2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量71-80-专项训练【含答案】

【例79】设a，b为常数，集合映射把平面上任意一点映射为函数（1）求证:不存在两个不同点对应同一个函数；（2）求证:若则这里为常数；（3）对于属于的一个固定值得，在映射的作用下作为象，求其原象，并说明它是什么图形．【解析】(1)假设有两个不同的点对应同一函数，即与相同，即对一切实数均成立．令得令得，这与是两个不同的点桶矛盾，假设不成立，故不存在两个不同点对应同一个函数．(2)当时，可得常数使．由于为常数，设则m，n是常数，从而．(3)设由此得其中．在映射之下，的原象是则的原象是消去得，即在映射之下的原象是以原点为圆心、为半径的圆．【评注】本题将集合、映射、函数、三角函数融为一体，兼顾典型性和新颖性，是一道用“活题”考“死知识”的好题目，具有很高的训练价值．第四章正余定理，解秘三角一、正弦定理，七种证法正弦定理：对于任意三角形，任何一边与其对角的正弦之比为定值．如图，若△的三边为a，b，c，三个内角为A，B，C，则，其中2R为三角形外接员直径．证法一：利用等面积法证明因为，又则有，从而可得．【思考】是否可以用其他方法证明这一等式?由于涉及边长，从而可以考虑用向量来研究这个问题．证法二:利用向量证明．如图，在△中，过点作一个单位中量j，使当为锐角时，由，得，即从而有，得即，同理可证，即．当为针角或直角时，同理可证上述结论．根据上面的研究过程，可得以下定理．正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即(1)正弦定理说明在同一个三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k，使(2)等价于．下面再介绍几种证明的方法，供感兴趣的同学探索．法三:利用复数证明如图，建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作BC的平行线，过点作AB的平行线，交于点D．由，则，则，，即，根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可以得出:从而有．同理可证，所以证法四:利用外接圆证明Ⅰ如图是△的外接圆，设其半径为，分别连结OA，OB，OC，过点作，垂足为．因为所以从而．所以，同理得，故有．证法四:利用外接圆证明Ⅱ如图是△的外接圆，设其半径为R，连结BO并延长，交于点D，连结AD．易知即．同理可证，所以．证法六:利用高线证明如图，在△中，过点作垂足为D．因为，所以即同理可证，所以证法七:利用和角正弦证明如图，在△中，过点作垂足为D．即进而有同理可证．所以二、余弦定理，十二证法余弦定理:对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边与它们夹角余弦的两倍积．若三角形的三边为a，b，c三个内角为A，B，C，则满足性质：证法一:平面几何法如图，可知因为有所以，即也即又因为所以，得．证法二:勾股定理法在任意△中，作，如图．因为角所对的边为c．角所对的边为$b，$角所对的边为，则有在中，根据勾股定理可得:，故证法三:建系解析法以为原点建立平面直角坐标系，如图，点落在轴正半轴上．设三角形的三边分别为a，b，c，则三点坐标为因为则由两点间距离公式得，化简得，所以证法四：面积等值法如图，在正方形ABPQ中，有，，从而，同理得，联立三个方程，得:易得余弦定理证法五:正弦定理法因为，则有，从而有，所以所以证法六:射影定理法由得证法七:复数建模法如图，在复平面内作△，则这里是平行四边形的顶点．根据复数加法的儿何意义可知所以根据复数相等的定义，有即．对(*)式两边取模，得:证法八:向量求模法设如图，则，所以证法九:托勒密证法如图，由托勒密定理得所以证法十:面积拼搭法由图可知证法十一:圆幂定理法如图，由圆幂定理得，整理得．证法十二:物理磁场法设△是边长分别为a，b，c的通电导线框，其电流强度为I．现将它置于磁感应强度为的匀强磁场中，且线框平甫与磁场方口垂直，那△的三边所受的安培力如图1所示，其大小分别为:（1）很显然，这三个力是相互平衡的共点力，它们的作用线相交于的外心，现以为原点，分别建立如图2、图3、图4所示的平面直角坐标系，对进行正交分解．根据图2，有：，，(2)同理，根据图3、图4，分别有：，，（3），，(4)将方程组(1)分别代人（2）(3)（4）式并整理，得:化简即得余弦定理:三，射影定理，捷径之道射影定理向底投影:向高投影:【例1】设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则△的形状为()．A．锐角三角形B．直角三角形C．针角三角形D．不确定【答案】B【解析】由射影定理得：，因为，所以即从而故选．【例2】在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则角的大小为()．A． B． C． D．【答案】A【解析】由射影定理得：，因为，所以即．因太为则，所以故选．【例3】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角的大小；(2)若求△面积的最大值．【解析】(1)解法1:由已知条件及正弦定理得(1)又故(2)．由(1)(2)两式和得．又所以解法2:由射影定理得：，因为，所以即．又所以(2)△的面积为由已知条件及余弦定理得．又故当且仅当时，等号成立．因此△面积的最大值为【例4】已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】解法1:由得得，即得故选解法2:由条件得即，即，所以故选D．【例5】在△中，三个内角A，B，C所对的边分别为，已知(1)求的值；(2)若求的值．【解析】解法1:(1)由和正弦定理得:即所以．(2)由，得，事实上，由得，令则即，解得所以．由正弦定理得，所以．解法2:(1)由射影定理得，又得，所以．(2)由余弦定理得，根据题设条件，有，整理得，即，即，由得，则有得，从而得，所以．【例6】已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为，且(1)求角的大小；(2)若求a，c．【解析】（1）已知，由正弦定理可变形为即．由余弦