2025高考数学二轮复习-函数与不等式61-70-专项训练【含答案】

若即时,由于在上单调递增，所以为方程的较大根,所以.综上可知【例3】集合是由适合以下性质的函数构成的:对于任意的且,都有(1)分别判断函数及是否在集合中?并说明理由;设函数,且求证:当时【解析】(1)任取.且则因为所以,所以亦即;对于只需取则,而,所以.(2)因为属于集合,所以任取且则也即①设则上式化为②.因为所以,式对任意的恒成立，即②式对恒成立。所以故可以证明事实上,当时当时.所以当时，七、奇偶与周期【例1】设是定义在区间上以2为周期的函数,对用表示区间,已知当时(1)求在上的解析式(2)对求集合。【解析】f(x)是以2为周期的函数,当时,2k是的周期.当时故.即对当时.（2）解法1：当且时，利用（1）的结论可得方程整理得上述方程在区间上恰有两个不相等的实根的充要条件是满足化简得由①知或.当时,因为故从②③可得,即即即当时易知无解.综上所述,应满足.故所求集合解法2:用参数分离法.分离参数得,画出函数和的图象,如图,即得所求集合为解法3:用参数不完全分离法.令画出两函数的图象,如图，由题意知，需要满足解得所求集合为【评注】解法1时当年高考的标准答案，是通法，但十分复杂；解法2和解法3利用参数分离并数形结合求解,更加简捷明快.【例2】设函数表示实数与的给定区间内整数之差的绝对值.(1)当时,求出的解析式$;$当时,写出用绝对值符号表示的的解析式,并说明理由;(2)用定义证明函数是偶函数;(3)若,求证:方程有且只有一个实根.【解析】(1)当时,由定义知,与0距离最近,.当时,由定义知,k为与最近的一个整数，故(2)对任何函数都存在,且存在满足.由得即.由（1）的结论，，即是偶函数(3)即(i)当时没有大于1的实根(ii)容易验证为方程的实根;(iii)当时,方程即为设则所以当时为减函数,所以方程没有的实根;（IV）当时,方程即为.设，为减函数，所以方程没有的实根.综上可知,若方程有且仅有一个实根,为1.八、二次函数不动点【例1】对于函数若存在使得成立,则称为的不动点,已知函数（1）当时,求函数的不动点（2）若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;（3）在（2）条件下，若图象上的A,B两点的横坐标是函数的不动点,且A,B两点关于直线对称,求的最小值.【解析】(1)当时由题意有解得或故当时的两个不动点为(2)因为恒有两个不动点,所以即恒有两个相异的实数根,得恒成立,于是解得所以当恒有两个相异的不动点时,的取值范围是（3）由题意知A,B两点应在直线上.设的中点为,因为A,B关于直线对称,所以.因为是方程的两根,所以,由点在直线上,得.因为所以当且仅当时取等号,故的最小值为.【规律探究】函数不动点：已知函数若存在使得则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标,或两者图象的交点的横坐标,当然,这个方程组根据函数的不同，可能有多解.【例2】设集合.(1)求证;(2)单调递增时,是否有证明你的结论.【解析】(1)任取则,所以因此命题得证.（2）由(1)知，只需妥证明.任取则若因为单调递增,所以这与假设矛盾,因此同理可得;故所以命题得证.【评注】由此我们可以看出：的零点一定是的零点，但是反之不真（例如：设则易见定义域中的每个值都是的不动点,但是没有不动点).由千的零点一定是的零点,故当是多项式函数时,中一定含有项.特别地,如果.$$【规律探究】函数稳定点：已知函数若存在使得则称为函数的稳定点.很显然,若为函数的不动点,则必为函数的稳定点.证明方法非常简单:因为所以,即故也是函数的稳定点.反之，有没有不是不动点的稳定点呢?答案是肯定的，如:(1)的解兵有一个故函数有一个不动点1;(2)的解为故函数有两个不动点;(3)设今解得故函数有一个稳定点1;(4)令因为不动点必为稳定点,所以该方程一定有两解因式分解,可得还有另外两解故函数的稳定点有其中是稳定点,但不是不动点.请看下面四个图形,分别对应以上(1)由此,清晰可见,不动点是函数图象与直线的交点的横坐标,而稳定点是函数图象与它的反函数(可以是多值的)图象的交点的横坐标.根据例1和例3,我们可以给出命题:若函数单调递增,则它的不动点与稳定点是完全等价的.证明:若函数有不动点显然它也有稳定点若函数有稳定点即设则,即和都在函数的图象上，假设因为是增函数,则即与假设矛盾;假设,因为是增函数,则,即,与假设矛盾;故即即有不动点.变式训练1.设如果求.2.已知函数,且没有实数根,则是否有实数根?证明你的结论.3.设且求实数的取值范围.【例3】求证:若有唯一不动点,则也有唯一不动点.【解析】存在性:设是的唯一不动,点,记则所以,故也是的不动点.由只有一个不动点可知因此即有不动.点.唯一性:假设也是的不动,点,易见也是的不动点,这与已知矛盾.故有唯一不动点.【例4】设函数为自然对数的底数若曲线上存在点)使则的取值范围是A.B.C.D.【解析】易知单调递增，所以，①因为有意义,所以,②因为所以③，由①②③知在[0,1]上有解,从而在[0,1]上有解，记则,所以当时当时,所以因此在[0,1]上单调递增.所以即故选变式训练设函数为自然对数的底数若存在使成立,则的取值范围是A.B.C.D.[0,1]【例5】已知函数为常数且若满足但则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围.【解析】当时由解得而故不是二阶周期点,所以不合题意.当时有解集而当时恒成立,所以不合题意.由解得或或或,又所以恰有两个二阶周期点,综上,的取值范围是【例6】已知,设.求证:如果存在一个实数满足则对一切有成立;若实数满足则称为不动点，试求出所有的不动点;是否存在区间,使得对任意当时,都有证明你的结论.【解析】(1)用数学归纳法证明:当时显然成立;假设当时)成立，则当时也成立.命题得证.(2)由(1)可知当且仅当,即时为不动点.由解得或.(3)即解得或,由知或,因此要使对一切都有成立,只需或,而由得或,由得,所以,取区间或即可满足题意.【例7】定义:在平面上,纵、横坐标均为整数的点叫作“格点".已知二次函数）的图象过点且函数是偶函数,则在该二次函数的图象上,纵坐标是一个完全平方数的“格点"有A.无数个B.8个C.4个D.2个【答案】D【解析】依题意得，设符合条件的点为，则有所以有或或解得或或或则符合条件的点为(10,121)和故选.九、反解系数法很多学生遇到函数含绝对值放缩问题时往往无从下手,此时运用反解系数法可以快速破解.【例1】已知a,b为实数,函数满足:对任意有则的最大值为【答案】【解析】易知则当即时故ab的最大值为.变式训练已知函数若对任意有则的取值范围为（）A.B.C.D.【例2】已知且满足求的取值范围.【解析】本题中所给条件不足以确定参数a，b的值，但应该注意单：所要求的的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此，我们可以把和当成两个独立条件,先用和来表示a,b.由可解得将以上两式代入并整理得,所以又因为所以【例3】设若求证:对于任意有【解析】同上题,可以用来表示a,b,c.由所以,所以当时，当时，综上，问题获证.变式训练如果对任意的恒成立,求的最大值.【例4】已知二次函数当时,有求证:当时,有.【解析】研究的性质,最好能的得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c.确定三个参数,只需