量子力学课件第一章学习资料

量子力学

QuantumMechanics课程简介

量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是物理学专业的专业必修课程之一。

一.研究对象:经典力学宏观粒子的低速运动相对论力学宏观粒子的高速运动

量子力学微观粒子的低能运动相对论量子力学微观粒子的高能运动二.学习量子力学课程的主要目的是：

⑴使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。⑵使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与提高打下必要的基础。

主要内容I.

绪论

II.

波函数和薛定谔方程

III.

量子力学中的力学量IV.

态和力学量的表象

V.微扰理论

VI.自旋与全同粒子教材与参考书1．周世勋，量子力学教程，高等教育教育出版社。2.周世勋，量子力学教程课后习题解答。3．曾谨言，量子力学教程，科学出版社。4．钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。5.量子力学习题集

王正清

高等教育出版社。第一章绪论§1.1经典物理学的困难§1.2光的波粒二象性§1.3原子结构的玻尔理论§1.4微粒的波粒二象性§1.1经典物理学的困难经典力学(牛顿定律)经典电磁学(麦克斯韦方程)一．经典物理学的成就解释了大到天体小到原子分子的运动和各种电磁现象和光的传播等现象.这些我们在以前的课程中已经学习了.经典光学(波动理论,麦克斯韦方程)经典热力学(热力学\统计力学)最为突出的事例：1846年海王星的发现.1864年麦克斯韦预言电磁波.经典物理的成就达到了登峰造极的程度.二．经典物理学的困难19世纪末物理学上空的乌云：黑体辐射的能量密度随波长的分布.光电效应固体低温下的比热,原子的稳定性与线状光谱.三.量子力学发展简史1896年气体放电管，发现阴极射线。1897年J.JThomson通过测定荷质比，确定了电子的存在。1900年M.Plank提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。1905年A.Einstein将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。1924年L.deBröglie提出了“物质波”思想。1913年N.Bohr提出了原子结构的量子化 理论（旧量子论）1911年E.Rutherfold确定了原子核式结构1923年A.H.Compton散射证实了光子的基本 公式的正确性，并证实在微观碰撞过程中能量守恒、动量守恒成立。1925年W.Heisenberg建立了量子力学的“矩阵形式”1926年E.Schrödinger建立了量子力学的“波动形式”

并证明了与“矩阵形式”等价。1927年Davission,Germer电子衍射实验。1927年Dirac发展了电磁场的量子理论1928年Dirac建立了相对论量子力学（Dirac方程）§1.2光的波粒二象子性光的波动性光的干涉,衍射,偏振等.光的粒子性黑体辐射,光电效应,康普顿散射等.一.光的波动性的一个典形例子:

杨氏双缝干涉实验亮线位置：暗线位置：

光的波动性,另外还有:光的干涉,衍射,偏振等.二、光的粒子性

黑体辐射的能量密度随波长的分布光电效应康普顿散射1、黑体辐射实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。单色辐出度单位时间、单位表面积上所辐射出的、单位波长间隔中的能量。辐射出射度

经典物理遇到的困难

瑞利和琼斯用能量均分定理电磁理论得出：只适于长波，有所谓的“紫外灾难”。实验瑞利-琼斯线维恩线T=1646k维恩根据经典热力学得出：实验瑞利-琼斯线维恩线T=1646k普朗克线普朗克的拟合结果

普朗克能量子假说*辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值

*存在着能量的最小单元（能量子=h)*振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量从理论上推出：分别是玻尔兹曼常数和光速。

h=6.62610-34焦耳。2.光电效应

光电效应的实验规律及经典理论的困难UG

饱和光电流强度与入射光强度成正比。或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比U0312UIIS0相同频率，不同入射光强度U03U02U01312UIIS0相同入射光强度，不同频率光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。截止电压的大小反映光电子初动能的大小截止电压与入射光频率有线性关系红限频率

*经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率有关而与光强无关。经典理论的困难：*只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为有无光电效应不应与频率有关。

*瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。

当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：A称为逸出功。只与金属性质有关。与光的频率无关。（4）当（临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。

Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K是趋于0的现象。这时，Plank的光量子能量不连续性概念才引起很多人的注意。(1)光的量子性干涉、衍射现象：光是波赫兹：光是电磁波黑体辐射、光电效应：光的量子性:电磁辐射的能量是被一份一份地发射和吸收的。(2)Plank-Einstein关系

Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念：即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是：并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量P波长λ的关系：3、Compton散射

Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。

早在1912年，C.Sadler和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果。康普顿散射的实验规律：1、散射线波长的改变量

随散射角

增加而增加。2、在同一散射角下

相同,与散射物质和入射光波长无关。3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。

入射X光

散射X光散射角

Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即X射线频率变小而波长增大。相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守恒，即：（5）（6）并利用相对论中能量动量关系式

入射X光

散射X光散射角可得（7）对于光子，则代入式（7），可解出（8）或利用上式改写成（9）令（电子的Compton波长）（10）（11）

由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依赖关系中包含了Plank常数。因此，它是经典物理学无法解释的。

Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是它的一部分）被散射。此外，Compton散射实验还证实：Plank-Einstein关系在定量上是正确的在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）§1.3原子结构的玻尔理论一、原子的线状光谱和稳定性二、Bohr的量子论一、原子的线状光谱与稳定性问题1895年Röntgen发现X射线1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭

电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。1.原子的稳定性1904年Thomson提出有关原子结构的Thomson模型1911年Rutherford通过α粒子散射实验提出Rutherford模型，即今天众所周知的“核式结构模型”

由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而丧失能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定的存在着。

2.原子的线状光谱及其规律6562.8Å4861.3Å4340.5Å4101.7ÅHαHβHδHγH∞图1.2氢原子光谱（Balmer系）最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差其中m,n是某些整数。显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。（频率条件）2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁时，吸收或发射的辐射的频率ν是(3)玻尔的量子论(一)Bohr量子论的主要内容：1、定态假定：原子只能够存在于满足玻尔-索末菲量子化条件的一系列状态中,称为定态。(二)玻尔理论的成就和局限性:成就:玻尔理论成功地解释了氢原子和碱金属的线光谱.局限性:无法解释光谱线的强度,无法解释其它的复杂原子.§1.4微粒子的波粒二象性一、德布罗意的物质波二、电子衍射实验三、微观粒子的波粒二象性四、自由粒子的德布洛意平面波一、德布罗意的物质波德布罗意(duedeBroglie,1892-1960)德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文《关于量子理论的研究》中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。一个质量为m的实物粒子以速率v运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n和波长l所描述的波动性。德布罗意关系如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：如电子m=9.1

10-31Kg，速度v=5.0107m/s,对应的德布罗意波长为：太小测不到！X射线波段二、电子衍射实验1、戴维逊-革末实验GM戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G.P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。实验装置：电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体M上，散射后进入电子探测器，由电流计G测量出电流。K实验现象：实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压U=54V,且θ=500时，探测器中的电流才有极大值。Δ实验解释：54U(V)IOΘ/2Θ/2X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm实验结果：理论值(θ=500)与实验结果(θ