高等数学简明教程 第4版 课件 第6章 常微分方程

高等数学简明教程第4版在科学技术和经济管理中，有许多实际问题往往需要通过未知函数的导数(或微分)所满足的等式来求该未知函数，这种等式就是微分方程。本章将介绍微分方程的基本概念，讨论几种简单的微分方程的解法及其应用。第6章常微分方程

引例已知曲线上任意一点切线的斜率等于该点横坐标的二倍，且曲线过点(2，4)，求该曲线的方程。设所求曲线的方程为y=y(x)，根据已知条件可知y'=2x两边积分∫y'dx=∫2xdx+C得y=x2+C其中C为任意常数，再将曲线过点(2，4)的条件代入，得4=22+C，C=0则y=x2即为所求的曲线的方程。引例中的方程y'=2x就是这一章要介绍的微分方程。6.1微分方程的概念定义1

含有未知函数的导数或微分的方程叫作微分方程。未知函数为一元函数的微分方程叫作常微分方程；未知函数为多元函数的微分方程叫作偏微分方程。本章我们只讨论常微分方程。微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫作微分方程的阶。例如y'=2x是一阶微分方程，y″-2y=0是二阶微分方程。

习题6-11.指出下列各微分方程的阶数:(1)(y″)3-x=0；(2)xy'-y=x；(3)xyy‴+y″+1=0；(4)y(5)+y(4)+y‴=0。2.下列各题中的函数是否为所给微分方程的解?(1)y=ex，xy'-ylny=0；(2)y=xe2x，y″-4y'+4y=0；(3)y=x3+x2，y″=6x+2；(4)y=2sinx+cosx，y″+y=0。6.2一阶微分方程本节介绍几种典型的一阶微分方程的求解方法。6.2.1

y'=f(x)型的方程此类题可通过两端积分求得含一个任意常数的通解。例6-3求微分方程y'=sinx+2x-1的通解。解对所给的方程两端积分，得y=∫(sinx+2x-1)dx=-cosx+x2-x+C

6.2.3一阶线性微分方程形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程，称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时方程称为一阶齐次线性微分方程。当Q(x)≠0时，方程y'+P(x)y=Q(x)称为一阶非齐次线性微分方程。

6

6.3二阶微分方程2.y″=f(x，y')型的不显含y的方程此类方程的求解方法为:令y'=p(x)，则y″=p'(x)，这样方程变为关于p和x的一阶微分方程，进而用一阶微分方程的求解方法来求解。

6.3.2

二阶常系数线性微分方程解的性质形如y″+py'+qy=f(x)(1)称为二阶常系数线性微分方程，与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为y″+py'+qy=0(2)其中p，q为实常数。若函数y1和y2之比为常数，则称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，则称y1和y2是线性无关的。

定理3

若函数y1和y2分别是方程y″+py'+qy=f1(x)y″+py'+qy=f2(x)的解，则y=y1+y2是方程y″+py'+qy=f1(x)+f2(x)的解。6.3.3二阶常系数齐次线性微分方程由定理1可知，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，只需求出它的两个线性无关的特解即可。如何找到齐次线性微分方程的两个线性无关的解呢？观察方程y″+py'+qy=0由于p，q是常数，所以方程中的y，y'，y″应具有相同的形式，而y=erx是具有这一特性的函数。故设y=erx是方程的解(r为待定常数)并代入方程得(erx)″+p(erx)'+qerx=0(r2+pr+q)erx=0

2.特征根为两个相等的实数:r=r1=r2此时只能得到微分方程的一个解y1=erx，但通过直接验证可知y2=xerx是齐次方程的另一个解，且y1和y2线性无关，从而微分方程的通解为y=C1erx+C2xerx=(C1+C2x)erx(6-3)3.特征根为两个复数:r1，2=α±iβ(β≠0)此时微分方程得到两个线性无关的解:y1=e(α+iβ)x，y2=e(α-iβ)x，因此微分方程的通解为y=Ae(α+iβ)x+Be(α-iβ)x=eαx(Aeiβx+Be-iβx) =eαx((A+B)cosβx+(A-B)isinβx)令C1=A+B，C2=(A-B)i，于是微分方程实数形式的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)(6-4)根据上述讨论，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为:(1)写出微分方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根据特征根的情况写出所给微分方程的通解。例6-16求微分方程y″-3y'+2y=0的通解。解所给微分方程的特征方程为r2-3r+2=0其根为r1=1，r2=2，故所求通解为y=C1ex+C2e2x

这种类型的方程为y″+py'+qy=P(x)eαx其中P(x)是多项式，α是常数，则方程具有形如y*=xkQ(x)eαx的特解，其中Q(x)是与P(x)同次的待定多项式，而k的值可通过如下方法加以确定:(1)若α与两个特征根都不相等，取k=0；(2)若α与一个特征根相等，取k=1；(3)若α与两个特征根都相等，取k=2。例如:y″-2y'+y=xex其对应的齐次方程的特征方程为r2-2r+1=0特征根为r1=r2=1。由于α=1与r1，r2都相等，故取k=2。又由于P(x)=x是一次多项式，故取Q(x)=ax+b。因此，设原方程的一个特解为y*=xkQ(x)eαx=x2(ax+b)ex

6.4提示与提高

2.一阶线性微分方程“凑”的解法先把一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)变型为e∫P(x)dxy'+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)得(e∫P(x)dxy)'=e∫P(x)dxQ(x)再两边积分、整理，即得方程的通解。其中P(x)的积分∫P(x)dx只取一个原函数。

3.非基本类型的微分方程的求解本章讲解了微分方程的几种基本类型，它们的解法相对固定，求解微分方程时，判断其类型很重要，若出现不属于几种基本类型的情况时，应按以下两种思考方法重新判别:1)把x当作未知函数，把y当作自变量，再判别；2)用适当的变量代换看能不能把方程化为可解方程。

5.型如f'(y)y'+P(x)f(y)=Q(x)的微分方程方程可化为(f(y))'+P(x)f(y)=Q(x)设f(y)=z，则方程化为关于z和x的线性微分方程z'+P(x)z=Q(x)

9.常数变易法本章前面求二阶非齐次线性微分方程的通解时，采用了待定系数法求其特解，而待定系数法有其局限性，常数变易法求解可用于所有的线性微分方程，它比待定系数法应用范围更广。下面给出求二阶常系数非齐次线性微分方程的常数变易法。设方程y″+py'+qy=z(x)对应的齐次方程的通解为y=C1y1+C2y2，把y变易为y=C1(x)y1+C2(x)y2代入方程可得C'1(x)y1+C'2(x)y2=0C'1(x)y'1+C'2(x)y'2=z(x)由上述方程可解出C1(x)，C2(x)，代回y中即可得到方程的通解。

10.微分方程的应用举例应用微分方程解决具体问题的步骤是:(1)分析问题，建立微分方程，并确定初始条件；(2)求出该微分方程的通解；(3)根据初始条件确定所求的特解。

图6-1

于是N=N0e0.347t当t=3时，N=20000，代入得20000=N0e0.347×3=N0×2.632，解得N0=7062所以该国最初人口为7062人。

11.二阶线性微分方程y″+py'+qy=P(x)eαx中，α为虚数时的特解求法若二阶线性微分方程y″+py'+qy=P(x)eαx中的α是虚数，其特解的求法与α是实数的求法一致例6-47求微分方程y″+y=3eix的一特解。解方程对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0特征根为r1，2=±i由于α=i与一个特征根相等，故取k=1。因此，设特解为y*=xkQ(x)eαx=xaeix=axeix

定理4若y(x)=y1(x)+iy2(x)是方程y″+a1(x)y'+a2(x)y=f1(x)+if2(x)的解，则y1(x)和y2(x)分别是方程y″+a1(x)y'+a2(x)y=f1(x)和y″+a1(x)y'+a2(x)y=f2(x)的解。

课外学习61.在线学习网上课堂：（1）十大建筑中的数学美（网页链接见对应配套电子课件）：/s?id=159100376