2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何101-110-专项训练【含答案】

三、椭圆十大几何性质以椭圆为例:(1)其上任意一点满足.(2)焦点:两个焦点坐标为.(3)两条对称轴一个对称中心(0,0);四个顶点其中长轴长为2a,短轴长为2b.(4)准线:两条准线方程为:x=(5)离心率.:e=(0<e<1),$理解为焦点与中心的相对距离.（注意:越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁）(6)粗圆的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为.（注意:通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦）(7)焦准距(焦点到相应准线的距离)为$\frac{b^{2}}{c}$.（8）黄金椭圆与准黄金椭圆:离心率的粗圆,称黄金粗圆$;$离心率的椭圆,称黄金椭圆离心率的粗圆,称准黄金粗圆.解析：两边乎方整理得故.（9)最美椭圆:注往往为椭圆几何性质发生质变的临界点.（10）黄金椭圆面积与焦点圆(以焦距为直径的圆)面积相等.四、动点距离最值探求(例7)椭圆点为长轴所在直线上一定点,求|PT|的最小值.解析参考下面的规律探索规律探索：结论1:定点在长轴所在的直线上.为椭圆上一点为长轴所在直线上一定点，则|PT|的最小值解析：如图1,令则当即当时当即时,结论2:定点在短轴所在的直线上.如图2,P为椭圆上一点,为短轴所在直线上一定点,求|PT|的最大值评注当最大值在长轴端点达到时,只能在原点).变式训练1.求椭圆上的点到直线的最短距离.2.若以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形面积的最大值1,则椭圆长轴的最小值为（）3.为椭圆上一点为长轴所在直线上一定点,若|PT|取最小值时,点恰在椭圆长轴端点,则的取值范围是（）.拓展提升为椭圆上一点,下面探讨点到定点的最值问题.(1)当时,最小值为(2)当时,举一特例:求椭圆上一点到定点的最值.解析设,则设令则,当时为最大值当时为最小值.(例8)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标.解析:由得(1)设椭圆上任意一点的坐标为点到点的距离为d,则且其中如果则当时取得最大值解得与矛盾.如果则当时取得最大值解得.所求椭圆方程为.由可得椭圆上到点的距离等于的点为.评注:在椭圆上设点化归是基本解法，要熟练掌握.本题也可用椭圆参数方程求解：令椭圆方程为设椭圆上一点下略.五、一点一线永远相伴(例9)过椭圆上一点向圆O:引两条切线PA,PB,切点为A,B,如直线AB与轴、轴分别交M,N两点.(1)若求点坐标;(2)求直线AB的方程(用表示)(3)求面积的最小值为原点);(4)求面积的最大值.解析若则如图1,所以.设则即从而(2)由圆的切点弦得AB的方程为(3)AB的方程与两轴的交,点分别为.因为,所以.所以面积的最小值为.(4)圆心到直线的距离为,所以面积的最大值为1.规律探索极点与极线的相关性.1.代数关系点和椭圆与直线的关系:(1)点在椭圆外直线为过的切点弦,如图2;(2)点在稍圆上直线为过点的切线,如图3;(3)点在椭圆内直线为与椭圆相离得直线(与切线平行),如图4;2.几何关系如图5,以下结论与圆的相应结论统一:(1)(2)过点的切线必平行于极线，且也平行于过点的中点弦;(3)切点弦必被点P平分.六、两种焦半径焦点弦例10椭圆上不同三点与焦点的距离构成等差数列,则（）答案：8由题意,得于是.评注：与焦点相关的距离问题,宜用焦半径公式.规律探索：焦半径与焦点弦.1、焦半径：（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离称焦半径）椭圆为例，利用椭圆的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r=ed,其中表示点到与焦点所对应的准线的距离.如图分别为左、右焦点,则焦半径长公式:记忆技巧:把点想象在第一象限，到右焦点近用“",到右焦点远用"+"在极坐标下,得焦半径长公式:2.焦点弦(过焦点的弦)焦点弦的弦长计算,一般不用通常的弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆;双曲线;抛物线.(1)在参数方程下设则弦长.特别地,当时,弦长.(2)在极坐标下设为椭圆左焦点弦的倾斜角，则曲线为焦半径为焦点弦的弦长（带绝对值是由于在双曲线下,当A,B分布在不同支上时,会出现“负值”)(3)一般的弦长公式设弦AB所在直线与圆锥曲线相交于两点,若设直线AB的方程为则;若设直线AB的方程为则.变式训练：1.P为椭圆上的点,且点与左、右焦点的连线互相垂直,求点的坐标.2.如下图,设是以为中心的椭圆上任意一点为右焦点,求证:以线段为直径的圆与此椭圆的长轴为直径的圆内切.例11已知分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点的坐标为为椭圆上的一个动点,则的最大值是（）[答案解析(1)如图5,当点在轴下方时,即.当点在上时,等号成立,如图6(2)如图7,当点在轴及上方时,即当点在的延长线上时,等号成立,如图8.变式训练：在椭圆内有一点为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,则的最小值是（）A.B.C.3D.4拓展提升：已知椭圆是的左、右焦点,AB是过焦点的弦,且的面积为32,求|AB|.解析设直AB的倾斜角为则其中.因此的面积解得.于是七、焦点三角形的性质例12在椭圆为焦点三角形，如图1所示.(1)若则的面积是(2)若则椭圆离心率（）答案(1)解析(1)由焦,点三角形公式,得即.(2)由公式得.评注;这类问题用通法算很烦琐，因为题设条件与所求问题“相距甚远”，而用焦点三角形公式，则结论立即可得.规律探索：焦点三角形(椭圆上一点与焦点所构成的三角形称为焦点三角形)为焦点三角形)的十三大性质.常利用第一定义和正弦、余弦定理求解.如图2，设椭圆上一点到两焦点的距离分别为、的面积为S,则在椭圆中:（3）为点到长轴端的张角;(4);(5);且当即点为短轴端点时,的最大值(7)(8)(9)；，即(10)(11)即点为短轴端点时;(13)(由海伦公式