2020-2022北京重点校高一(下)期末数学汇编：空间直线、平面的平行

第1页/共1页2020-2022北京重点校高一（下）期末数学汇编空间直线、平面的平行一、单选题1．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·人大附中高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（

）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能3．（2021·北京·人大附中高一期末）如图，E是正方体棱的中点，F是棱上的动点，下列命题中：①在平面内总存在与平面BEF平行的直线；②直线和直线EB为异面直线；③四面体EBFC的体积为定值.其中正确命题个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2021·北京·人大附中高一期末）下列条件中，能使的条件是A．平面内有无数条直线平行于平面B．平面与平面同平行于一条直线C．平面内有两条直线平行于平面D．平面内有两条相交直线平行于平面5．（2020·北京师大附中高一期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD16．（2020·北京·101中学高一期末）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（

）A．与不可能平行B．与是异面直线C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值二、填空题7．（2021·北京·人大附中高一期末）棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．设直线与平面交于点，则________.8．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行.①在平面内不存在直线与平行；②在平面内存在无数多条直线与平面平行；③平面与平面的交线与底面不平行；上述命题中正确命题的序号为___________.9．（2020·北京·人大附中高一期末）如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________.三、解答题10．（2022·北京·101中学高一期末）如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，，，，，，G，H分别为FA，FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形.（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？11．（2022·北京师大附中高一期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．12．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点.设平面与平面的交线为.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在棱上是否存在点（异于点），使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.13．（2020·北京·人大附中高一期末）如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.（1）若平面交平面于直线，求证：；（2）若直线平面，①求三棱锥的表面积；②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.14．（2020·北京·101中学高一期末）如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.15．（2020·北京·101中学高一期末）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

参考答案1．D【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，作图如下：在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得，则中边上的高，即，故选：D.2．B【分析】直接利用线面平行的性质分析解答.【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA.故选：B3．C【分析】由已知可得平面与平面相交，只要在平面内做交线的平行线，即可判断①；举反例当与重合时，可判断②；到平面距离为定值，且面积为定值，即可判断③.【详解】F是棱上的动点，所以平面与平面相交，设交线为，在平面做交线的平行线，平面，可得平面，所以①正确；若与重合，此时与相交，所以②不正确；到平面距离为定值为定值，所以四面体EBFC的体积为定值，所以③正确.故选：C.4．D【详解】若是平面内有无数条平行的直线平行于平面无法得到，A不符合；平面与平面同平行于一条直线，则有可能相交，B不符合；若是平面内两条平行直线平行于平面无法得到，C不符合；根据线面平行判定定理可知，D符合，故选D5．D【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．【详解】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于，平面平面，理由是：由，，，分别是棱，，，的中点，得出，，所以平面，平面，又，所以平面平面．故选：．6．A【分析】设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，证明平面平面，即可分析选项ABC的正误；再由，得点到平面的距离为定值，可得三棱锥的体积为定值判断D．【详解】解：设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，如图.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又、是平面内的两条相交直线，∴平面平面，而平面，∴平面，得点的轨迹为一条线段，故C正确；并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．故选：A．7．1【分析】设点为的中点，连接，连接，根据线面平行的判定定理证得平面，再根据线面平行的性质定理证出，由此可得出结论．【详解】解：设点为的中点，连接，连接，∵点为的中点，为棱的中点，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，且，又，，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又，平面，∴平面，又设直线与平面交于点，∴平面平面，∴由线面平行的性质定理可得，∴点为的中点，∴，故答案为：1．8．①②③【解析】利用反证法结合线面平行的性质可判断①的正误；设平面平面，且在平面中有无数条直线与直线平行，即可判断②的正误；利用反证法与线面平行的性质可判断③的正误.【详解】对于命题①，设在平面内存在直线与平行，则平面，平面平面，平面，，与已知条件矛盾，故①正确；对于命题②，设平面平面，则平面，所以，在平面内存在无数条直线与直线平行，这无数条直线与平面平行，故②正确；对于命题③，假设平面与平面的交线与底面平行，平面，平面，平面平面，，同理可得，，与已知条件矛盾，故③正确.故答案为：①②③.【点睛】本题主要考查线面平行的性质和判定的应用，考查空间想象能力与推理论证能力，属于中等题.9．【解析】先取中点得到过的一个平面平行平面，即知.【详解】取中点，连接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故.故答案为：.【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题.10．（1）见解析（2）C，D，F，E四点共面.见解析【解析】（1）根据三角形中位线定理可证明,即可证明四边形是平行四边形.（2）根据平行四边形性质及（1）中结论,可证明与共面,结合即可证明四点共面.【详解】（1）证明：因为分别为的中点,所以,.又,所以,,所以四边形是平行四边形.（2）四点共面.理由如下：由,,是中点知,,所以四边形为平行四边形,所以.由（1）知,所以,所以与共面.又,所以四点共面.【点睛】本题考查了由中位线定理判定平行四边形,由线线平行证明四点共面,属于基础题.11．（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）连接，易知为的中点，进而得，再结合线面平行的判定定理即可证明；（2）由题知平面，进而根据线面平行的性质定理即可证明；（3））假设在棱上存在点（异于点），使得平面，进而在平面中，过点作的平行线，交于，故平面平面，进而得，另一方面，在平行四边形中，与不平行，矛盾，故不存在.【详解】解：（1）证明：连接，因为底面为平行四边形，为的中点，所以为的中点，因为为的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面（2）因为底面为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面与平面的交线为，平面，所以（3）假设在棱上存在点（异于点），使得平面，在平面中，过点作的平行线，交于，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以另一方面，在平行四边形中，与不平行，矛盾，所以在棱上不存在点（异于点），使得平面.13．（1）答案见详解；（2）①；②作图步骤见解析，三棱锥的体积为．【分析】（1）根据面面平行的性质即可得到，再结合线线平行的传递性即可证明结论；（2）①先根据直线平面得到，进而得到是的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥的表面积；②根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面与正方体各个面的交线即可；根据四点共面，且三角形与三角形面积相等，那么三棱锥的体积等于三棱锥的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．【详解】（1）在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以，因为点、分别是棱、的中点，所以，所以．（2）①因为直线平面，平面，所以，又因为△，所以，所以，因为，，，所以三棱锥的表面积为．②作图步骤如下：连接，过点作于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点交的延长线于点，再连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，再连接，，，则图中，，，，，即为平面与正方体各个面的交线．设，由题知，所以，所以，解得，因为，，，所以，如上图，设为线段的中点，可证点在平面内，且三角形与三角形面积相等，所以，三棱锥的体积三棱锥的体积三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为．【点睛】本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面.（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面.【详解】（1）在中，D，E分别为棱，中点.所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，，因为E，F分别为，中点，所以，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面，所以平面.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.15．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】试题分析：（1）取线段的中点，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形为平行四边形，即得．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得．再根据面面垂直性质定理得平面，即得，根据勾股定理得，所以由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段上存在点，使得平面，则，与条件矛盾