2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量191-200-专项训练【含答案】

建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，由，代入坐标即得，得，即，所以.解法2：向量转化法，由三点共线，得，则，从而，即，所以.【评注】坐标法解题非常直接，不需要过多的技巧.【例41】已知在中，，，是线段上的一点（不与端点重合），且，则的取值范围是.【答案】【解析】解法1：坐标法建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，由，得，由题意易知，，则得，经检验等号取不到.另一方面，当点与点重合时应取得最大值，此时或，结合可得，但点不与端点重合，故最大值取不到.综上，的取值范围是.解法2：如图，易得是直角三角形，设的中点为，则，且.设，由，得，即在方向上的投影恒为.过点作的垂线，设垂足为，则恒有.又，所以为的中点，即为等腰三角形，所以，.【例42】已知正方形的边长为，是边上的动点，则，的最大值为.【答案】1；1【解析】解法1：坐标法建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图1，设，，则，解法2：向量转化法如图2，根据平面向量的数量积公式得：由图2可知，，因此，.而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1，故所求最大值为1.【变式训练】如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，若，，且，则.【例43】若平面向量满足，则的最小值是.【答案】【解析】解法1：坐标法设，，则.由于，则有，整理得，，即，经检验等号均能取到.所以，即.解法2：见模先平方，由得，因为，所以，即.【例44】在等腰中，，，为边上的两个动点（不与点重合），且满足，则的取值范围为（）.A.B.C.D.【答案】【解析】以等腰直角三角形的直角边为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图，则，直线的方程为.设，，则，从而，，所以，因为，所以当时，取得最小值.又当时，，故，因此的取值范围为故选.【例45】已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是.【答案】【解析】解法1：坐标法建立平面直角坐标系并标出各点的坐标，如图，则，由与的夹角为，得，所以.解法2：数形结合法如图，向量构成三角形，在三角形中，由正弦定理得，解得.【评注】解法1思路简单，但运算量大.【例46】在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，其中.若，且，点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）【案案】A【解析】设向量，则由题设，得则有，即，所以故选.【例47】已知向量与关于轴对称，，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（）【答案】C【解析】因为，则有，所以点的集合是以为圆心、1为半径的圆及其内部，故选C.【例】已知为正方形内一点，且满足，则.【答案】1：3【解析】解法1：坐标法建立平面直角坐标系，如图，设正方形边长为，.由得：解得，所以.解法2：由得，即.如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交于点.易知，，，不妨假设，易得，所以.【例49】已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解法1：坐标法建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，如图，因为，则，所以，则，因为，所以解得，故选.解法2：如图，设，则，又，由，得：即，整理得，即，解得，故选.【变式训练】已知在中，，其外接圆的圆心为，则.【例50】已知在中，是斜边的中点，是线段的中点，则的值为（）A.2B.4C.5D.10【答案】【解析】解法1：坐标法将直角三角形放入平面直角坐标系中，如图，设，则所以，，，所以，即.故选.解法2：中线长定理法.因为，所以故选.【评注】本题用几何法求解十分简单，但需要很高的技巧，即需要用到中线长定理，一般同学不容易想到.而坐标法虽然运算量大，但思路简单，易操作.【例51】在中，是的中点，，则.【答案】【解析】解法1：坐标法以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（图略），设，由得，则.解法2：特例法假设是的等腰三角形，则，，所以.解法3：.【例52】已知在平行四边形中，，边的长分别为，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是.【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，由，得，从而有，所以【例53】在中，已知，，若长为的线段以为中点，则当与的夹角取何值时，的值最大?并求出这个最大值.【解析】以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则，且.设点的坐标为，则，，，所以因为，所以，则.故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为.【例54】已知，若是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A.13B.15C.19D.21【答案】A【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则，，，即，所以，.因为，所以的最大值等于，当且仅当，即时取等号.故选.【例55】已知在矩形中，，若是上的动点，求的最小值.【解析】建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，其中是的中点，如图，，故所求最小值为.【例56】已知点在双曲线上，点满足，为坐标原点，且，，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，且，则有，得，将点代入双曲线中，得，所以.因为，即同向，所以，所以，将代入上式并整理得，，即，则，等号能取到，所以.故选.【例57】已知在中，，，若，判定的形状.【解析】以为原点建立平面直角坐标系，不妨设出各点坐标，如图，根据题意，有，整理得，则，即，解得.所以是等腰三角形.【例58】已知向量，求的取值范围.【解析】由得，建立平面直角坐标系，设，标出各点坐标，如图1，则有，即，整理得，即.画出图形，如图2，则，所以.【例59】如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形.求点的坐标；（1）若，求点的坐标；（2）用向量法证明且.【解析】（1）由题意有.设点的坐标为，则.由，得又由得，故点的坐标为.（2）由（1）易知，可令点坐标为，则，，得，即.又，所以，即.【例60】在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义，已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线上时，位置向量的终点总在扮物线上，曲线与关于直线对称.问直线与向量满足什么关系？【解析】设，则.对任意实数，取，则.因为的终点在曲线上，所以.由于为任意实数，比较式两边的系数得：从而，故或.设双曲线上的任意点为，可知落在曲线上，