2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何121-130-专项训练【含答案】

【评注】本问题的背景实质也是以点为圆心的圆与椭圆恰有一个公共点时，圆心位置的范围是.【例24】如图5，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点向轴作垂线段.(1)求线段的中点的轨迹方程；(2)若点分之比为，求点的轨迹方程.【解析】(1)当M是线段的中点时，设动点M的坐标为，则点P的坐标为.因为点在圆心为坐标原点，半径为2的圆上，所以有即所以，点的轨迹是椭圆，方程是.(2)如图6，当点分之比为时，设动点的坐标为则的坐标为因为点在圆心为坐标原点，半径为2的圆上，所以有即.所以点的轨迹是椭圆，方程是【变式训练】已知轴上的一定点为椭圆上的动点，求AQ中点的轨迹方程.【例25】已知定圆动圆和已知圆内切且过点求圆心的轨迹及其方程.【解析】已知圆圆心所以，点在定圆内.如图7，两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，用数学符号表示此结论:.上式可以变形为又因为所以圆心的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆.又PQ中点为原点，所以故动圆圆心的轨迹方程是【变式训练】长度为2的线段AB的两个端点A，B分别在轴、轴上滑动，点分AB的比为求点的轨迹方程.十、两类对称点之存在【例26】试确定的取值范围，使得椭圆上有不同的两点A，B关于直线对称.【解析】设中点.则可得即，即，即，.因为所以即所以由于中，点必在椭圆内，故有，解得【拓展提升】已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称.(1)求实数的取值范围；(2)求面积的最大值为坐标原点).【解析】(1)由题意知，可设直线AB的方程为.由消去y，得因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以.①将AB中点代入直线方程解得，②由①②得或.(2)令，则且到直线AB的距离为.设的面积为所以当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.十一、正交中心角系列【例27】已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，是否存在以AB为直径的圆恰过原点？请说明理由.【解析】由得设直线，联立方程得整理得.由于即整理得从而得矛盾.所以，不存在以AB为直径的圆恰过原点.【变式训练】已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，且以AB为直径的圆恰过原点，求弦AB的长和直线AB的方程.【例28】已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，若存在以AB为直径的圆恰过原点，求的取值范围，离心率的取值范围.【解析】设直线，联立方程得，整理得由于故即可得，故得解得.【规律探索】（1）在椭圆中，若离心率，则称此椭圆为黄金椭圆；若离心率的平方，则称此椭圆为准黄金椭圆.准黄金椭圆中的证明如下:两边平方化简得即.(2)黄金椭圆面积与焦点圆(以焦距为直径的圆)面积相等.【变式训练】1.已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，若存在以AB为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围.2.已知直线与椭圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰过原点，求的取值范围.【拓展提升】1.已知椭圆上任意两点P，Q，若则的最小值为.【答案】【解析】设，由点P，Q在椭圆上，得①②由①+②得于是当时，达到最小值.2.椭圆与直线交于P，Q两点，且其中为坐标原点.(1)求的值；(2)若椭圆的离心率e满足求椭圆长轴的取值范围.【解析】设由得因为代入上式得①又将代入得因为所以.代入①化简得.(2)因为所以即.又由(1)知所以得，所以长轴【规律探索】定理：直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在圆锥曲线上，则中心在斜边上的射影轨迹是圆.【例29】若的直角顶点为椭圆的中心，OA，OB交椭圆于A，B两点，求证:点在斜边上的射影的轨迹是圆.【解析】解法1设则点.如图1，由于点A，B在椭圆上，则有由此可得，在中，设，所以.可见是一个定值，所以中心在斜边上的射影，点的轨迹是圆.解法2化齐次型.联立方程，即，得，整理得令，得即.因为所以，所以.设中心到直线AB的距离为d，则十二、斜率积定值之奇妙【例30】设椭圆的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，原点为O，MO的斜率为，求证：.【解析】解法1设AB的方程为，①又已知，②由①②消去y，得.此一元二次方程的两根是A，B的横坐标，即，所以AB中点满足，所以，即.解法2设则，③，④③-④，得化为⑤把代入⑤，得.【评注】对于椭圆为椭圆上的两点，为AB中点，直线AB与OM的斜率之积为定值，即此性质在解有关选择、填空题时，快速准确，应予重视.【变式训练】1.过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为直线OP的斜率为则的值为（）A.2B.-2C.D.2.北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构简化后的俯视图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD.设内层椭圆方程为则外层椭圆方程可设为.若直线AC与直线BD的斜率之积为则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【例31】如图2，在平面直角坐标系中为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段OT与椭圆的交点恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.【答案】【解析】设则，即故，解得又解得.故即，代入得即，即通分化简并整理得解得(舍去【规律探索】如图3，过圆锥曲线上一点作直线PM，PN分别交曲线于点M，N，且，则过MN的直线必过定点特别地，当时，定点在原点，此时M，N关于原点对称.【解析】设已知则将坐标原点平移到点的位置，则即，从而故.整理得令则因为，所以，所以，所以，所以直线MN过定点.还原坐标得定点为，即定点为.【变式训练】1.设椭圆的方程为点为坐标原点，点，，点在线段AB上..且满足，直线OM的斜率为.(1)求的离心率；(2)设点的坐标为为线段AC的中点，点关于直线AB的对称点的纵坐标为求的方程.2.椭圆与直线相交于A，B两点，若，且AB的中点与椭圆中心连线的斜率为，求a，b的值.【拓展提升】1.如图4，已知椭圆点为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则直线这10条直线的斜率乘积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由于是等分点，故恰有5对点连线过原点，而过原点的点对与点的连线斜率积为.则这10条直线的斜率乘积为故选.2.如图5，过圆锥曲线上一点作直线PA，PB交曲线于点A，B，且，且，求面积的取值范围.【解析】由上题知过原，点，又，所以，证明:设则点.由于点P，B在椭圆上，则有由此可得，.在中，设，所以，由得.当时，达最大值.所以.十三、动弦定长相关问题【例32】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于P，Q两点，且求椭圆的方程.【解析】设所求椭圆方程为由题意，点P，Q的坐标满足方程组将②代入①并整理，得.③设方程③的两根为则直线与