信息必刷卷02（广东专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷02（广东专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷信息必刷卷02（广东专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷02（广东专用）数学考情速递高考·新动向：广东省使用全国新课标Ⅰ卷，结合最新八省联考动向，更加注重空间想象能力的考察（从动态的角度想象图象变化），虽然八省联考最后一道压轴题不是新定义题，但新定义题仍很大可能继续作为最后一道解答题压轴。高考·新考法：从动态的角度想象几何图形的变化（如本卷第8题），直线，椭圆，利用导数求切线融合考察（如本卷第11题）高考·新情境：从课本直线方程出发考察新概念直线族（高中课堂讲过）；另外以朗博变形为概念考察同构变形（高中课堂讲过）命题·大预测：结合2024新课标Ⅰ卷和最新八省联考动向，立体几何突出考察从动态想象图象变化过程（如本卷第8题），另外新定义压轴仍然是高考的一大趋势，本卷最后一题以数列为背景考察新定义压轴。（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知变量和的统计数据如下表：6810122356根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（

）A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.23．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（

）A． B． C． D．74．设为等差数列的前项和，已知，则（

）A．12 B．14 C．16 D．185．若向量，且，则（

）A． B． C．1 D．26．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知椭圆，过焦点的直线与交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，若，则的方程为（

）A． B． C． D．8．如图，已知菱形ABCD的边长为2，且分别为棱中点.将和分别沿折叠，若满足平面DEBF，则线段AC的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥B．事件与事件对立C．事件与事件相互独立D．10．下列函数是奇函数，且满足对任意.都有的是（

）A． B．C． D．11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（

）A．若，则该直线族的包络曲线为圆B．若，则该直线族的包络曲线为椭圆C．当时，点可能在直线族上D．当时，曲线是直线族的包络曲线第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若，则．13．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中，内角所对的边分别为．已知．(1)求角的大小；(2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长．16．（15分）如图，直角中，，，D、E分别为、中点，将沿翻折成，得到四棱锥，M为中点.

(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.17．（15分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．18．（17分）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)证明时，；(3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．19．（17分）对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”.(1)设，证明：为“3阶可分拆数列”；(2)设的前项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数的值；(3)设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由.2025年高考考前信息必刷卷02（广东专用）数学·参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ADCBCBAA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ACBDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．/14．/四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，（2分），，，即，即，∴．又B∈0,π，；（2）因为的角平分线与边相交于点，所以，即，所以，所以，（8分）又由余弦定理，即，（10分）所以，解得或（舍去），所以.（13分）16．（15分）【详解】（1）取中点，连接，如图，因为是中点，所以且，又分别是中点，所以且，所以与平行且相等，从而是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（6分）

（2）由已知，，所以，又，，平面，所以平面，又因为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，（10分）设平面的一个法向量是，则，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以平面与平面夹角的余弦值．（15分）17．（15分）【详解】（1）设椭圆标准方程为：，由题意：，所以椭圆的标准方程为：.（5分）（2）如图：若直线的斜率不存在，则可取，因为，可取，此时.若直线的斜率为0，同理可得.（8分）当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由，得，则，用代替，得，则.（10分）所以.设，，则.（13分）因为，所以，，所以，所以.综上，（15分）18．（17分）【详解】（1），当时，f'x>0；当时，f∴fx的增区间为，减区间为．（3分）（2）令，当时，；当时，，当时，，即，原不等式等价于，（7分）为0,+∞上的减函数，，只需证明，即，令，当时，，当时，，原不等式成立．（10分）（3）当时，由（2）知,又，，原不等式在0,+∞上恒成立．当时，令．，（13分）在1,4内必有零点，设为，则，，，而，综上所述实数的取值范围是．（17分）19．（17分）【详解】（1），，（2分）若，使得成立，则成立，显然，当时等式成立，所以，使得成立，得证.（5分）（2）因为数列的前项和为当时，；当时，，所以，（8分）因为存在正整数使得成立，则①当时，，即，因为，所以，而，所以不存在正整数使得成立；②当时，若成立，则，得，所以时存在正整数使得成立，由①②得.（11分）（3）假设存在使得数列为“阶可分拆数列”即存在确定的正整数，存在正整数使得成立.即，即，（13分）①当时，时方程成立，②当时，当时，；当时，，当时，，所以不存在正整数使得成立；③当时，，当时，成立，④当时，，所以不存在正整数使得成立.综上：或3.（17分）绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷02（广东专用）数学考情速递高考·新动向：广东省使用全国新课标Ⅰ卷，结合最新八省联考动向，更加注重空间想象能力的考察（从动态的角度想象图象变化），虽然八省联考最后一道压轴题不是新定义题，但新定义题仍很大可能继续作为最后一道解答题压轴。高考·新考法：从动态的角度想象几何图形的变化（如本卷第8题），直线，椭圆，利用导数求切线融合考察（如本卷第11题）高考·新情境：从课本直线方程出发考察新概念直线族（高中课堂讲过）；另外以朗博变形为概念考察同构变形（高中课堂讲过）命题·大预测：结合2024新课标Ⅰ卷和最新八省联考动向，立体几何突出考察从动态想象图象变化过程（如本卷第8题），另外新定义压轴仍然是高考的一大趋势，本卷最后一题以数列为背景考察新定义压轴。（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求得答案.【详解】集合，而，所以.故选：A2．已知变量和的统计数据如下表：6810122356根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（

）A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2【答案】D【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数【分析】利用回归直线过样本中心点求解，代入即可.【详解】根据表格中的数据，当时，故选：D3．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（

）A． B． C． D．7【答案】C【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数．【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，它的展开式共计有9项，，故二项展开式的通项公式为，令，求得，可得在的展开式中的系数为，故选：C．4．设为等差数列的前项和，已知，则（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【知识点】等差数列片段和的性质及应用【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得.【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，由，得该数列首项为4，公差为2，所以.故选：B5．若向量，且，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【知识点】运用换底公式化简计算、垂直关系的向量表示【分析】根据向量垂直的坐标表示以及对数运算即可求解.【详解】由得，，所以.故选：C.6．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】三角函数综合、求图象变化前（后）的解析式【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，因为，周期，函数在上没有零点，则，所以，因为，所以，又在上没有零点，所以，解得，，又因为，所以当，，，，所以或.故选：B7．已知椭圆，过焦点的直线与交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，若，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】由已知坐标原点在以为直径的圆上，即，然后根据椭圆的性质可表示出相关线段长度，再由余弦定理可得关系，最后联立方程即可求解.【详解】由于坐标原点在以为直径的圆上，所以，故可设为上顶点，为右焦点，为左焦点.则，而，故，，，由余弦定理，得，得，结合，，解得，，符合题意，所以的方程为.故选：A8．如图，已知菱形ABCD的边长为2，且分别为棱中点.将和分别沿折叠，若满足平面DEBF，则线段AC的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、求面面距离【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC的长度，折叠过程中证明平面EAB//平面FDC，面面距离即为AC的最小值，由此得到AC的范围.【详解】折叠前，连接AC，BD，由题意，在菱形ABCD中，，，则由余弦定理得，，，故在折叠过程中，，折叠后，平面DEBF，则平面DEBF，则，故D项错误；折叠前，在菱形ABCD中，，，则是正三角形，由E，F分别为棱中点，，折叠后，则，又平面EAB，所以平面EAB，由E，F分别为棱中点，则，又FC，FD在平面FCD内交于点F，所以平面FCD，又，所以平面EAB//平面FCD，则平面EAB与平面FCD的距离即为，由点平面EAB，点平面FCD，则，故B错；在折叠过程中，当时，由，则均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱，满足平面DEBF，此时.所以AC最小值为，故A正确，C项错误.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥B．事件与事件对立C．事件与事件相互独立D．【答案】AC【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断【分析】根据互斥、对立、相互独立定义和并事件概率的计算公式判断各个选项；【详解】样本空间为，，，．对于A，因为，所以事件与事件互斥，故A正确；对于B，因为，，所以事件与事件不对立，故B错误；对于C，，，，，即事件与事件相互独立，故C正确；对于D，因为，所以事件与事件不互斥，故D错误．故选：AC.10．下列函数是奇函数，且满足对任意.都有的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可.【详解】对任意，都有，则在上单调递增；所以是在上单调递增的奇函数.对于A，函数定义域为，不是奇函数，A错误；对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；对于C，，易知在上单调递减，C错误；对于D，函数定义域为R，函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增，，是奇函数，D正确.故选：BD.11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（

）A．若，则该直线族的包络曲线为圆B．若，则该直线族的包络曲线为椭圆C．当时，点可能在直线族上D．当时，曲线是直线族的包络曲线【答案】ABD【知识点】利用导数研究函数的零点、过圆上一点的圆的切线方程、求椭圆的切线方程、判断直线与抛物线的位置关系【分析】设圆上的点为，求解该圆的切线方程即可判断选项A；设椭圆上的点为，求解该椭圆的切线方程即可判断选项B；若点可能在直线族上，则存在使得，即函数有零点，因而对函数零点个数进行分析从而判断选项C；当时，直线族为，将其与曲线联立可得，即可得直线和曲线相切,故可判断选项D.【详解】对于A，设圆：上的点为，直线的斜率为，过点作圆的切线，由，得，所以切线的方程为，即，故A正确；对于B，设椭圆上的点为，过点作圆的切线，当切线斜率存在时，设，，联立得：，所以，.作商：，得，所以切线的方程为，即；当切线斜率不存在时，或，则切线方程和亦满足，故B正确；对于C，将代入得，构造，，当时，；当，.所以在上单调递减，在上单调递增，因而当时，取到最小值，所以在无零点，无解，故C错误；对于D，若不在直线族上，则将代入直线得无解，则，所以,因而可得当在曲线上时，则一定在直线族上，联立和得，所以，故直线和相切，又不包括直线，所以是直线族的包络曲线，故D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若，则．【答案】【知识点】复数的除法运算【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】．故答案为：.13．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.【答案】/【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式【分析】设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与，再代入条件概率公式即可求解.【详解】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，则，，所以.故答案为：14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为.【答案】/【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）【分析】先化简，再同构设函数，再结合函数的单调性得出所以，进而得出，根据单调性即可得出最大值.【详解】由，得，即，所以，，令，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再结结合函数单调性解题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中，内角所对的边分别为．已知．(1)求角的大小；(2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长．【答案】(1)(2)【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用正弦定理将边化角，在由三角恒等变换公式化简，即可求出，从而得解；（2）根据等面积法得到，再由余弦定理得到，即可求出，从而求出周长.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，，，，即，即，∴．又，；（2）因为的角平分线与边相交于点，所以，即，所以，所以，又由余弦定理，即，所以，解得或（舍去），所以.16．（15分）如图，直角中，，，D、E分别为、中点，将沿翻折成，得到四棱锥，M为中点.

(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)．【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得，然后由线面平行的判定定理得证；（2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）取中点，连接，如图，因为是中点，所以且，又分别是中点，所以且，所以与平行且相等，从而是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；

（2）由已知，，所以，又，，平面，所以平面，又因为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积【分析】（1）设椭圆标准方程为：，根据及点在椭圆上，可求椭圆的标准方程.（2）按直线是否垂直于坐标轴分类，求出，，进而表示出三角形面积，再借助二次函数求出范围即可.【详解】（1）设椭圆标准方程为：，由题意：，所以椭圆的标准方程为：.（2）如图：若直线的斜率不存在，则可取，因为，可取，此时.若直线的斜率为0，同理可得.当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由，得，则，用代替，得，则.所以.设，则.因为，所以，，所以，所以.综上，18．（17分）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)证明时，；(3)若对于任意的，关于的不等式