2019年 文科数学高考题北京卷

PAGE1本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)，共150分，考试时长120分钟．第一部分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·北京高考)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：选C将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．由图可得A∪B＝{x|x>－1}．故选C.2．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·eq\x\to(z)＝()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．3 D．5解析：选D法一：∵z＝2＋i，∴eq\x\to(z)＝2－i.∴z·eq\x\to(z)＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.法二：z·eq\x\to(z)＝|z|2＝22＋12＝5，故选D.3．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝xeq\f(1,2) B．y＝2－xC．y＝logeq\f(1,2)x D．y＝eq\f(1,x)解析：选Ay＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)，y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝logeq\f(1,2)x，y＝eq\f(1,x)的图象如图所示．由图象知，只有y＝xeq\f(1,2)在(0，＋∞)上单调递增．故选A.4．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B初始①②s＝1s＝2s＝2k＝1k＝2k＝3k＝3满足判断框的条件，∴s＝2.故选B.5．(2019·北京高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq\r(5)，则a＝()A.eq\r(6) B．4C．2 D.eq\f(1,2)解析：选D由双曲线方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).结合a>0，解得a＝eq\f(1,2).故选D.6．(2019·北京高考)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C∵f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.7．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10.1解析：选A设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由条件m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－1.45＋26.7＝25.25.∴lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，∴eq\f(E1,E2)＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.8．(2019·北京高考)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A．4β＋4cosβ B．4β＋4sinβC．2β＋2cosβ D．2β＋2sinβ解析：选Beq\a\vs4\al(法一：)如图①，设圆心为O，连接OA，OB，OP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β，∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB＝eq\f(1,2)×2×2sin∠AOP＋eq\f(1,2)×2×2sin∠BOP＋eq\f(1,2)×2β×22＝2sin∠AOP＋2sin∠BOP＋4β＝2sin∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2(sin2β·cos∠AOP＋cos2β·sin∠AOP)＋4β＝2sin∠AOP－2sin2β·cos∠AOP－2cos2β·sin∠AOP＋4β＝2(1－cos2β)sin∠AOP－2sin2β·cos∠AOP＋4β＝2×2sin2β·sin∠AOP－2×2sinβ·cosβ·cos∠AOP＋4β＝4sinβ(sinβ·sin∠AOP－cosβ·cos∠AOP)＋4β＝4β－4sinβ·cos(β＋∠AOP)．∵β为锐角，∴sinβ>0.∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sinβ.故选B.eq\a\vs4\al(法二：)如图②，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β.∵弓形AmB的面积是定值，∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大．∵△ABP底边AB长固定，∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可．由图可知，当AP＝BP时，满足条件，此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP＝eq\f(1,2)×2β·22＋2×eq\f(1,2)×22·sineq\f(2π－2β,2)＝4β＋4sinβ.这就是阴影区域面积的最大值．故选B.第二部分二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．(2019·北京高考)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4,3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.答案：810．(2019·北京高考)若x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≥－1，,4x－3y＋1≥0，))则y－x的最小值为________，最大值为________．解析：x，y满足的平面区域如图所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.答案：－3111．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．解析：∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝412．(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．解析：如图，由三视图可知，该几何体为正方体ABCD­A1B1C1D1去掉四棱柱B1C1GF­A1D1HE所得，其中正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64.VB1C1GF­A1D1HE＝(4＋2)×eq\f(1,2)×4＝24，所该几何体的体积为64－24＝40.答案：4013．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.解析：②③⇒①.证明如下：∵m∥α，∴根据线面平行的性质定理，知存在n⊂α，使得m∥n.又∵l⊥α，∴l⊥n，∴l⊥m.①③⇒②.证明略．答案：②③⇒①(或①③⇒②)14．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．②设顾客买水果的总价为a元，当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤eq\f(1,8)a恒成立，x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)a))min，又a≥120，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)a))min＝15所以x≤15.综上可知，0≤x＝15，所以x的最大值为15.答案：①130②15三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(2019·北京高考)(本小题满分13分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－eq\f(1,2).(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－eq\f(1,2)，得sinB＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理，得sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(3\r(3),14).在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA＝eq\f(3\r(3),14).16．(2019·北京高考)(本小题满分13分)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当n≥7时，an>0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.17．(2019·北京高考)(本小题满分12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为eq\f(40,100)×1000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．18．(2019·北京高考)(本小题满分14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FG∥AB，且FG＝eq\f(1,2)AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝eq\f(1,2)AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE.19．(2019·北京高考)(本小题满分14分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．解：(1)由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝eq\f(y1－1,x1)x＋1.令y＝0，得点M的横坐标xM＝－eq\f(x1,y1－1).又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,kx1＋t－1))).同理，|ON|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,kx2＋t－1))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(4kt,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2t2－2,1＋2k2).所以|OM|·|ON|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,kx1＋t－1)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,kx2＋t－1)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,k2x1x2＋kt－1x1＋x2＋t－12)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2t2－2,1＋2k2),k2·\f(2t2－2,1＋2k2)＋kt－1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4kt,1＋2k2)))＋t－12)))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,1－t))).又|OM|·|ON|＝2，所以2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,1－t)))＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．20．(2019·北京高考)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝eq\f(1,4)x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．解：(1)由f(x)＝eq\f(1,4)x3－x2＋x得f′(x)＝eq\f(3,4)x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即eq\f(3,4)x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝eq\f(8,3).又f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))＝eq\f(8,27)，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－eq\f(8,27)＝x－eq\f(8,3)，即y＝x与y＝x－eq\f(64,27).(2)证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝eq\f(1,4)x3－x2得g′(x)＝eq\f(3,4)x2－2x.令g′(x)＝0得x＝0或x＝eq\f(8,3).当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：x－2(－2,0)0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))eq\f(8,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，4))4g′(x)＋0－0＋g(x)－60－eq\f(64,27)0所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a<－3时，M(a)＝F(0)≥|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最小时，a＝－3.前沿热点——新高考数学考情分析2024年新高考真题（含考情分析）及高考最新动向实时更新请扫码获取纵观近年来新高考数学试题，试题贯彻落实了高考改革的总体要求，实施“德智体美劳”全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，落实立德树人根本任务，充分发挥考试的引导作用.试题突出数学本质、重视理性思维、坚持素养导向、能力为重的命题原则.通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，体现了对基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求.一、突出主干知识、筑牢能力基础以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷为例，对各试题所考查的主干知识分析如下：题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷单选题1集合的交集运算复数的乘法及几何意义2复数运算、共轭复数由集合间的关系求参数3向量垂直、数量积运算分层随机抽样、计数原理4由函数的单调性求参数由函数的奇偶性求参数5椭圆的离心率问题由直线与椭圆的位置关系求参数6圆的切线问题由函数的单调性求参数7等差数列充要条件的判定半角公式8三角函数中和、差、倍角公式的应用等比数列的概念、前n项和及性质多选题9样本数字特征圆锥的体积、侧面积和截面面积10以实际问题为背景考查对数大小比较直线与抛物线的位置关系、抛物线的概念及性质11抽象函数的函数性质函数的极值及应用12以正方体内嵌入某几何体考查对称性、空间位置关系独立事件的概率、二项分布模型填空题13计数原理向量的数量积、模14四棱台的体积四棱台的体积15三角函数中由零点个数求ω范围直线与圆的位置关系16双曲线几何性质、平面向量三角函数的图象与性质解答题17正弦定理、三角恒等变换正、余弦定理、三角恒等变换18线线平行的证明及由二面角求线段长度等差数列、数列的奇偶项问题19利用导数判断函数的单调性、证明不等式统计图表、概率统计与函数交汇问题20等差数列的概念、性质及前n项和空间线面位置关系、二面角的正弦值21概率与数列的交汇问题直线与双曲线的位置关系、定直线问题22以抛物线为背景，考查不等式及函数的最值以三角函数、对数函数为载体，考查导数的应用从上表可以看出，试题所考查知识范围及思想方法90％以上都源于教材主干知识，由此在一轮复习备考中更应重视必备知识的系统梳理、基本能力的逐点夯实.二、注重试题情境创设、牢记育人宗旨1.关注社会热点2023年新高考Ⅰ卷第10题以当今社会热点“噪声污染问题”为背景命制试题，目的是引导学生关注社会、关注民生，用所学知识解决生活实践情境下的实际问题.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘扬优秀传统文化2022年新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景命制出以等差数列为考查点的试题，此类试题不但能考查学生的阅读理解能力、直观想象能力及知识运用能力，而且还能以优秀传统文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示现代科学技术水平2021年新高考Ⅱ卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境命制立体几何问题，在考查学生的空间想象能力和阅读理解、数学建模等素养的同时，引导学生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.体现数学应用价值2022年新高考Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景命制出以四棱台体积公式为考查点的立体几何试题，体现了数学的应用价值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重视能力考查、使素养评价科学有据高中数学课程标准对培养学生能力的要求是数学“六大核心素养”的集中展示.要检验学生核心素养高低，必须通过解决数学问题来体现.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体素养评价本题为多选题，以正方体内嵌入其他几何体为背景考查学生不同的素养层级，由A、B、C、D四个选项设计的问题不同，对应解决问题所需核心素养也逐渐提升，本题真正体现了“入口容易全分难”的多选题考查特征.四、秉承创新、引导探究性学习新高考试卷中开放性试题的增设，促进了考查的灵活性，思维方式的多样性.同时引导了学生重视探究性学习，逐步培养学生创新思维的良好习惯.1.举例题（2023·新高考Ⅱ卷）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于