湖北省武汉市青山区2024年中考数学一模试卷（含答案）

湖北省武汉市青山区2024年中考数学一模试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑1．实数2024的倒数是（）A．−2024 B．2024 C．−12024 2．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（）A．确定性事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件4．下列运算正确的是（）A．(2a+b)(2a−bC．(−2a2)5．如图，是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A． B． C． D．6．关于反比例函数y=kA．图象位于第一、三象限；B．图象与坐标轴有交点；C．若图象经过点(1,−2D．图象上有两点A(x1,y17．从写有数字1,A．12 B．13 C．238．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m，小明，小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（）A．2050 B．2250 C．2890 D．30509．如图，⊙O的弦AB,BC在圆心O的两侧，⊙O的直径为4，弦BC=23,D为AC上一动点D,∠ADB=45°，若AE⊥BD于点E，当点DA．2π B．3π C．526π10．如图，二次函数y=ax2和反比例函数y=kx的图象交于点A(A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．据统计，2023年湖北省人民政府发行惠购湖北岁末消费券，带动消费71.6亿元，“71.6亿”用科学记数法表示为．12．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=48°，则∠1的度数为°．13．已知，非零实数a,b满足：a=−3b−2ab，则(14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α,tanα=3，无人机沿水平线AF方向继续飞行80m至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M,C,D在同一条直线上，若15．如图，等边△ABC边长为6,E,F分别是边BC,CA上的一个动点，且BE=CF，连接AE,16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b①abc>0；②若a>0,M(x1,y1③若方程|ax④当c=−7时，若5⩽x⩽6，对应y的整数值有4个，则35其中正确的结论是．（填写序号）三、解答题（共8小题，共72分）17．求不等式组2x+7⩽3x+10,18．如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．19．为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表．成绩频数分布表组别分数/分频数组内学生的平均成绩/分A60⩽x<70a65B70⩽x<801075C80⩽x<901485D90⩽x⩽1001895成绩扇形统计图请根据图表信息，解答下列问题：（1）一共抽取了人，表中a=，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”；（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？20．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC于点E，交⊙O于点F,（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6,21．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图．图1图2（1）如图1，在边AC上画点D，使BD平分∠ABC，再在线段BD上画点E，使BE=3DE；（2）如图2，P是边BC上一点，先将BA绕点B逆时针旋转，得到线段BF，旋转角等于∠ABC，画出线段BF，再画点Q，使P,Q两点关于直线22．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C,D为水柱的落水点，CD=8m,OA=2m．抛物线最高点距图1图2（1）求图1中右边抛物线的解析式；（2）计划在图1中的线段OC上的点B处竖立一座雕像BE,BE=21（3）圆形水池的直径为12m，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线y=2512x23．【问题提出】在等腰△ABC中，AB=AC,BC=4,D为BC中点，以D为顶点作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的两边分别交AB,AC于点E,图1图2图3（1）【问题探究】先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段EF的距离（用含sina（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；（3）【问题拓展】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,D为BC中点，以D为顶点作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的两边分别交直线AB,AC于点E,F，连接EF．若24．已知，抛物线y=ax2+bx−32与x轴交于点A图1图2（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线顶点为D，点P在抛物线上，若∠PDC=∠OCB，求点P的坐标；（3）如图2，直线EF过点(3,−1)，交抛物线于E,F两点（点E在点F左侧，且点E不与点A重合），直线AE,

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：实数2024的倒数是12024，

故答案为：D.

2．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、不是中心对称图形，故B不符合题意；

C、不是中心对称图形，故C不符合题意；

D、不是中心对称图形，故D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断，即可得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件，

故答案为：B.

【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，即可得出答案．4．【答案】A【解析】【解答】解：A、（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，故A符合题意；

B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故B不符合题意；

C、-2a23=-8a6，故C不符合题意；

D、a2和a5．【答案】C【解析】【解答】解：观察图形可知主视图为：

.

故答案为：C.

【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：A、k＜0，图象位于第二、四象限，故A不符合题意；

B、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，故B不符合题意；

C、若图象经过点（1，-2），则必经过点（2，-1），故C符合题意；

D、图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，且在同一象限，则y1＜y2，故D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项进行判断，即可得出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：从写有数字1，2，3的3张卡片中任意抽取两张，得出的两位数有12，13，21，23，31，32，其中是3的倍数的有12，21，

∴摆出的两位数是3的倍数的概率为26=13.8．【答案】A【解析】【解答】解：设小明从1600m处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450m处到终点的速度为n米/秒，

根据题意得：1600+100m=1450+100n1600+300m=1450+300n，

解得m=1.5n=3，

∴b=1600+300×1.5=2050.

故答案为：A.9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，取AB的中点M，

∵∠ADB=45°，⊙O的直径为4，

∴∠AOB=90°，OA=OB=2，

∴AB=22，

∴OM=MA=MB=2，

∴点O经过以M为圆心，MB为半径的圆上，

过点A作AE0⊥BC于点E0，

∴当点D从点C运动到点A时，点E的起点为E0，终点为A，即点E的轨迹为AE0⏜，

过O作ON⊥BC于点N，

∴BN=12BC=3，

∴cos∠OBN=BNON=32，

∴∠OBN=30°，

∴∠MBN=75°，

∴∠ME0B=75°，

∴∠AME0=150°，

∴AE0⏜=150π×210．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2和反比例函数y=kx的图象交于点A(1,3)，

∴a=3，k=3，

∴方程ax2+23x=kx+1为3x2+23x=3x+1，

∴3x+12-3=3x+1，

∴方程的解为函数y=3x+12-3于函数y=3x+111．【答案】7【解析】【解答】解：71.6亿=7160000000=7.16×109

故答案为：7.16×109.

【分析】科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n为整数，据此即可得出答案.12．【答案】42°【解析】【解答】解：∵∠2=48°，

∴∠1=90°-48°=42°.

故答案为：42°.

【分析】根据两直线平行同位角相等，再利用余角的定义得出∠1=90°-∠2=42°，即可得出答案.13．【答案】-2【解析】【解答】解：∵a=-3b-2ab，

∴a+3b=-2ab，

∴原式=2a+ba-ba+b-a-ba-ba+b÷aba-ba+b，

=a+3ba-ba+b·a-b14．【答案】(【解析】【解答】解：过点B作BE⊥MC于点E，

∴四边形ABEM是矩形，

∴ME=AB=80m，AM=BE，

∴ME=MC-ME=20m，

∵tanα=tan∠MCA=AMMC=3，

∴AM=300m=BE，

∵∠BDE=30°，

∴BD=2BE=600m，

∴DE=3003m，

∴CD=DE-CE=（3003-20）m，

故答案为：（3003-20）.

【分析】过点B作BE⊥MC于点E，得到四边形ABEM是矩形，得出ME=AB=80m，AM=BE，ME=MC-ME=20m，再根据tan15．【答案】2【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=∠CAB=60°，

在△ABE和△CAF中，

AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF

∴△ABE≌△CAF，

∴∠BAE=∠CBF．

∵∠ABP+∠CBF=60°，

∴∠ABP+∠BAE=60°，

∴∠APB=180°-（∠ABP+∠BAE）=120°，

过点C作CH⊥AB于H，过点B作BO⊥BC交CH的延长线于点O，连接OA，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BOC=∠ACO=∠BCA=30°，

∴OA=OB，∠BOC=∠AOC=60°，

∴∠BOA=120°，

∵BC=6，

∴OB=23，OC=43，

∴OA=OB=23，

以O为圆心，OB为半径作圆，在优弧上取点M，连接BM，MA，OP，

∴∠M=12∠AOB=60°，

∴∠M+∠APB=180°，

∴点P始终在劣弧上运动，

∴OP=OB=23，

∵OP+CP≥OC，

∴CP+23≥43，

∴CP≥23，

∴CP的最小值为23，

故答案为：23.

【分析】利用全等三角形的判断与性质以及三角形内角和定理得出∠APB=120°，过点C作CH⊥AB于H，过点B作BO⊥BC交CH的延长线于点O，连接OA，求出OA=OB=216．【答案】②③【解析】【解答】解：①∵对称轴为直线x=3，

∴-b2a=3，

∴b=-6a，

∴a，b异号，

∴ab＜0，

∵无法判断c的符号，

∴abc＞0是错误，故①错误；

②∵y1=ax12-6ax1+c，y2=ax22-6ax2+c，

∴y1-y2=ax1-x2x1+x2-6，

∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞6，

∴x1-x2＜0，x1+x2-6＞0，

∴y1-y2＜0，

∴y1＜y2，故②正确；

③∵ax2+bx+c=a，

∴ax2+bx+c=±a，

∴当ax2+bx+c=a时，x1+x2=-ba=6，

当ax2+bx+c=-a时，x1+x2=-ba=6，

∴这四个根的和为12，故③正确；

④当a＞0时，若5≤x≤6，y随x的增大而增大，

∴当x=5时，y=25a-30a-7=-5a-7，

当x=6时，y=36a-36a-7=-7，

∴-5a-7≤y≤-7，

∵y的整数值有4个，

∴-11＜-5a-7≤-10，

∴35≤a＜45，

当a＜0时，若5≤x≤6，y随x的增大而减小，

∴当x=5时，y=25a-30a-7=-5a-7，

当x=6时，y=36a-36a-7=-7，

∴-7≤y≤-5a-7，

∵y的整数值有4个，

∴-4＜-5a-7≤-3，

∴-45≤a＜-35，

∴35≤a＜45或-45≤a＜-35，故17．【答案】解：解不等式2x+7≤3x+10，得x≥−3，解不等式2x−13<−1，得故不等式组的解集为−3≤x<−1．所以不等式组的整数解为：−3【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共解，从而得出不等式组的解集，再求出其中的整数解，即可得出答案.18．【答案】（1）证明：∵AB=AC,∴∠BAD=∠DAC．∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE，∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）解：答案不唯一，如：当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．证明：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．故当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出∠DAE=90°，再根据垂直的定义得出∠ADC=∠CEA=90°，即可证出四边形ADCE为矩形；

（2）当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形，根据等腰三角形的性质与判定定理得出DA=AD，从而证出四边形ADCE为正方形.19．【答案】（1）50；8；C（2）解：抽取的这些学生的平均成绩为：8×65+10×75+14×85+18×9550答：所抽取的这些学生的平均成绩是83.4分；（3）解：该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数约为：1400×18答：该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人．【解析】【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%则A组的人数a=50×16%本次调查一共随机抽取50名学生，第25、26位两个数都在C组，中位数落在C组，故答案为：50；8；C；【分析】（1）根据D组频数为18，占比为36%，得出总人数，再根据A组占比为16%，得出a的值，再根据中位数的定义得出中位数落在C组，即可得出答案；

（2）利用加权平均数的公式列式进行计算，即可得出答案；

（3）用竞赛成绩达到90分及以上的学生的占比乘以全年级总人数，列式进行计算，即可得出答案.20．【答案】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）解：在直角三角形AED中：∵∠D=30°∴AD=2AE=12∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC∴DB=OB=OC=∴CD=4∴又∵∠DOC=60°∴∴【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定定理得出OC∥AE，从而得出∠OCD=∠E，再根据垂直的定义得出∠E=90°，从而得出OC⊥CD，即可证出DE是是⊙O的切线；

（2）先求出△OCD和扇形OBC的面积，利用S阴影21．【答案】（1）如图，

（2）如图：

【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出AB=5，画出以AB为腰的等腰三角形ABH，连接点B与底边的中点交AC于点D，过点J作JG∥AC交BD于点E，即可得出答案；（2）利用旋转的性质画出线段BF，画出以BF为腰的等腰三角形BFM，连接FP交AB于点N，连接MN兵延长交BF于点Q，即可得出答案.22．【答案】（1）解：设右侧抛物线的解析式为：y=a∵CD=8,∵OA=2抛物线过A、D两点且最高点距y轴1.5米∴∴y=−（2）1（3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下：把y=254∴25当喷出的抛物线最大高度为254设抛物线的解析式为：y又上述抛物线过点A∴当y1=0∴x=3±∵3+∴水柱会落在圆形水池之外【解析】【解答】（2）∵左右两侧的图象关于y轴对称，

∴y轴左侧的抛物线的解析式为y=-12x2-32x+2，

∵BE=218，

∴当y=218时，-12x2-32x+2=218，

解得x1=-52，x2=-12，

∵-12＜0，

∴当-52＜x＜-12时，y＞218，

即当-52＜x＜-1223．【答案】（1）2（2）解：作DM⊥EF于M,DN⊥CF于N，∴DN=2∵∠EDF=∠ABC=∠ACB=α∴α+∠BED=∠EDC=α+∠CDF∴∠BED=∠CDF∴△EBD∽△DCF

∴∵BD=CD=2∴∴△EDF∽△DCF∴∠EFD=∠CFD∴DM=DN=2s