2025高考数学二轮复习-函数与不等式201-210-专项训练【含答案】

七、赋值法当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．【例1】已知，对于任意实数x，y，等式恒成立，求的解析式．【解析】对于任意实数x，y，等式恒成立，不妨令则有再令，得函数解析式为八、递推法若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过累加、累乘或者迭代等运算求得函数解析式．【例1】若二次函数满足且则__________．【答案】【解析】设由可知又则，即．故且解得所以．变式训练若的定义域是正整数集且求的解析式．【例2】设是定义在上的函数，满足且对任意的自然数a，b都有求的解析式．【解析】由不妨令则有，又故=1\*GB3①分别令@式中的得，将上述各式相加得，则所以．【例3】已知其中，求．【解析】即，所以是以4为首项，以2为公比的等比数列，故，所以九、利用函数图象变换【例1】将函数的图象向左平移2个单位长度得到图象又和的图象关于原点对称，曲线的图象与关于直线对称，求的解析式．【答案】【例2】设函数且当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点．（1)写出函数的解析式；（2)若当时，恒有试确定的取值范围．【解析】（1）设点的坐标为则即点在函数的图象上，则即所以．（2）由题意得，又且故，因为，所以．又在上为减函数，所以在上为减函数，从而，于是所求问题转化为求不等式组的解．由解得由解得，综上，所求的取值范围是．十、应用问题【例1】动点从边长为1的正方形ABCD的顶点出发，顺次经过点B，C，D再回到A，设表示点经过的路程表示PA的长表示的面积，求和，并作出的简图．【解析】如图，当，点在AB上运动时，当点在BC上运动时，可得当点在CD上运动时，可得当点在DA上运动时，，故由于点在折线ABCD上不同位置时，的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对，点的位置进行分类求解．当点在AB上时;当点在BC上，即时;当点在CD上，即时;当，点在DA上，即时．故图象如图所示．【例2】已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意有成立．（1）函数是否属于集合M?请说明理由;（2）设，且．已知当时求当时的解析式．【解析】（1）假设函数属于集合M，则存在非零常数T，对任意有成立，即成立．令则与题意矛盾．故．(2)且则对任意有，设则，当时，故当时．变式训练某蔬菜基地种植西红盐，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红盐的市场价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红盐的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示．（1）写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式;写出图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式;（2）若设定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg，时间单位：天）．第八章函数零点，六大类型一、基本函数零点问题(一)指数函数型零点【例1】已知函数的零点其中常数a，b满足，则等于A．-1B．-2C．1D．2【答案】A【解析】令，因此函数的零点问题转化为与图象的交点问题．易知所以直线与的交点应在轴的左侧，排除若则，即这说明故选【例2】若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0．25，则可以是A．C．D．【答案】C【解析】的零点为，的零点为，的零点为，的零点为现在我们来估算的零点，因为，所以的零，点又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0．25，只有的零，点适合，故选C．【例3】函数在区间(0，1)内的零点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】令即则．在同一平面直角坐标系中分别画出和的图象，由图可知两个图象在区间(0，1)内只有一个交点．所以函数在区间(0，1)内有一个零，点，故选B．【例4】函数且有两个零点，则实数的取值范围是【答案】【解析】设函数且)与函数，则函数且有两个零点，就是函数且)与函数有两个交，点，可知当时，两函数只有一个交点，不符合题意;当时，因为函数的图象过点而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数的取值范围是【例5】设函数其中若存在唯一的整数使得则的取值范围为A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，令则“存在唯一的整数使得”等价于“存在唯一的整数使”，在同一坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知解得故选【评注】本题考查函数与不等式，为中档题函数与不等式是高考的重要内容，数形结合是解决函数与不等式问题的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造函数，作图解决，也可像本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解．（二）对数函数型零点【例1】判断函数零点的个数，并证明．【解析】令得．令则．令则，当时当时所以，即所以单调递增．当时当时，所以只有一个零点．变式训纸已知函数过点则方程的解所在的区间是A．B．【例2】已知函数且)．当时，函数的零点则______．【答案】【解析】因为当时;当时，所以的零点在区间(2，3)内，故．【例3】函数的零点个数为A．0B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】由得，由得故有2个零点．故选．【例4】已知偶函数满足，且当时则关于的方程在上解的个数是A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】C【解析】设方程在上解的个数，即为函数和的图象在上交点的个数．由得故原函数的周期又当[0，1]时由以上条件，可画出在上的图象．又因为当时，结合图象可知，在[0，9]上的图象共有9个交点，即在[0，9]上，原方程有9个根，故选C．【例5】若方程仅有一个实根，那么的取值范围是【答案】或【解析】题设条件等价于对（3）式由求根公式得（4）得或结合(1)式知或(i)当时，由@式得所以同为负根，又由@式知所以原方程有一个解．(ii)当时，原方程有一个解．(iii)当时，由(3)式得所以同为正根，且不合题意，舍去．综上可得或为所求．解法2：参数不完全分离法．由题意知即由得由图分析即得：一解一解两解无解综上可得：或为所求．解法3：参数完全分离法由题意知得．由图分析即得：一解一解两解无解综上可得：或为所求．【评注】上述三种解法是最典型的处理含参问题的有效套路，显然解法3最为简捷．【例6】已知定义域为R的函数满足以下条件：=1\*GB3①对任意，;=2\*GB3②=3\*GB3③当时若方程且在[0，+)上至少有5个不等的实根，则实数的取值范围为A．B．【答案】【解析】由知的图象关于直线对称，由知的周期结合作出的图象与函数的图象，则“方程在[0，+)上至少有5个不等的实根”等价于“函数的图象与函数1)的图象至少有5个交点”，如图所示，则所以选．【评注】本题考点为函数的零点、函数与方程．在解决函数的零点或方程的根等问题时，一般把方程的根的个数转化为两函数图象的交点问题，其中一个函数要求是确定的函数，参数只在其中一个函数中出现，且随参数的变化，函数的图象变化规律易找，如能转化为直线与函数的交点更好．本题函数是确定的，函数变化规律也易知，这样就容易得出结论．拓展提升若用[]表示不大于的最大整数，则方程的实根个数是______个．【例7】已知函数若存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】解法1：由题意得当时，存在三解，当时，存在一解，由得，所以故选解法2：由题意得，令，由则得当时有两个不同的根，即有两个不同的根时只有一个根)，存在使之成立．所以即故．选．【例8】已知符号函数则函数的零点个数为A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】由题意知当时，令解得此时有一个零点;当时则是的一个零点;当时，令此方程无解，此时无零点．综上的零点个数为2，故选．（三）指对混台型零点【例1】函数的零点个数为A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】令，得，作出和的图象，由图即得有2个交点(图略)，即有2个零，点，故