(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数解题技巧总结

单选题1、设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（

）A．是偶函数，且在

单调递增B．是奇函数，且在

单调递增C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在

单调递增答案：B分析：先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，又对数式y＝是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．故选：B．2、下列式子的互化正确的是（

）A．B．C．D．答案：C解析：根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.根据分数指数幂的运算可知，，，，，故选：C3、设都是正整数，且，若，则不正确的是（

）A．B．C．D．答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断.由都是正整数，且，，、得，故B选项错误，故选：B.4、我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（

）A．120B．200C．240D．400答案：D分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，当时，，当时，取得最小值240，当

时，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D5、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（

）A．B．C．D．答案：D分析：求出的关系，再根据基本不等式判断．由题意，，时，，，时，，，，因此，综上，．故选：D．6、设，且，则（

）A．B．10C．20D．100答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.由，可得，，由换底公式得，，所以，又因为，可得．故选：A.7、已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（

）A．B．(0，1)C．D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数在上是减函数，有，函数在上是减函数，有，即，并且满足：，即，解和，综上得，所以a的取值范围为.故选：A8、设，则（

）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：.故选：C.9、已知函数，则对任意实数x，有（

）A．B．C．D．答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．10、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（

）A．23天B．33天C．43天D．50天答案：B分析：根据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.，故，故，令，∴，故，故选：B.多选题11、下列选项中，正确的有（

）A．B．C．D．答案：ACD分析：根据对数运算法则和对数函数的单调性，结合基本不等式、对勾函数的单调性判断．，所以，A正确；因为，所以，即，B错误；，C正确；由于对勾函数在上是减函数，，所以，即，D正确．故选：ACD．12、(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（

）

A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3答案：ABD解析：由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D.图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵，∴每月的增长率为1，A正确.当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确.∵2=，3=，6=，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，D正确.故选：ABD.小提示：本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题.13、已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为答案：AC分析：函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；若，，即可解出不等式；即可选出答案.对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；对于C，因为函数在区间上为增函数，所以当m=0时，，符合题意；当时，，解得；所以，故C正确；对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.故选：AC.14、下列各式比较大小，正确的是（

）A．1.72.5＞1.73B．C．1.70.3＞0.93.1D．答案：BC分析：A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，对于选项B：＝，∵函数y＝2x在R上单调递增，且，∴＝，故选项B正确，对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，∴，又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，∴，∴＜，故选项D错误，故选：BC．15、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）A．6B．9C．8D．7答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得.设经过次过滤，产品达到市场要求，则

，即，由

，即

，得

，故选BC．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.填空题16、已知函数是指数函数，且，则______．答案：分析：依题意设（且），根据即可求出的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.解：由题意，设（且），因为，所以，又，所以，所以，所以．所以答案是：17、函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为______．答案：{x|x≥1}分析：由题意可得a＝2，，，由ax≥f（a），结合指数函数单调性可求x解：由函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2∴，由ax≥f（a）可得，2x≥2∴x≥1所以答案是：{x|x≥1}18、函数的单调减区间是______.答案：分析：求出函数的定义域根据复合函数单调性的判断方法可得答案.由得函数的定义域为，为开口向下、对称轴为的抛物线，又为增函数，由复合函数单调性的判断方法得，当时是减函数，所以的单调减区间为.所以答案是：.解答题19、已知函数.（1）若是定义在R上的偶函数，求a的值及的值域；（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.答案：（1），；（2）解析：（1）根据偶函数的定义，求出，得，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2），由条件可得，在上是减函数，且在上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数的不等式，即可求解.解：（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，所以，故，此时，，定义域为R，符合题意.令，则，所以，故的值域为.（2）设.因为在上是减函数，所以在上是减函数，且在上恒成立，故解得，即.小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值