2025高考数学二轮复习-拉档提分数列31-40-专项训练【含答案】

2005=334×6+1，所以黑蚂蚁走完2005段后停止在正方体的顶点处，白蚂蚁走完2005段后停止在正方体的顶点处.故这时两只蚂蚁间的距离是.【评注】这类题为操作性探索题，要求同学们大胆动手，探索出规律性来.【例4】已知数列满足满足若，则的值为 （）A. B. C. D.【答案】A逐步计算，可得，，，，，…这说明数列是周期数列，.而，所以.应选A.【评注】分段数列问题是一种新题型，又涉及周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色.3.知识关联型【例5】如图，设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围为.【答案】【解析】如图，由椭圆第二定义知，即，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离，即，最大值为右焦点到左顶点的距离即，若公差，则，，得；若公差，同理可求得.综上，.【评注】本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深刻，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心.解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项求出公差的取值范围.4.类比联想型【例6】若数列是等差数列，则数列也是等差数列.类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列.【答案】由已知“等差数列前项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前项的几何平均值是等比数列”，不难得到也是等比数列.【评注】本题只需由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想，不难挖掘问题的突破口.5.规律发现型【例7】将自然数1，2，3，4，…排成数表（如图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，….则第2005个转弯处的数为.21-22-23-24-25-26∣207-8-9-1027∣∣∣∣1961-211…∣∣∣∣185-4-312∣∣17-16-15-14-13【答案】1006010【解析】观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现它们依次为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，故在第2005个转弯处的数为：l+2×（l+2+3+…+1002）+1003=1006010.【评注】本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现，解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力，因此本题在高考中具有较强的选拔功能.6.图表信息型【例8】下表给出一个“等差数阵”：47……………712………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.（1）写出的值；（2）写出的计算公式；（3）求证：“正整数在该等差数列阵中”的充要条件是“2+1可以分解成两个不是1的正整数之积”.【解析】（1）=49.（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：，……第行是首项为4+3（-1），公差为2+l的等差数列，因此.（3）必要性：若在该等差数阵中，则存在正整数，使得，从而，即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积；充分性：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数，，使得，从而，可见在该等差数阵中.综上所述，“正整数在该等差数阵中”的充要条件是“2+l可以分解成两个不是1的正整数之积”.【评注】本题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.求解关键是根据图表信息求出行列中对应项的通项公式.7.几何计数型【例9】如图，第个图形是由+2边形“扩展”而来的.记第个图形的顶点数为，则=.【答案】4030056【解析】由图易知，，，，从而易知.【评注】求解几何计数问题通常釆用“归纳-猜想-证明”的解题思路.本题也可直接求解.第个图形由+2边形“扩展”而来，这个图形共由（+2）+l个+2边形组成，而每个+2边形共有+2个顶点，故第个图形的顶点数为，.8.“杨辉三角”型【例10】如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有个数，且该行的第1一个数和最后一个数都是，中间任意一个数都等于第-1行与之相邻的两个数的和，设分别表示第行的第一个数，第二个数，…，第个数，求且.【解析】由图易知从而知是一阶等差数列，即以上1个式子相加即可得到，则，即（且）.【评注】“杨辉三角”型数列创新题是近年来高考创新题的热点问题.求解这类题目的关键是仔细观察各行中的项与行列间的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解.有兴趣的同学不妨求出的通项公式.9.阅读理解型【例11】电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456…二进制11011100101110…观察二进制1位数，2位数，3位数时对应的十进制的数，二进制6位数能表示十进制中最大的数是.【答案】63【解析】通过阅读，不难发现：，进而知写成二进制为：111.于是知二进制6位数最大的数是111111，化成十进制为：。【评注】通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解.总之，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差数列、等比数列有关知识来求解.【例12】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，：经过5次跳动，质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点的不同运动方法有种.【答案】5【解析】要求能将实际问题通过分析转化为数学问题.在实际操作的过程中，规定向右移一个单位为1，向左移一个单位为-1，则其代数和要为3.这5个数值中只能一个为-1，在这5步中第几个值为-1呢？利用排列组合知识知不同的方法有5种.【例13】用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行，可与成一个行的数阵.对第行，记，.例如，用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么在用1，2，3，4，5形成的数阵中，.【例4】已知在等差数列中，，公差是自然数，在等比数列中，，.（1）试找出一个的值，使中的所有项都是中的项；再找出一个的值，使中的项不都是中的项（不必证明）；（2）判断=4时中所有的项是否都是中的项，并证明你的结论；（3）探索取怎样的自然数时，中的所有项都是中的项，并说明理由.【解析】（1）=0时，中的项都是中的项；（任一非负偶数均可）=l时，中的项不都是中的项.（任一正奇数均可）（2）=4时，，（，为正整数），中的项一定都是中的项.（3）当且仅当取（即非负偶数）时，中的项都是中的项.理由是：①当时，，时，，其中是的非负整数倍，设为，只要取（为正整数）即可得，即中的项都是中的项；②当时，不是整数，也不可能是中的项.【例5】已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？【解析】（1），故=3.（2），，当时，.（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是，依次类推可得当时，的取值范围为（10，+）.【例16】设数列，，满足（=1，2，3，…），求证：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（）.【解析】（1）必要性：设数列是公差为山的等差数列，则，故成立；又（=1，2，3，…），为常数，故数列为等差数列.（2）充分性：设数列是公差为的等差数列，且（），因为①，所以②，①-②得，因为，所以③，从而有④，④-③得⑤，因为，，，所以由⑤得（），由此，不妨设，则（常数），故⑥，从而⑦，⑦-⑥得，，为常数，故数列为等差数列.综上所述，为等差数列的充分必要条件是为等差数列且.【例17】已知数列中，.（1）若，数列认，满足，求证：数列是等差数列（2）若，求数列中的最大项与最小项，并说明理由；（3）若，求证：.【解析】（1），而，则所以是首项为，公差为1的等差数列.（2）依题意有，而，则.对于函数，当时，，，即在上为减函数.故当时，取最大值，即.当时，，，即在上也为减函数.故当时，取最小值，即.（3）先用数学归纳法证明，再证明.①当时，成立；②假设当时命题成立，即，当时，由得，即，故当时命题也成立，综合①②得命题对任意都成立，即.（也可设，则，故.）下面证明.由得，综上得成立.六、选择、填空拉档提分经典题1.选择题【例1】已知设，，，…，，且），令集合，则集合为 （）A.空集 B.实数集 C.单元素集 D.二元素集【答案】A【解析】，，，，所以周期=4，因为，所以，得，，即，故选A.【例2】规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是 （）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】D【解析】，.故选D.【例3】定义：若数列对任意的正整数，都有（为常数），则称为“绝对和数列”，叫作“绝对公和”.已知“绝对和数列”中，，“绝对公和”为3，则其前2009项的和的最小值为 （）A.-2009 B.-3010 C.-3014 D.3028【答案】B【解析】由题意得为：；故.故选B.【例4】由，给出的数列的第料项是 （）A. B.100 C. D.【答案】B【解析】对已知递推式两边取倒数，得，即.这说明数列是以为首项，3为公差的等差数列，从而有，即，故选B.【评注】构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法，值得我们重视.【例5】设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有表示，两个数中的较小者），则的最大值是 （）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B2.填空题【例1】已知奇函数是定义在上的增函数，数列是一个公差为2的等差数列，且满足，则.【答案】4017【解析】由单调递增，得，.设，则，，，由是奇函数，得，即，，.所以.【例2】对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式=.【答案】【解析】由，得，，由得，所以.【例3】已知数列满足：=1，且对每个，，是方程的两根，则=.【答案】6385【解析】对每个，①，②，将①写作，因此是一个公比为一1的等比数列，故，即