2023年普通高等学校招生全国统一考试·天津卷

PAGE12023年普通高等学校招生全国统一考试·天津卷数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．·如果事件A，B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)．·球的体积公式V＝43πR3，其中R·圆锥的体积公式V＝13Sh，其中S表示圆锥的底面面积，h一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则(∁UB)∪A＝()A．{1，3，5} B．{1，3}C．{1，2，4} D．{1，2，4，5}A[法一：因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，所以∁UB＝{3，5}，又A＝{1，3}，所以(∁UB)∪A＝{1，3，5}．故选A．法二：因为A＝{1，3}，所以A⊆(∁UB)∪A，所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1，3，所以排除选项C，D；观察选项A，B，因为5∉B，所以5∈∁UB，即5∈(∁UB)∪A，故选A．]2．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件B[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]3．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>cD[因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1．因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1．综上，b>a>c．故选D．]4．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝5ex−e−xx2C．f(x)＝5ex+e−xxD[法一：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝5ex−e−xx2+2，定义域为R，f(－x)＝5e−x−exx2+2＝－f(x)，所以函数f(x)＝5ex−e−xx2+2是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝5sinxx2+1，定义域为R，f(－x)＝5sin−xx2+1＝－5sinxx2+1＝－f(x)，所以函数f(x)＝5sinxx2+1是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝5ex+法二：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝5ex−e−xx2+2是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝5sinxx2+1是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝5e5．已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝sinπ2x B．f(xC．f(x)＝sinπ4x D．f(xB[对于A，f(x)＝sinπ2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sinπ2x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cosπ2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝cosπ2x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sinπ4x和6．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为()A．3 B．18C．54 D．152C[法一：因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以数列{an}是公比q＝an+1an＝3的等比数列．当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×3法二：设等比数列{an}的公比为q，因为an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝2a11−qn1−q＋2＝－2a11−q·qn＋2a11−q＋2，所以a1=−2a11−q0=2a11−7．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是()A．花瓣长度和花萼长度没有相关性B．花瓣长度和花萼长度呈负相关C．花瓣长度和花萼长度呈正相关D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245C[因为相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以选项A，B错误，选项C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也会发生变化，所以选项D错误．故选C．]8．在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝13PC，线段PB上的点N满足PN＝23PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-A．19 B．C．13 D．B[如图，因为PM＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×23＝29，9．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2A．x28－y24＝1 B．C．x24－y22＝1 D．D[法一：不妨取渐近线y＝bax，此时直线PF2的方程为y＝－ab(x－c)，与y＝bax联立并解得x=因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝bax(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝bca2+b2＝因为F1(－c，0)，Pa2c，abc，且直线PF1的斜率为24，所以abca2c+c＝24，化简得aba2+c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2所以双曲线的方程为x22－y2法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为x28－y24＝1，则F1(－23，0)，F2(23，0)，渐近线方程为y＝±22x，不妨取渐近线y＝22x，则直线PF2的方程为y＝－2(x－23)，与渐近线方程y＝22x联立，得P433，263，则kPF1＝25，又直线第Ⅱ卷本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．已知i是虚数单位，化简5+14i4＋i[5+14i2+3i＝5+14i2−3i2+3i2−3i＝11．在2x3−160[法一：二项式2x3−1x6展开式的通项公式Tk＋1＝C6k(2x3)6-k−1xk＝−1k26−kC6法二：将二项式2x3−1x6看成6个多项式2x3−1x相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－1x，相乘12．过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________．6[由题意得直线OP的斜率存在．设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以−2k1+k2＝3，解得k2＝3．将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或2p3，设P(x1，y1)，则x1＝2p3，又O(0，0)，所以|OP|＝1+k213．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．12035[法一：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝25，P(B)＝25%＝14，P(C)＝50%＝12，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×14×12＝120．设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝55+4+6＝13，P(D2)＝45+4+6＝415，P(D3)＝65+4+6＝25，P(E|D1)＝1－25＝35，P(E|D2)＝1－14＝34，P(E|D3)＝1－12＝12，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)法二：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3．则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为2×1×35×4×6＝120；将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有14．在三角形ABC中，∠A＝π3，|BC|＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设AB＝a，AC＝b，则AE可用a，b表示为________；若BF＝13BC，14a＋12b1324[因为E为CD的中点，所以AE＝12AD＋12AC，因为D为AB的中点，所以AD＝12AB，所以AE＝14AB＋12AC，又AB＝a，因为BF＝13BC，所以AF−AB＝13(AC−AB)，即AF＝23AB＋13AC＝23a＋13b，所以AE·AF＝14a+12b·23a+13b＝16a2＋512a·b＋16b2．在三角形ABC中，∠A＝π3，|BC|＝1，设三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝1，|a|＝c，|b|＝b，所以a·b＝bccosπ3＝bc2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosπ3，即1＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋1，所以法一：在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB＝csinC＝1sinπ3＝233，所以b＝233sinB，c＝233sinC，bc＝43sinBsinC＝43sinBsinπ3+B＝43sinB32cosB+12sinB＝23(3sinBcosB＋sin2B)＝2332sin2B+1−cos2B2＝23sin2B−π6+1法二：因为在三角形ABC中，∠A＝π3，a＝1，所以由正弦定理得2r＝asinA＝233，其中r为三角形ABC外接圆的半径，所以r＝33，圆O的半径为33，点A在优弧BC上运动，且总满足∠A＝π3，则S△ABC＝12bcsinA＝34bc，由图可知，当点A在优弧BC的中点时，点A到BC的距离最大，即S△ABC最大，此时AB＝AC，即c＝b，又∠A＝π3，所以此时三角形ABC为正三角形，所以三角形ABC面积的最大值为34，所以bc的最大值为1，又AE·AF＝38bc＋1615．若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为________．(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)[令x2－ax＋1＝0，则Δ1＝a2－4，当－2≤a≤2时，Δ1≤0，x2－ax＋1≥0恒成立，此时f(x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1．当a≠1时，令f(x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，则Δ2＝(a－2)2＋4(a－1)＝a2，当a≠0时，Δ2>0，f(x)有且仅有两个零点；当a＝1时，f(x)＝－x－1，f(x)有且仅有一个零点，不符合题意，所以－2≤a<0或0<a<1或1<a≤2．当a<－2或a>2时，Δ1>0，方程x2－ax＋1＝0有两个不等实根，设为x1，x2，x1<x2，所以f(x)＝a设g(x)＝[(a＋1)x－1](x－1)，令g(x)＝0，解得x＝1或x＝1a+1；设h(x)＝[(a－1)x－1](x＋1)，令h(x)＝0，解得x＝－1或x＝当a<－2时，x1＝a−a2−42<－1，1a+1<所以f(x)有且仅有两个零点，符合题意．当a>2时，因为x2＝a+a2−42>1，且1a+1<所以f(x)有且仅有两个零点，符合题意．综上所述，a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．]三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝39，b＝2，A＝120°．(1)求sinB的值；(2)求c的值；(3)求sin(B－C)的值．[解](1)由正弦定理asinA＝得39sin120°解得sinB＝1313(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得39＝4＋c2－4ccos120°，整理得c2＋2c－35＝0，解得c＝5或c＝－7(舍去)．所以c＝5．(3)由正弦定理csinC＝bsinB，可得sin又B，C均为锐角，所以cosC＝1−sin2C＝33926，cosB所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝1313×33926－2391317．(本小题满分15分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点．(1)求证：A1N∥平面C1MA；(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；(3)求点C到平面C1MA的距离．[解](1)证明：连接MN，可得MN为△ABC的中位线，可得MN∥AC，且MN＝12AC而A1C1＝1，AC∥A1C1，则MN∥A1C1，MN＝A1C1，可得四边形MNA1C1为平行四边形，则A1N∥C1M，而A1N⊄平面C1MA，C1M⊂平面C1MA，所以A1N∥平面C1MA．法一(向量法)(2)因为A1A⊥平面ABC，且AB，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC．又AB⊥AC，所以直线A1A，AB，AC两两垂直．如图，以向量AB，AC，AA1分别为x轴、y因为AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，则A(0，0，0)，C1(0，1，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)．又点M是线段BC的中点，可得M(1，1，0)，所以AC1＝(0，1，2)，设平面C1MA的法向量为m＝(x，y，z)，则AC1⊥m，AM⊥即AC1·m＝0，AM·m＝0，令y＝2，则x＝－2，z＝－1，即m＝(－2，2，－1)，故平面C1MA的一个法向量为m＝(－2，2，－1)．易知，平面ACC1A1的一个法向量n＝(1，0，0)．设平面C1MA与平面ACC1A1的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·nm故平面C1MA与平面ACC1A1夹角的余弦值为23(3)由(2)知，AC＝(0，2，0)，平面C1MA的一个法向量m＝(－2，2，－1)，设点C到平面C1MA的距离为d，则d＝AC·mm＝0，2，0所以，点C到平面C1MA的距离为43法二(几何法)(2)取AC的中点H，连接MH，由AB⊥AC，MH∥AB，可得MH⊥AC．由A1A⊥平面ABC，MH⊂平面ABC，可得A1A⊥MH，可得MH⊥平面A1ACC1．过点H作HD⊥AC1，垂足为D，连接DM，由三垂线定理可得DM⊥AC1，可得∠MDH为平面C1MA与平面ACC1A1的夹角．由MH＝12AB在矩形AHC1A1中，DH＝AH·HC1A所以cos∠MDH＝DHDM＝255(3)设点C到平面C1MA的距离为d．过C1作C1Q⊥AM于点Q．在△C1MA中，AC1＝1+4＝5，MC1＝1+4＝5，AM＝2，则S△C1MA＝12×2×5−22由VC−C113dS△C1MA＝13d·32＝13C1H·S△CMA＝13×解得d＝4318．(本小题满分15分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1(1)求椭圆的方程和离心率e；(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．[解](1)如图，由题意可知a故a=2，c=1，则b2＝a2－所以椭圆的方程为x24＋此椭圆的离心率e＝ca＝1(2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)．由y=kx−2，x24+y23=1，消y，可得(3＋4设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝16k23+4k2，即xP＝8k2−63+4k2，由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)，所以S△A1PQ＝12×4×|yP－yQ|，S△A2FP因为S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2|y①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有12k3+4k2＝2·|－2k|，解得k＝0，②当2|yQ|－2|yp|＝|yp|时，2|yQ|＝3|yp|，即有4|k|＝36k3+4k2，解得故直线A2P的方程为y＝±62(x19．(本小题满分15分)已知数列{an}是等差数列，a2＋a5＝16，a5－a3＝4．(1)求{an}的通项公式和(2)已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k－1，则bk<an<bk＋1．(ⅰ)当k≥2时，求证：2k－1<bk<2k＋1；(ⅱ)求{bn}的通项公式及其前n项和．[解](1)设{an}的公差为d，由a2+a5所以{an}的通项公式为an＝3＋2(n－1)＝2n＋1．a2n−1＝2·2n-1＋1＝2n＋1，a2n－1＝2(2n－1)＋1＝2从a2n−1到a2n－1共有2n－1－2n-1＋1＝2·2n-1－2n-1＝2n-1所以＝2n+1+2n+1−1·2n−1(2)(ⅰ)证明：因为当2k-1≤n≤2k－1时，bk<an<bk＋1，所以当2k≤n＋1≤2k+1－1时，bk＋1<an＋1<bk＋2，可得an<bk＋1<an＋1．因为{an}为递增数列，所以若2k-1≤n≤2k－1，则a2k−1≤an≤a2k－1，得2k＋1≤an≤2同理可得2k+1＋1≤an＋1≤2k+2－1．故可得2k+1－1<bk＋1<2k+1＋1，所以2k－1<bk<2k＋1．综上，当k≥2时，2k－1<bk<2k＋1．(ⅱ)由题意知{bn}是q≠1的正项等比数列，设{bn}的通项公式为bn＝p·qn(p>0，q>0，且q≠1)，由(ⅰ)知，2n－1<bn<2n＋1，即2n－1<p·qn<