平面几何基础知识基本定理

高中数学联赛二试讲义（组编）

平面几何

1.勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（I）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的i边

和另一边在这边上的射影乘积的两倍.（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边

在这边上的射影乘积的两倍.

2.射影定理（欧几里得定理）

3.中线定理（巴布斯定理）设△△8c的边8c的中点为P,则有人+人。2=2（八/>2+初2）：

中线长：〃?，二叵三三

“2

4.垂线定理：ABrCD<^>AC2-AD2=BC2-BD2.

Gr

高线长：ha=—4p（p—a）（p—b）（p—c）=，sinA=csin8=bsinC.

aa

5.角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角为两边对应成比例.

如△A8C中，4。平分N84C,则殷=丝；（外角平分线定理）.

DCAC

角平分线长：ia=—Jbcp（p-a）=-cos-（其中〃为周长一半）.

b+cb+c2

6.正弦定理：=2R,（其中R为三角形外接圆半径）.

sinAsinBsinC

7.余弦定理：c2=a2+b2-labcosC.

8张角定理.sinNAAC_sinNBAZ）sinZD/4C

AD―ACAB

9.斯特瓦尔特（Se卬小力定理：设已知及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB--DC+AC2-BD-AD2-BC=

BC・DC・BD.

10.圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半.（圆外角如何转化？）

11.弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角.

12.圆冢定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线K定理：）

13.布拉美•占塔（BM加定理：在圆内接四边形A8C。中，自对角线的交点P向一边作垂线，其延

长线必平分对边.

14.点到圆的暴：设〃为。。所在平面上任意一点，PO=d,。。的半径为r,则小一户就是点P对于。。的舞.过P

任作一直线与交于点4、3,则以/8=|十一内.“到两圆等幕的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，

如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根

轴如果小互相平行，则它们交十一点，这一点称为三圆的“根心”.三个网的根心对十三个圆等•暴.当三个圆明两相

交时：三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点.

15.托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACBD=ABC。+八。小。，（逆命题成

立）.（广义托勒密定理）ABCD+ADBC^ACBD.

16.蝴蝶定理.：A8是。。的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M,CF、。上交A8于P、Q,求证：MP=QM.

17.费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离：不在等边三角

形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2三角形每一内角都小于120°时，在三

角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有

一内用不小于120°时，此角的顶点即为费马点.

18.拿破仑三角形：在任意AAB。的外侧，分别作等边△AB。、ABCE、△CAR则4E、AB、C。三线共点，并且AE

=BF=CD,这个命题称为拿破仑定理.以△ABC的三条边分别向外作等边△AZ?。、4BCE、△CA”,它们的外接

圆。Ci、的圆心构成的△----外拿破仑的三角形，©Ci、三圆共点，外拿破仑三角形是

一个等边三角形：4ABe的三条边分别向8c的内侧作等边△AB/）、ABCE、△C4尸，它们的外接圆OC2、O

42、的圆心构成的△一一内拿破仑三角形，0C2、042、。生三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三

角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心.

19.九点圆（Nine”川加〃0或欧拉圆或彼尔巴赫阿）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以

及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质，例如：

（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接网半径之半；

（2）九点圆的圆心在欧拉线匕且恰为垂心与外心连线的中点；

（3）三角形的九点圆与三角形的内切风三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）.

20.欧拉（Eider）线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上.

21.欧拉（EW〃）公式：设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为4,则/-

22.锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.

23.重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；仃色+2%以+%+）匕）

3'3

重心性质：（1）设G为△AbC的重心，连结八G并延长交8C于。，则〃为8。的中点，则4G:G£>=2:1；

（2）设G为AABC的重心，则SM

8CJ

（3）设G为AAAC的重心，过G作OE〃8C交A3于。，交AC于E,过G作P〃〃AC交A3于P,交,BC

,,…DEFPKH2DEFPKH。

十八过G作M“K〃八8交47于K,交8C于H,则——=—=——=-；——+—4-——=2：

BCCAAB3BCCAAB

（4）设G为△48C的重心，则

①8c2+3GA2=CA2+3GB，=AB?+3GC2；

（2）GA2+GR2+GC2=-（AfS2+BC2+CA2）：

③PA?+PB?+PC?=GA2+GB2+GC2+3PG2（P为△48C内任意一点）；

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2+GB2+GC2最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心：反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△A8C的重心）.

babc

-X+--------x+---------x

AncM25打+力义

24.垂心：三角形的三条高线的交点:H(cosAcosBcosC

abc

---------+--------+--------

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性质：（1）三角形任一呗点到全心的即.离，等十外心到对边的）离的2倍:

（2）垂心”关于△八8。的三边的对称点，均在△人8c的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H,则△A8C,△ABH,△BCH,△AC”的外接圆是等圆:

（4）设。，，分别为△ABC的外心和垂心，则N8AO=N〃4CNC8O=ZA8”,N8CO=N〃C4.

25.内心：三角形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等：

^ax+bx+cx」”+%+c%

ABc)

a+b+ca+b-ic

内心性质：（1）设/为△A8c的内心，则/到△AZ?C三边的距离相等，反之亦然;

（2：设/为△A8c的内心，WOZ^/C=90°+ZA,ZA/C=90°+=90°+：

（3：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若NA平分线交△八8。

外接圆十点K,/为线段4K上的点且满足K/=K8,则/为△48C的内心；

（4）设/为△ABC的内心，BC=a,AC=b,AB=c,/4平分线交BC于D,交AABC外接圆于点K,则

AI_AK_IK_b+c

（5）设/为△八BC的内心，3c=«AC=AA5=c,/在8cMeAB上的射影分别为内切圆半径为八

令〃=；（〃+/?+c）,则①S&3=〃/*：②AE=AF=p-a:BD=BF=p-biCE=CD=p-c：③

abcr=pAIBICI.

26.外心：三角形的三条中垂线的交点一一外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

〜sin2AX]+sin2Aj+sin2Crsin2Ay+sin2By+sin2Cy

0(------------------------------------ABc

sin2A+sin2B+sin2Csin2A+sin2B+sin2C

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等:

（2）设。为△48C的外心，贝!N8OC=2NA或N8OC=360°—2NA：

（3）R=£丝：（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.

4,“

27.旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心：设△A8C的三边BC=a,AC=0,48=c•，令

〃=；（。+〃+。），分别与3cAeA8外侧相切的旁切圆圆心记为/A，〃，％，其半径分别记为乙,加，心.

旁心性质：（1）/B，C=90。-gNA,N8/8C=N8/cC=g/A,（对于顶角&C也有类似的式子）；

（2）N/J〃c=g（NA+Q

（3）设4/4的连线交4同6。的外接回丁/）,则。〃一。4一。。（对丁皿8，。%有同样的结论）:

（4）△ABC是△/〃/丸的垂足三角形，且△〃/"c的外接圆半径H'等于AABC的直径为2R.

2

28.三角形面积公式：S^RC=—ah=—absinC=^^-=2RsinAsinBsinC=------"+""-------

224R4(cotA+cotfl+cotC)

=pr=yjp（p—«）（p—b）（p—c）,其中儿表示BC边上的高,R为外接圆半径，厂为内切圆半径,〃=g（a+8+c）.

29.三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

.A.8.C.ABC5A.BCAB.C

r=4i/n?sin—sin—sin—=4A/?nsin—cos—cos—,r.=4/?cos—sin—cos—,r.=4A/n?cos—cos—sin—;

222”222222c222

/―H_C，r,>-AC，"~~jg，

tan—tan—tan—tan—tan—tan—

222222

30.梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点

分别为尸、Q、R则有—•—（逆定理也成立）

PCQARB

31.梅涅劳斯定理的应用定理上设AA8c的NA的外角平分线交边CA于0,NC的平分线交边48于R,N8的平分

线交力C4于。，则尸、Q、R三点共线.

32.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意AA8C的三个顶点4、B、C作它的外接圆的切线，分别和8C、C448的延

长线交于点P、。、R,则〃、Q、R三点共线.

33.塞瓦（Ceva）定理：设X、八Z分别为6c的边8C、CA.4B上的一点，则4X、BY、CZ所在直线交于一点的充

AZBXCY

要条件是丽•而4L

34.塞瓦定理的应用定理：设平行于△A3C的边3。的直线与两边A3、ACH勺交点分别是£）、E,又设3E和CQ交于S,

则4s一定过边BC的中点M.

35.塞瓦定理的逆定理：（略）

36.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线

交于一点.

37.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设CABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AH、BS、CT

交于一点.

38.西摩松（Simson）定理：从△4BC的外接圆上任意一点尸向三边BC、CA.A3或其延长线作垂线，设其垂足分别

是D、E、R,则。、E、♦共线,（这条直线叫西摩松线Si35〃“e）.

39.西摩松定理的逆定理：（略）

40.关于西摩松线的定理1：aABC的外接圆的两个端点P、。关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上.

41.关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角

形的西摩松线，这些西摩松线交于一点.

42.史坦纳定理：设^ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于^ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心.

43.史坦纳定理的应用定理：的外接圆上的一点P的关于边EC、C448的对称点和△AAC的垂心〃同在一-条

（与西摩松线平行的）直线上.这条直线被叫做点P关于△48。的镜象线.

44.牛顿定理I：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线.这条直线叫做这个

四边形的牛顿线.

45.牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线.

46.笛沙格定理1：平面上有两个三角形△48C、△DEF,设它们的对应顶点（A和。、8和E、C和尸）的连线交于一

点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.

47.笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△48C、△DEF,设它们的对应顶点（A和。、8和E、。和尸）的连线交

于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.

48.波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为儿Q、R,则Q、R关于△A8C交于一点的充要条件是：弧

AP+弧8Q+弧CR=0（mod2万）.

49.波朗杰、腾下定理推论1：设凡Q、火为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△/WC的西摩松线交于一点，

则A、B、。三点关于△?（2&的的四摩松线交十与前相同的一点.

50.波朗杰、腾卜定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是人、B、C、P、。、R六点任取三点所作的三角形的

垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.

51.波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接网上的一点P的关于AABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩

松线咳外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△A8C的西摩松线交于一点.

52.波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边8C、CA.AB引垂线，设垂足分别是。、E、F,且设边BC、CA、

A8的中点分别是L、M、M则O、E、尸、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩

松线交于一点.

53.卡诺定理：通过AAAC的外接圆的一点P,引与△AAC的三边8C、CA、AZ?分别成同向的等角的直线P。、PE、

PF,与三边的交点分别是。、E、人则。、E、”三点共线.

54.奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与AA8C的外接圆的交点分别是L、M、N,

在△八8C的外接圆上取•点P,则77,、PM、PN与AABC的三边BC、CA.48或其延长线的交点分别是。、E、F,

则。、E、尸三点共线.

55.清宫定理：设P、。为△A8C的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边8C、04、的对称点分别是U、

V、W,这时，QU、QV、QW和边SC、CA、4B或其延长线的交点分别是。、E、F,则。、E、尸三点共线.

56.他拿定理：设/＞、。为关于△A8C的外接圆的一对反点，点P的关于三边8C、CA、48的对称点分别是。、V、W,

这时，如果QU、QV.0W和边BC、CA.A8或其延长线的交点分别是。、E、F,则。、E、户三点共线.(反点：

P、。分别为圆。的半径0C和其延长线的两点，如果0C2=0Qx0P则称P、。两点关于圆。互为反点)

57.朗古来定理：在同一圆周上有4、Bi、Ci.Di四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P,作尸点的关于这4

个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上.

58.从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.

59.一个圆周上有〃个点，从其中任意〃一1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点.

60.康托尔定理1：一个圆周上有〃个点，从其中任意〃一2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.

61.康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、。四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB.

△4次7中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做M、N两点关于四边形44CD的康托尔线.

62.康托尔定理3：一个圆周上有A、B、。、。四点及M、N、L三点,则M、N两点的关于四边形ABC。的康托尔线、

L、N两点的关于四边形A3CQ的康托尔线、M、上两点的关于四边形ABC。的康托尔线交于一点.这个点叫做M、

N、L三点关于四边形A8C。的康托尔点.

63.康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、。、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点关于四边形ACQE、CDEA.

DEAB、E48c中的每一个康托尔点在一-条直线上.这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康

托尔线.

64.费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.

65.莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一

个止三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.

66.布利安松定理：连结外切于圆的六边形48c。加■相对的顶点A和。、6和E、C和居则这三线共点.

67.帕斯卡(Paskal)定理：圆内接六边形48a加尸相对的边48和。E、BC和"'、CO和切的(或延长线的)交点

共线.

68.阿波罗尼斯(Apolbnius)定理：到两定点A、8的距离之比为定比加：〃(值不为I)的点R位于将线段48分成

，〃：〃的内分点C和外分点。为直径西端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.

69.库立奇*大上定理：(园内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心

都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.

70.密格尔(Miquel)点：若AE、AF.ED、FB四条直线相交十人、B、CD、E、尸六点，构成四个三角形，它们是

△人E。、△8C£、△OCR则这四个三角形的外接圆共点，这人点称为密格尔点.

71.葛尔刚(Gergonne)点:△ABC的内切圆分别切边人B、BC、CA于点D、E、F,则A£、BF、CD三线共点、,这个

点称为葛尔刚点.

72.欧拉关于垂足三角形的面积公式：。是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足

形成的三角形的面积，其公式：邑D£JJR2解|

S'ABC4R2

平面几何的意义

就个人经验而言，我相信人的智力惜懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件.

罗素说过：”•个人越是研究儿何学，就越能行出它们是多么值得赞赏."我想罗素之所以这么说，是因为平面儿何

曾经救了他i命的缘故.

天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子

都够不到的幸福生活.在上吊或者抹脖了•之前，头戴假发的小子想到做最后i件事情，那就是了解一下平面几何到

底有多大迷人的魅力.而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的.估计他的哥哥将平面儿何与人生的意义搅和在一起

向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后为光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的

念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了.

罗素丰竟是罗素.平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结：

而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性.他反对不加考察就接受平面

几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞

大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理.

公元前334年，年轻的亚历山大从丐其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国.随着

他的征服，希腊文明传播到了东方，尸始了一个新的文明时代即“希腊化时代“，这时希腊文明的中心也从希腊本土

转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城.正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出

的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学.因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何

“欧氏几何"以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结

品.它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理.”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，

这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系.世间事物的简洁之美无出其

右.

★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，便该点到三

角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为''费马点”.这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍.

★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪.还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的

几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共

和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！

史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都

送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决.据

说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题.拿破仑在数学上的真知

灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上•次

几何课吧！”

你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着

关朕，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形.

在任意△ABC的外侧，分别作等边AABD、ABCE.ACAF,则AE、AB>CD三线共点，并且AE=BF=

CD,如下图.这个命题称为拿破仑定理.

以4ABC的三条边分别向外作等边AABD、ABCE.ACAF,它们的外接圆。、。、。、的同心构成的

△一一外拿破仑的三角形.。。三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如卜.图.

△ABC的三条边分别向AABC的内侧作等边△ABD、ABCE>ACAF,它们的外接圆。,0.0的圆

心沟成的4一一内拿破仑三角形。.0.0三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形.如下图.

由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心.少年朋友，你是

否京讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异M籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角

形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？

★欧拉圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三带形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点

共圆（通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle）,或欧拉圆,费尔巴哈圆.

九点圆是几何学史上的一个著名问题，最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几（BenjaminBeven）,问题发表在1804

年的•本英国朵志上.第•个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列（1788—1867）.也有说是1820—IX2I年间由

法国数学家热而工（1771-1859）与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈（1800—1834）也曾研究了九点圆,

他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要

性质（如下列的性质3）,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3.三角形的九点圆与三角形的内切风三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）.

数论

一、数学竞赛中数论问题的基本内容

主要有8个定义、15条定理.

定义1（带余除法）给定整数。力，力工0,如果有整数即满足

a=qb+r,

则夕和，•分别称为。除以〃的商和余数.特别的，厂=0时，则称。被Z?整除，记作可。，或者说〃是。的倍数，而b

是。的约数.

定义2（最小公倍数）非零整数%,小，，%的最小公倍数是能被其中每个q（l所整除的最小正整

数,记作［q,4,…,qj.

定义3（最大公约数）设整数%,生，，勺中至少有一个不等于零，这〃个数的最大公约数是能整除其中每一

个整数的最大正整数，记作（“，。2，，，«）.

定理1对任意的正整数，有

定义4如果整数满足则称。与〃是互素的（以前也称为互质）.

定义5大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数）.其余大于I的正

整数称为合数：数1既不是素数也不是合数.

定理2素数有无穷多个，2是唯一的偶素数.

定义6对于整数4,b,c,且cwO,若。|(。一人)，则称出/?关于模c同余，记。三/mode)作若则称4,。

关于模c不同余，记作。美仪mode),ca-b

定理3(整除的性质)设整数a,〃,c为非零整数，

(1)若小，b\a,则电：

(2)若c|a,则〃c|a/?：

(3)若则对任意整数7%,〃，有d〃?a+〃Z?；

(4)若=且。匠，则a|c：

(5)若(4力)=1,且〃卜,。卜，则而|c

(6)若4为素数，且则“心或〃卜.

定理4(同余的性质)设Ac,d,m为整数，m>0,

(1)若。三力(modtn)且b=c(modm),则。三c(modm)；

(2)若。三伙mod机)且。三d(modtn)，则。+c三人+d(modm)且ac=Z?d(modm).

(3)若。三/?(modm),则对任意的正整数n有a1'=b"(modm),且an=/7/?(modmn)：

(4)若。三伙modm),且对非零整数左有《(〃,〃,/%),则@=2/mod'.

kk\k

定理5设a,〃为整数，〃为正整数，

(1)若a于b,则(〃一/川(优一〃")；

(2)若aw-b,则g+Z?)上产-+/尸i)：

(3)若aH-b,则(〃+人)|(/_庐)

定义7设〃为正整数，左为大于2的正整数，q,。?，，，。加是小于女的非负整数，且q>0.若

n,2

n=+a2k~+••+am_}k+am,

则称数a,n为〃的人进制表示.

定理6给定整数Z22,对任意的正整数〃，都有唯一的Z进制表示.

定理7任意一个正整数n与它的十进制表示中的所有数字之和关于模9同余.

定理8（分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的

〃=P/P2—・pJ*.

定理9若正整数〃的素数分解式为n=p”,则n的约数的个数为

〃5）=（4+1）（生+1）3+1），

n的一切约数之和等于

/V-l/V2-lP」T

-1〃2-10-1

定义8对任意实数X,国是不超过R的最大整数.亦称国为X的整数部分，[x]Wx<[x]+l.

定理10在正整数加的素因子分解式中，素数〃作为因子出现的次数是

川升图+・

定理11如果素数〃不能整除整数〃，则-1）.

定理12设〃为素数，对任意的整数。，有。〃三〃（mod〃）.

定理13设正整数〃=〃2“'.P；”.，则不大丁〃且与〃互素的正整数个数0（〃）为

（1V!A（1、

（pin）=n111.

I4八的JI

定理14整系数二元一次方程at+Z?y=c•存在整数解的充分必要条件是d（|《，网）.

定理15若（不，是整系数二元一次方程ar+〃y=c的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为

二.数学竞赛中数论问题的重点类型

主要出现8类问题.：

1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）;

2.约数与倍数、素数与合数；

3.平方数;

4.整除；

5.同余；

6.不定方程;

7.数论函数、［工］高斯函数、0（"）欧拉函数：

8.进位制（十进制、二进制）.

三.例题选讲

例1有•100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1,2,…，99,100.每盏灯由一个拉线开关控

制着.最初，电灯全是关着的.另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下：

接着第2个学生走过米，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下：第3个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的

电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，

问哪些灯是亮的？

讲解（1）直接计算100次记录，会眼花缭乱.

（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能受、不是正约数（学生）不能拉，有几个正

约数就被拉几次.

（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系:

0123456789

关开关开关开美开关开

灯被拉奇数次的亮！

（4）哪些数有奇数个约数：平方数.

（5）1〜100中有哪些平方数：共10个:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

答案：编号为1,4,9,16,25,36,49,64,81,100共10个还亮.

例2用［可表示不大于戈的最大整数，求

2004

----+------+…+

366J1366~366

366

讲解题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清［丫］的含义,进而弄清加法谁与诽加、除法

谁与谁除：

（1）分子是那些数相加，求出和来；

由366x5=1830v2004v2196=366x6,知分子是。〜5的整数相加，弄清加数各有几个

1-3650365个

366〜7311366个

732〜10972366个

1098〜14633366个

1464〜18294366个

1830〜20045175个

（2）除法谁除以366,求出商的整数部分.

0x365+366（1-2+3+4）+5x175

原式=

366

10x366+875

366

好+费

12.

命题背景2004年有12个月、366天.

21〃+4

例3（1959,/M。-）证明对任意E整数〃，分数不可约.

14〃+3

21〃+4

证明1（反证法）假若--------可约，则存在

14n+3

d>1,①

使（21〃+4,14〃+3）=4

从而存在〃，4，（〃均）=1,使

21n+4=dp,②

14〃+3=dq,③

消去〃，（3）x3-（2）x2,得

1=。四—2〃）

的d=\⑤

由（1）、（5）矛盾，得〃=1.

解题分析：

（1）去抻反证法的假设与矛盾就是一个正面证法

（2）式④是实质性的进展，表明

1=3（14〃+3）-2（25+4）

可见（2历+4/4〃+3）=1.

由此获得2个解法.

证明2设(21〃+4,14〃+3)=小存在〃应,(〃,“)=1,使

21ft+4=dp,①

14〃+3=血②

消去"，②X3YDX2,得

l=d(3q-2〃)③

得d=\.

证明3由1=3(14〃+3)—2(21〃+4)

得(2山+4,14〃+3)=1.

证明4(2山+4,14〃+3)

=(7〃+1,14〃+3)④

=(7〃+1,1)⑤

=1.

解题分析：第④相当于①-②;：第⑤相当于②~2(①-②)=②X3-①X2；所以③式与⑤式的效果是一样的.

例4(1906,匈牙利)假设卬，%，，%是12，"的某种排列，证明：如果〃是奇数，则乘积

(4-1)(%-2)…

是偶数.

解法1(反证法)假设(q—1)(%—2)(凡一〃)为奇数，则q—，均为奇数，奇数个奇数的和还是奇数

奇数=(4.1)+(生-2)+…+(。〃_〃)

=(q+%+-+。〃)一(1+2+…+〃)=0,

这与“奇数w偶数”矛盾.所以%-1)(%—2)…(可一〃)是偶数.

评析这个解法说明(4-1)(42-2)・・・(可一〃)不为偶数是不行的，体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘枳”

为偶数的原因.

解法2(反证法)假设(4-1)他一2)…(4—〃)为奇数，贝!q—•均为奇数，出与i的奇偶性相反，

{1,2,中奇数与偶数一样多，〃为偶数但已知条件〃为奇数，矛盾.所以(4-1)(4-2)(4一〃)是偶数.

评析这个解法揭示了（q—1）（生一2）•（〃“一〃）为偶数的原因是“〃为奇数”.那么为什么“〃为奇数”时

“乘积”就为偶数呢？

解法31,2,…，小q,/，•••，〃〃中有〃+1个奇数，放到〃个括号，必有两个奇数在同一个括号，这两个奇数的

差为偶数，得（q-1）（%-2）…（4一拉）为偶数.

例4-1(1986,英国）设4，%，，%是整数，4也，M是它们的一个排列，证明

（4一4）（生一人）（。7—4）是偶数.

例4-271的前24位数字为4=3.14159265358979323846264，记“，仁,…,生4为该24个数字的任一

排列,求证（q_/）（%—q）•（%—%!）必为偶数。

例5（1979,）设〃与4为正整数，满足

11

£=1-1.1--------+--------

q2313181319

求证〃可被1979整除（1979|/；）

P।141\lb2-4ac

q2313181319

(111111

=1H-----1-----F-+-------+---------2-++-------

I2313181319J(241318

11),1I1)

1+-+-++-------+--------1+-+--+------

2313181319；I23659J

111

-------1-------+...-I----------p

66066113181319

660+1319661+1318989+990

------------------1--------------------FH-----------------

660x1319661x1318989x990

M

=1979x

660x66lx...xl3l9

0”659!A/

=1979x---