1），；（2）见分析；（3）．【分析】（1）由平行四边形性质可得，利用30°直角三角形性质开得，根据勾股定理，设，则，根据勾股定理，解得即可；（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，由平行四边形ABCD性质，可得AB∥CD，AB=CD，可证（SAS），可得，，由垂直平分，，可证，再证即可；方法2截长：如图4，过点作于点，连接，先证（SAS），再证（AAS），最后证（HL），可得即可，（3）在上截取，连接、，先证是等边三角形，可得，，可证（SAS），可证，设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短由，先求，由勾股定理即可．解：（1）由平行四边形性质可得，在中，，，，∴，根据勾股定理，在中，，，，设，则，根据勾股定理，即，解得，∴，；（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵∴AE⊥AB，∴，在△ADE和△BMA中，，∴（SAS），∴，，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．方法2截长：如图4，过点作于点，连接，∵CF⊥AD，∴，在△CFH和△CFD中，∴（SAS），∴，∵，∴，在△BNC和△AED中，∴（AAS），∴，，∵，∴，∵，于，∴=∠BNG，在Rt△ABG和Rt△NBG中∴（HL），∴，∴．（3）在上截取，连接、，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，在△CDH和△CPH′中，∴（SAS），∴，∴，∴，∵，∴，设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短∵由（1）得：，，，∴，，∴的最小值为．故答案为：．【点拨】本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键．24．（1）10；（2）