山大《理论力学》教案

《理论力学》教案

山东大学土建与水利学院

工程力学系

第1篇静力学

第1章静力学基本知识与物体的受力分析

一、目的要求

1.深入地理解力、刚体、平衡和约束等基本概念。

2.深入地理解静力学公理（或力的基本性质）。

3.明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。

4.熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。

二、基本内容

1.重要概念

1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面

保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。

2）刚体：在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。

3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究

对象运动的物体。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向总是

与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。

4）力：物体之间的相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改

变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应

或内效应，理论力学只研究力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、

方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。

5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力

6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，

力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、

平行力系、汇交力系和任意力系等等。

7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作

用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。

8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。

9）力的合成与分解：若力系与一个力取等效，则力尸R称为力系的合力，而

力系中的各力称为合力取的分力。力系用其合力几代替，称为力的合成；反之,

一个力取用其分力代替，称为力的分解。

2.静力学公理及其推论

公理一力的平行四边形法则

与一个力系相等效的力称为该力系的合力。作用在刚体上同一点的两个力的

合力仍作用在该点，合力的大小与方向由这两个力为邻边构成的平行四边形对角

线确定，即合力矢等于这两个力矢的矢量和(图5-5/)。以数学公式表示为

如果取该平行四边形的一半作为二力合成法则，则称为力的三角形法则(图

5-5b,c)0

(a)(b)(c)

图5-5

这一公理提供了一种最简力系合成或分解的方法。指出了作用于刚体上最简

单力系的平衡条件。对刚体而言，这个条件既必要又充分，但对非刚体而言，这

个条件并不充分。

公理二二力平衡公理

作用在刚体上的两个力平衡的必要与充分条件是：二力沿着同一作用线、大

小相等、方向相反，如图5-6a、b所示。此公理揭示了最简单的力系平衡。

只受二力且平衡的刚体称为二力构件或二力杆。

公理三加减平衡力系公理

在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系

对刚体的作用效应。

此公理是研究力系等效替换的重要依据和主要手段。

依据上述公理，可以导出下述推理。

推理一力的可传性原理

作用与刚休上某点的力，可以沿其作用线移动到刚体内任意点，而不改变该

力对刚体的作用。

推论表明，对刚体而言，力的作用点已不是决定力的作用效应的一个要素，

它应由力的作用线所取代。由此可见，对刚体而言，力的三要素已变为：力的大

(a)(b)(c)

图5-7

小、方向和作用线。作用于刚体上的力矢可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑

动矢量。

推理二三力平衡汇交定理

如果刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个

力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。

给出了三个不平行的共面力构成平衡力系的必要条件。当刚体受不平行的三

力作用处于平衡时，常利用这个关系确定未知力的作用线方位

公理四作用与反作用公理(定律)

作用力与反作用力总是同时出现、同时消失，两力等值、反向、共线，分别

作用在两个相互作用的物体上。

此公理概括了任何两个物体间相互作用力之间的关系。

公理五刚化公理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体看作(硬化)为刚体，其

平衡状态不变。此公理说明了变形体平衡时，作用于其上的力系必须满足变形体

刚化后刚体的平衡条件。从而建立了刚体的平衡条件和变形体平衡条件之间的联

系，即刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件。这样，人们就能把刚体的平衡

条件应用到变形体的平衡问题，扩大了刚体静力学的应用范围。

3.工程中常见的约束类型及其反力的画法。

1）光滑接触面：其约束反力沿接触点的公法线，指向被约束物体。

图5-17

2）光滑圆柱较链和径向轴承：其约束反力位于垂直于销钉轴线的平面内，

经过轴心，通常用过轴心的两个大小未知的正交分力表示。

3）固定较支座：其约束反力与光滑圆柱较链相同。

4）活动较支座：与光滑接触面类似。其约束反力垂直于光滑支承面。

5）光滑球钱链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。

6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。

7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。

8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离

(a)b)

图5-16

被约束物体。

9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶

表示；在空间情况下，通常用空间的三个正交分力和空间的三个正交分力偶表示。

4.受力分析及画受力图

正确地进行物体的受力分析并画其受力图，是分析、解决力学问题的基础。

画受力图时必须注意以下几点：

①明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为讦究对象，也可以取

4

(b)

图5-22

由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。

图5-20

②正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体间相互的机械作用，因此,

对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。

同时，也不可漏掉某个力。一般可先画主动力，再画约束反力。凡是研究对象与

外界接触的地方，都一定存在约束反力。

③正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分

别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。

④当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方

向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内

力成对出现，组成平衡力系。因此不必画出，只需画出全部外力。

三、重点和难点

重点：1.力、刚体、平衡和约束等概念。

2.静力学公理及其推论。

3.柔性约束、光滑支承面约束、光滑较链约束的特征及其反力的画法。

4.单个物体及物体系统的受力分析。

难点：光滑较链的约束特征(尤其是销钉连接二个以上的构件即复合校)，

物体系统的受力分析，平面汇交力系(多个力)合成与平衡的几何法。

四、教学建议

1.教学提示

①本章讲述概念较多，要讲清这些概念的定义，并理解其意义。例如：

属于力的：力系、等效力系、合力、分力、平衡力系、主动力、约束反力、

作用力、反作用力、内力、外力等。

属于物体的：变形体、弹性体、刚体、自由体、非自由体等。

属于数学的：代数量、矢量(向量)、单位矢量、定位矢量、滑动矢量等。

②静力学公理是最普遍、最基本的客观规律，是静力学基础，要讲透。并

使学生深入理解和熟记这5个公理与2个推论。

③多举例题讲清楚约束反力的确定方法和受力图的正确画法。

④鼓励使用多媒体教学，学生可以在理论力学精品课程网上观看电教片及

相关课件。如《力学在机械工程中的应用》《力学在土木工程中的应用》《约束及

物体的受力分析》等。

2.建议学时

课内(5学时)课外(7.5学时)

3.作业布置

习题：1/(b)(f)(g)1-2(a)(c)(e)l-3(a)(e)(D

1-4(a)(b)(c)(d)(e)(f)1-5(a)(b)(d)

第2章平面汇交力系与平面力偶系

一、目的要求

1.平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法，并能应用平衡的几何条

件求解平面汇交力系的平衡问题。

2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影,对合力投影定理有

清晰的理解，掌握汇交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟练的应用平衡方程

求解汇交力系的平衡问题。

3.理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。

4.深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效

条件。

二、基本内容

1.平面汇交力系合成的几何法•力多边形法则

平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量

和。即

产小居+B+…+尸"=为耳或FR=£F

J=1

合力耳的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。作出图示首

尾相接的开口的力多边形，封闭边矢量即所求的合力。

2.平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。其矢量表达式

为

FR=£F=O(2-2)

力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。如图2-4所示。

3.力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式

力W在轴上的投影分别为

F=Feosa

x>

FY=Feos/?=Fsinct

力的投影是代数量。

4.平面汇交力系合成的解析法

合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数

和分别为零。即

两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

5.平面内的力对点O之矩是代数量，记为(尸)

M/F)=±F/?=±2MBO

其中尸为力的大小，h为力臂，AABO为力矢A3与矩心。组成三角形的面积。

一般以逆时针转向为正，反之为负。

力矩的解析表达式为：(弓=xFy-yFx

合力矩定理：%(凡)=W>°(E)

6.力偶和力偶矩：

.大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。

•力偶对物体的转动效应用力偶矩度量

M=±Fd

力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。

力偶的性质

(1)力偶在任一轴上的投影等于零，力偶与一个力不等效，它既不能合成一

个力，也不能与一个力平衡，

(2)力偶对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。

(3)力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

两个推论：

(a)力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的作用。

(b)只要力偶矩不变，可任意改变力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶

对物体的作用。

7.平面力偶系的合成与平衡条件

(1)平面力偶系的合成

平面力偶系合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，

即

xA/=0

一个独立的平衡方程，可解一个未知量。

三、重点和难点

重点：1.力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及

求解平衡问题的解析法。

2.力对点之矩的计算、力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条

件。

难点：力偶系的合成与平衡问题

四、学习建议

①力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区

别。

②力偶是力学的基本元素之一，将力和力偶从要素、定量描述、在轴上的投

影、对点的矩、等效条件、性质等方面进行比较，清楚力偶矩与力矩的异同点。

③对力偶系的简化方法及简化结果应了解透彻。对力偶系的平衡问题通过典型例

题进行练习。

第1节汇交力系

一、目的要求

1.理解汇交力系合成的几何法，力多边形法则和三角形法则。

2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。

3.掌握汇交力系合成的解析法，对合力投影定理有清晰的理解，并能熟练

地计算。

4.深入理解平面汇交力系的平衡条件及平衡方程的应用。

二、基本内容

1.基本概念

1）力多边形法则

2）力在轴上的投影为

N=Fcosa

式中a为力户与〃轴间的夹角，投影值为代数量。

3）力在空间直角坐标轴的投影

（a）直接投影法：己知力尸和直角坐标轴夹角a、小y,则力尸在三个轴上的投

影分别为

X=Fcosa

Y=Fcosj3

Z=Fcosy

（b）间接投影法（即二次投影法）：已知力尸和夹角丫、⑺则力尸在三个轴上的

投影分别为

X=Fsin/cos^?

Y=Fsinysin^J

Z=Feos/

力沿坐标轴分解满足力的平行四边形法则.

在直角坐标系下有

X=Fx,Y=Fy,Z=Fz

4）力的解析表达式为

F=Xi+Yj+Zk

5）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代

数和。FRFZX

FR产ZY

FRZ=ZZ

2.汇交力系的平衡条件和平衡方程

汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力为零。其解析表达式称为平衡

方程。

zx=o

Z片0

於0

3.汇交力系平衡方程的应用

应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要

方法。这种解题方法包含以下步骤：

①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问

题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件,

又包含待求的未知量。

②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对

象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平

衡汇交定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。

③建立平衡方程式，求解未知量。

为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：

（a）根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意

力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。

（b）建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅

垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。

c）建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。

d）求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力

学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只

要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等）,

则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免

去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只

含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。

三、重点和难点

重点：力在坐标轴上的投影、合力投影定理、汇交力系的平衡条件及求解平

衡问题的解析法。

难点：物体系平衡问题中正确选取研究对象。

四、教学建议

1.教学提示

①讲清用三力平衡汇交定理确定未知约束反力方向应注意的问题。

②讲清力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系

与区别。

③对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象，应通过典型例题着重讲

解，并引导学生进行归纳总结

2.观看精品课程网上名师教学录象及教学模型。

3.建议学时

课内（3学时）课外（4.5学时）

4.作业布置

习题2-12、2-14、2-17、2-19、2-20。

第2节力偶理论

一、目的要求

1.、熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。

2.深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。

3.熟练掌握力偶系的合成与平衡的求解。

4.理解力的平移定理及其意义。

二、基本内容

1.基本概念

1)平面内的力对点0之矩是代数量，记为

Mo(F)=±Fh=±2SAB0

其中尸为力的大小，h为力臂，AABO为力矢A8与矩心O组成三角形的面积。

一般以逆时针转向为正，反之为负。

2)空间中力对点之矩

在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为

iJk

M0(F)=rxF=xyz=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k

XYZ

r=xi+yf+zkF=Xi+Yj+Zk

其中r为力尸作用点相对于矩心。的位置矢径

3)力对轴之矩

在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面

上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即

Mz(F)=±Fxyh=±2AOAB

在直角坐标条下有

Mx(F)=yZ-zYMy(用=zX-xZMAF)-xY-yX

4)力矩关系定理

力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有

5)力偶和力偶矩：

(a)力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有

合力，也不能用一个力来平衡。

(b)力偶矩

平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即

M=±Fd

式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。

空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方

位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自由矢量，其大小

等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右

手螺旋法则。

6)力偶的性质

(a)力偶在任一轴上的投影等于零，它对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与

矩心的位置无关。

(b)力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

力偶矩(矢)是力偶作用效果的唯一度量。

2.力偶系的合成与平衡

(a)力偶系的合成

(b)力偶系的平衡

ZMx<F)=O

ZMy(F)=O

(r)=0

3.力偶系的平衡应用

三、重点和难点

重点：力对点之矩和对轴之矩的计算、力偶矩的概念、力偶性质和力偶等效

条件；力的平移定理。

难点：1、空间力偶的矢量表示。

2、力偶系的合成与平衡问题

四、教学建议

1.教学提示

①强调力偶是力学的基本元素之一，并将力和力偶从要素、定量描述、在轴

上的投影、对点的矩、等效条件、性质等方面进行比较，加深理解，讲清力偶矩

与力矩的异同点。

②对力偶系的简化方法及简化结果应阐述透彻。

③对力偶系的平衡问题应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总

结。

2.观看精品课程网上名师教学录象及教学模型。

3.建议学时

课内（4学时）课外（6学时）

4.作业布置

习题3・3、3-7、2・10、3-12>3・14。

第3章空间力系

一、目的和要求

1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。

2、熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。

3、对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。

4、了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。

5、能正确地画出各种常见空间的约束反力。

6、会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。

7、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体

的重心。

二、基本内容

1.基本概念

1)力在空间直角坐标轴的投影

(a)直接投影法：已知力尸和直角坐标轴夹角G依则力尸在三个轴上的投

影分别为

X=Fcosa

r=Fcos/7

Z=Feos/

(b)间接投影法(即二次投影法)：已知力尸和夹角丫、仍则力尸在三个轴上的

投影分别为

X=Fsin/cos^

Y=Fsinysine

Z=Feos/

2)力矩的计算

(a)力对点之矩

在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为

ijk

A/0(F)=rxF=xyz=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k

XYZ

r=xi+yf+zkF=Xi+Yj+Zk

其中，为力尸作用点的位置矢径

(b)力对轴之矩

在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面

上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即

Mz(F)=±Fxvh=±2/^OAB

在直角坐标条下有

MCA二yZ-zYMy(/)-zX-xZMz㈤=xY-yX

(c)力矩关系定理

力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有

M,(F)=MJPV+MY(尸)/+%(尸)〃

(d)合力矩定理

空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即

空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的

代数和，即

M:(FR)=lM：(F)=X(xY-yX)

3)空间力偶及其等效条件

(a)力偶矩矢

空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位

及力偶的转向)，它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自由矢量，其大小等

于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用而垂直，指向与力偶转向的关系服从右手

螺旋法则。

(b)力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

2.空间力系的简化与合成的最终结果

1)空间力系向已知点。简化

空间力系向已知点O简化的一般结果为一个作用在O点的力和一个力偶，该

力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心。的主矩。

主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。

2)空间力系合成的最终结果

空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋

和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳

如下：

主矢主矩最后结果说明

平衡

Mo=0

合力偶此时主矩与简化中心的位置无关

M>=0合力合力作用线通过简化中心

合力作用线离简化中心O的距离为

M#0FR^MO合力

FR

外俣0

力螺旋力系的中心轴通过简化中心

FR7/M0

力系的中心轴离简化中心O的距离为

M>WOFR与M.

力螺旋Msina

成a角cl_0

然’

3.空间力系的平衡条件和平衡方程

空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为

零。其基本形式的平衡方程为：

ZX=OZMv(F)=O

zy=olMy{F}=O

ZZ=OZMz(F)=O

须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应

用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，

而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以

简化计算。此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩

式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。

几种特殊力系的平衡方程

(a)空间汇交力系

ZX=()

Z片0

Z/0

(b)空间力偶系

ZMv(F)=O

ZMy(户)=0

ZMz(F)=0

(c)空间平行力系(若各力〃z轴)

ZZ=()

ZMx(F)=0

EMv(F)=0

4.空间力系平衡方程的应用

求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：

(1)求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研

究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。但是，由于力

系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不

同。

(2)为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度

及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在

计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量

较少。同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。

(3)根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。所选投影轴不必相互垂

直，也不必与矩轴重合。当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确

保方程的独立性。但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的

一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足

了附加条件。

（4）求解空间力系平衡问题，有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投

影的方法，把空间力系的平衡问题转化为平面问题求解。这时必须注意正确确定

各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。

5,平行力系中心及物体的重心

1）平行力系中心

只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平衡力系中力的方向

如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。其坐标公式

为

EF内“二ZF,

EH

2）物体的重心

物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。均质物体的重心与中心重合。

物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。物体重心的坐

标公式为

药二£P»”4

三、重点和难点

重点：1.力在空间直角坐标轴上的两种投影法；

2.力对轴之矩和力对点之矩的计算及力矩关系定理；

3.空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应

用；

4.各种常见的空间约束及约束反力画法；

5.重心的坐标公式。

难点：1.力在坐标轴上的二次投影；

2.空间力偶矩矢在坐标轴上的投影；

3.空间结构的几何关系与立体图；

4.解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；

5.求组合体的形心坐标。

四、学习建议

①计算空间力在坐标轴上的投影有两种方法，讲清各自的适用条件，区分力

的轴上，平面上的投影。

②明确空间力偶矩矢的性质，为什么规定它为自由矢量、如何表示其等效条

件，熟悉空间力偶系合成的解析法。

③力对点之矩是理解空间力系简化与合成的关键，而力对轴之矩是正确列出

力矩式平衡方程的基础，故要充分重视力对轴之矩的计算。计算的方法有4种:

（a）当力臂便于确定时，可直接由定义计算；（b）一般情况下，常将力沿坐标

轴分解，应用合力矩定理计算；（c）将力沿坐标轴分解之后代入力对轴之矩的分

析表达式计算；（d）利用力矩关系定理计算。在计算力对轴之矩时准确地分析一

个力对某轴之矩的正、负或为零也很重要（若一力与某轴共面，则此力对该轴之

矩为零）。

④通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化

的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴

与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。

⑤在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重

心，对组合法求重心要求熟练应用，积分法、查表法、实验法等只作一般介绍。

第4章平面任意力系与一般力系

第1节平面任意力系

一、目的要求

1.掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟

知平面任意力系简化的结果。

2.深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。

3.能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。

4.正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。

5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综

合作用。

二、基本内容

1•力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B,但必须

同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F对新作年点B的矩。

2.平面力系的简化

步骤如下：

①选取简化中心。：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上）

②建立直角坐标系。孙

③主矢：平面力系各力的矢量和，即

入'=£尸广才修+£修

i=\r=li=l

其中

22

贝大小:FR=7（sx）+（zr）

xy

尸…丫方向：tana=——

EX

其中a为尸R与x轴所夹锐角，所在象限由EX、2y符号确定，并画在简化中

心。上。

主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即

“〃=为—（耳）=♦（噌-"）

i=lr=l

一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选

取有关.

④简化结果讨论

a.若氏平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力

偶，其力偶矩用主矩M〃度量，这时主矩与简化中心的选择无关。

b若耳,0,M°=0：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力尸R,

且有尸产尸泉

c.若凡,°，加。工0：平面力系简化结果为一合力五垢其大小、方向与主

书

矢相同，作用线在距简化中心o为W3处。

d.FR=。，M〃=0,则该力系为平衡力系。

3.平面力系的平衡条件和平衡方程

平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主

矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。

1）基本形式

ZX=0

<zr=o

EM。（尸）=0

2）二矩式

SX=0

SMA（F）=0

2MA尸）二°附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴

3）三矩式

ZMA（F）=0

・闲（尸）=0

EM。（尸）=0附加条件为:A0C三点不共线

特殊力系的平衡方程

1）共线力系：*e二°

LX=O

2）平面汇交力系:sr=0

XV=0

（尸轴）

EM〃(F)=0

4）平面平行力系:

4.平面力系平衡方程的应用

应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要

方法。这种解题方法包含以下步骤：

①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问

题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件,

又包含待求的未知量。

②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对

象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平

衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。

③建立平衡方程式，求解未知量：为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应

注意如下几点:

（a）根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意

力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。

（b）建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅

垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。

c）建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。

d）求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力

学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只

要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等）,

则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免

去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只

含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。

5.平面简单桁架内力的计算

1）桁架：是由若干直杆在端点用钱连接而成的几何形状不变的结构。若所

有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。

2）在工程中的桁架满足四点假设。称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可

以称为两端受力作用的二力杆件.

3）桁架的坚固性条件利静定条件：2〃=加+3

4）求平面静定桁架各杆内力的两种方法。

①节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程

求出各杆的内力。

②截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分为

研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。

三、重点和难点

重点：1.平面任意力系向作用面内任一点的简化及力系的简化结果。

2.平面任意力系平衡的解析条件及平衡方程的各种形式。

3.物体及物体系平衡问题的解法。

难点：1、主矢与主矩的概念。

2、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求

解未知量。

3、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。

4.会用节点法，截面法求解平面静定桁架的内力

四、学习建议

①对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是

在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不

是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特

征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选

取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中

心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。

②对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，通过典型例

题着重了解，并进行归纳总结。特别指出如下要点：

其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判

断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取

整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力

构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无

法求解全部未知量；（b）将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究

对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路

简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。因此,

一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象

求解系统的平衡问题。

其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个

数，可能出现两种情况：（a）该问题是静不定问题；（b）该问题为刚体系统的平衡

问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡

方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。

③简单桁架的内力计算实际上是平衡方程的工程应用，当桁架结构比较复

杂，杆件总数和节点数都比较大的情形下，则无论采用节点法或截面法，计算量

都可能较大。若采用计算机分析方法，则会简单得多。目前一些工程力学应用软

件中，都包含有分析静定和超静定桁架内力的程序。

第2节一般力系

一、目的和要求

1、掌握空间力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，明确空

间力系合成的四种结果。

2.能正确地画出各种常见空间的约束反力。

3、会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。

4.深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。

5.能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。

6、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体

的重心。

7.正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。

二、基本内容

1.基本概念

1）空间力系向已知点。简化

空间力系向已知点。简化的一般结果为一个作用在。点的力和一个力偶，该

力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心。的主矩。

主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。

2）主矢和主矩

主矢：力系各力的矢量和，即

/心西

2-1

主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即

此=之死（耳）

3）静定和静不定问题

4）合力矩定理

空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即

MO（FR）=ZM0（F）

空间力系的合力对任一轴（例如z轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的

代数和，即

M:(FR)=XM:(F)=X(xY-yX)

2.空间力系合成的最终结果

1）空间力系合成的最终结果

空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋

和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳

如下：

主矢主矩最后结果说明

M0=0平衡

FRH)

合力偶此时主矩与简化中心的位置无关

合力合力作用线通过简化中心

Mo=0

合力作用线离简化中心0的距离为

F^.LMo合力公处

FR

FR学0

FR7/MO力螺旋力系的中心轴通过简化中心

力系的中心轴离简化中心O的距离为

FR与

力螺旋Msina

成a角ci_o

2）平面力系的简化

步骤如下：

①选取简化中心0：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上）

②建立直角坐标系

③求主矢：

元=xxl［大小：冗=J（2X）2+Qy）2

>yy

FR=ZY方向：tana=

EX

其中a为正R与%轴所夹锐角，所在象限由zx、2y符号确定，并画在简化中心。

上。

④求主矩：（尸）逆正顺负，画在图中

⑤简化结果讨论

a.若兄=。，平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力

偶，其力偶矩用主矩度量，这时主矩与简化中心的选择无关。

b.若凡。0,M〃=0：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力尸R,

且有尸片尸公。

C.若F#0,M,,wO：平面力系简化结果为一合力股，其大小、方向与主

矢相同，作用线在距简化中心。为"=卜1处。

d玛；=0,”。二°,则该力系为平衡力系。

3.空间力系的平衡条件和平衡方程

空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为

零。其基本形式的平衡方程为：

ZX=OZMv(F)=O

zr=oZMy<F)=O

ZZ=OZMz(F)=O

须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应

用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，

而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以

简化计算。此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩

式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。

4.平面力系的平衡条件和平衡方程

平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主

矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。

1)基本形式

ZX=0

R=0

XMo(F)=0

2)二矩式rzx=o

NM八(F)=0附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴

XMB(F)=0

3)三矩式

2MA(户)=0

«2MB(广)=0附加条件为：A、3、。三点不共线

SA/c(F)=0

特殊力系的平衡方程

1)共线力系：工耳二°

zx=o

zr=o

2）平面汇交力系:

3）平面力偶系：2仍=0

zr=0-

（E〃y轴）

巩⑺=0'

4）平面平行力系:

5.空间力系平衡方程的应用

求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：

（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研

究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。但是，由于力

系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不

同。

（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度

及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在

计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量

较少。同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。

（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。所选投影轴不必相互垂

直，也不必与矩轴重合。当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确

保方程的独立性。但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的

一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足

了附加条件。

（4）求解空间力系平衡问题，有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投

影的方法，把空间力系的平衡问题转化为平面问题求解。这时必须注意正确确定

各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。

6,平行力系中心及物体的重心

1）平行力系中心

只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平行力系中力的方向

如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。其坐标公式

为

2）物体的重心

物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。均质物体的重心与中心重合。

物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。物体重心的坐

标公式为

钛/__轨一

C-EPjy，_M，'，一轨

三、重点和难点

重点：1.平面力系、空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡

方程及其应用；

2.各种常见的空间约束，平面固定端约束及约束反力画法

3.重心的坐标公式。

难点：1、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求

解未知量。

2、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。

3.空间结构的几何关系与立体图。

4.解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；

四、教学建议

1.教学提示

①对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是

在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不

是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特

征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选

取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中

心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。

②对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，应通过典型

例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结。特别指出如下要点：

其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判

断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取

整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力

构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无

法求解全部未知量；（b）将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究

对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路

简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。因此,

一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象

求解系统的平衡问题。

其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个

数，可能出现两种情况：(a)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡

问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡

方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。

③适当介绍有关结构分析软件，初步培养学生力学建模和解决复杂物系平衡

问题的能力。

④采用模型或多媒体课件讲解建立空间概念。

⑤通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化

的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴

与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。

⑥在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重

心，对组合法求重心要求熟练应