2025高考数学二轮复习-函数与不等式191-200-专项训练【含答案】

二、待定系数法求函数解析式时，若已知的结构，可设出含参数的解析式，再根据已知条件列方程或方程组，求出待定的参数，从而求得的解析式．【例1】设是一次函数，且，求的解析式．【解析】设，则，比较系数得，解得或，所以或．【例2】设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式．【解析】利用待定系数法，设，然后找关于的方程组求解，得．【例3】若函数在定义域内恒有，则．【答案】3【解析】由，得，整理并比较系数得．变式训练若，，则的值是（）A.1B.3C.15D.30【例4】设是的二次函数，，且，求函数和的解析式．【解析】设，则．由得：即．这是关于的恒等式，比较系数，得，解得所以，．【例5】已知函数（为常数），且方程有两个实根为，．（1）求函数的解析式；（2）设，解关于的不等式：．【解析】（1）将分别代入方程得，解得，所以．（2）不等式即为，可化为，即．当，解集为；当时，不等式为，解集为；当时，解集为.【例6】设为定义在上的偶函数，当时，的图象是经过点，斜率为1的射线，又的图象中有一部分是顶点为，且过点的拋物线，试求函数的解析式．【解析】（1）当时，设因为射线过点，所以，即，故．（2）当时，设．因为执物线过点，所以，即，故．（3）当时，由为偶函数知．综上可知，．【例7】已知二次函数满足，求的【解析】由，，得并且不能同时等于1或，所以所求函数为：或或或或或．【例8】如图，已知抛物线和轴正半轴交于两点，，为抛物线上的一点，横坐标为，，.（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式．【解析】（1）设，可知点在第三象限，故，过点作轴于，设点．因为，，所以.因为，所以，故点的坐标为，点的坐标为.（2）将点，点的坐标代入抛物线的解析式得，解得，.故抛物线的解析式为.三、利用奇偶对称法【例1】若函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时，．【答案】【例2】设函数的图象关于直线对称，在时，，则时，等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用数形结合，时的对称轴为，最小值为，又关于直线对称，故当时，的对称轴为且最小值为，即，故选.四、利用周期与对称【例1】已知定义在上的函数以4为周期，当时，，求当时的最小值.【解析】设，则，即所求最小值为．【例2】设是定义在区间上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，，求在上的解析式．【解析】，，，则.【例3】设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，.求当时，函数的解析式；求当时，函数的解析式．【解析】由得，即.（1）当时，.（2）当时，因为，所以.【例4】已知为偶函数，且周期为，当时，，求当时的解析式．【解析】时，，，即时，，，又所以.【例5】设是定义在上以2为周期的函数，且是偶函数，在区间上时，.（1）求当时，的解析式；（2）若矩形的两个顶点在轴上，在的图象上，求这个矩形面积的最大值．【解析】（1）设，则因为是偶函数，所以，又因为4是的周期，所以.（2）设，则，又由（1）可知，当时，，设点的坐标分别为，则，，令，则当且仅当，即时取等号．所以，即，故.【例6】已知函数是定义在上的周期函数，，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时，取得最小值.（1）求证：；（2）求在上的解析式；（3）求在上的解析式．【解析】（1）是以5为周期的周期函数，故，又是奇函数，则，所以.（2）当时，由题意，可设，由得，解得所以.（3）是奇函数，故，又是一次函数，因此设因为，又，故.所以当时，因为在上为奇函数，所以当时，．当时，，；当时，，.所以.【例7】设函数表示实数与的给定区间内整数之差的绝对值．（1）当时，求的解析式；（2）当时，写出用绝对值符号表示的的解析式，并说明理由；（3）用定义证明函数是偶函数；（4）若，求证：方程有且只有一个实根．【解析】（1）当时，由定义知，与0距离最近，故，.（2）当时，由定义知，为与最近的一个整数，故，.（3）对任何，函数都存在，且存在，满足当时，.由，得，即.由（2）的结论，，即是偶函数．（４），即．（ｉ）当时，，没有大于1的实根；（ｉｉ）当时，容易验证为方程的实根；（ｉｉｉ）当时，方程可变形为．设则．所以当时，为减函数所以方程在上没有实根；（ｉｖ）当时，方程可变形为．设，明显为减函数，所以方程在上没有实根．综上可知，若，方程有且仅有一个实根，实根为.【例８】已知定义在上的函数，如果对任意，恒有成立，则称为阶“缩放函数”．（１）已知函数为二阶“缩放函数”，且当时，，求的值；（２）已知函数为二阶“缩放函数”，且当时，，求证：函数在上无零点．【解析】（１）由得，由题中条件得.（２）当时，，依题意可得方程即，解得或0与均不属于，故当时，方程无实数解．因为，所以函数在上无零点．五、利用方程的思想若已知条件是含有及另外一个函数的等式，则可抓住等式的特征对其进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组．【例1】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是．【答案】【解析】由得即联立，解得，，所以切线方程为，即．变式训练若，求的解析式．2、若，，求的解析式．【例2】设函数满足，其中，求的解析式．【解析】令，则，于是有得，所以．【例3】已知，其中，为奇数，试求的解析式．【解析】令，则，于是有得，即.变式训练已知，求的解析式．【例4】已知，求的解析式.【解析】由，知由两式联立消去可得．变式训练1、已知，求的解析式．2.已知函数满足则的最小值为)A.B.2C.D.【例5】已知是奇函数，是偶函数，且，则，．【答案】；．【解析】，则有两式相减得，所以【评注】任何一个定义域对称的函数一定能表示为一个奇函数与一个偶函数的和．变式训练已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值为（）A.B.C.D.六、代入法求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】已知函数与的图象关于点对称，求的解析式．【解析】设为上任一点，且为关于点的对称点，则，解得因为点在上，所以．把代入得，即.【例2】已知，当点在函数的图象上运动时，点在函