《中级微观经济学教程》课件第4章

第四章生产理论第一节生产函数的一般特性

第二节投入的变动

第三节规模收益第四节生产函数的典型类型

复习思考题与计算题

在市场经济体系中，与消费者这一角色相对应的是生产者(企业)，与市场需求相对应的行为是市场供给或企业生产。生产就是企业将投入转为产出的过程。从实物视角考察投入与产出，涉及的是投入量与产出量之间的物质技术关系。从货币形态分析投入与产出，涉及的是投入的成本与市场收益之间的经济关系。本章首先论述投入与产出之间物质技术关系方面的生产函数理论，下一章再结合成本理论进行进一步的分析。第一节生产函数的一般特性

生产函数刻画了企业的投入组合及其投入量对于产出量或产出组合的决定作用、决定过程。虽然现实社会中，这种决定表现得非常复杂，但并不妨碍理论分析上可从中抽象出一般特性。

一、生产可能集与生产函数

生产可能集(productionpossibilitiesset)是企业面临的所有技术上可行的生产方法构成的投入量与产出量之间的各种可能组合的集合。企业往往可以投入n种要素，以生产出m种产品。但如果假设只有一种投入要素x，并且只有一种产出品q，则生产可能集就会如图4-1所描绘的那样。图中的阴影部分即为生产可能集，也简称生产集。在生产集中，对于任一给定的投入xn，理论上总有不同数量水平的q与之对应。图4-1生产可能集的典型形式生产集的边界线上的任一点表示的是相应的投入量在技术上能够提供的最大产出量。投入与最大产出量之间的这种函数关系被定义为生产函数。因此，生产集边界线所表示的函数关系就是生产函数。假设投入x以生产y是一个可行的生产方案，则该生产方案可以简单地以产出向量z=(y，－x)表示。这里特别要注意要素投入被表示为负的产出，意味着要素的消耗。每个可行的生产方案或生产方法用z表示，所有可行的生产方法构成的生产集用Z表示，则有z∈Z。我们如果假定企业的生产总是有效率的，于是，在特定投入量x时总能得到可能的产量，将这个最大产量记为f(x)。这样，则可定义生产函数：生产函数还可区分为短期生产函数和长期生产函数。如果在我们考察的时期内，企业可以改变它所有的要素投入规模，前面定义的生产函数中的x或其所代表的一组投入xi都是可以变动的，那么它就是一个长期生产函数。另一方面，假设在某一时期内企业的一部分生产要素是无法调整、固定不变的，将要素向量记为(xv，)，其中xv是可变要素，是固定要素，则这期间的短期生产函数可以记为从生产可能集和生产函数中还可引申出等产量集和等产量线。如果说在生产可能集中，总有不同数量水平的产出与任一给定的投入相对应的话，则也存在对于任一给定的产量水平q0，总有不同数量水平的投入x与之对应。换言之，在不同的生产方法和生产环境下，不同数量水平的投入提供的产出量是既定的。所有那些产出至少为q0的投入组合x所组成的集合：称为产出q0的必要投入集(inputrequirementset)。所有产出正好是q0的投入组合x所组成的集合：称为产出q0的等产量集。在投入要素为两种(x1，x2)的情形下，图4-2中的阴影部分便属于必要投入集，图中的必要投入集的边界线就是等产量线。等产量线上的任一点表示为了提供既定的产量，在某一投入量固定的前提下，另一投入要素的最低投入量，也就是，等产量线表示的是一定的技术条件下，为了提供某既定产量的两种投入的最经济的结合方式的轨迹，线上的所有点所代表的投入组合构成了等产量集。一个常用的处理方法是将企业众多的投入要素归并为两大类(x1和x2)，如劳动投入和资本投入，于是可得到两要素投入的生产函数的简单形式：

q=f(x1，x2)

(4-1)其中：q表示产量；x1、x2分别表示两种不同的可变要素的投入量。一般在理论上假定式(4-1)中的常见生产函数具有如下特点：(1)连续的一阶和二阶偏导数。这一假定特点表示生产函数曲线是光滑的，生产函数具有良好的性质。

(2)要素投入和产出均为非负，即x1≥0，x2≥0，q≥0。这一假定特点的现实意义很明确，不可能出现负劳动或负资本的投入，也不会出现负数的产品，充其量不生产任何产量而已。(3)任何一种要素投入量若为零，则产量为零，即：

q=f(x1，0)=f(0，x2)=f(0，0)=0

一般地，在实际生产过程中，技术上要求两种投入相配合以生产某种产品的条件下，完全没有其中某一种要素的投入，或两种要素皆不投入，是不能生产的，当然也谈不上有产量了。图4-2必要投入集和等产量线

二、生产技术的性质

理论分析中，还有必要对企业的生产技术作一定的假定。当然，这些假定原则上是建立在对现实的观察之上的，具有现实合理性基础。单调性和凸性是两个最常见的假设。

1.单调性

针对式(4-1)，这时存在：。或者换一种表述：如果x1a≤x1b，则存在f(x1a，x2)≤f(x1b，x2)。此条件下可称企业的生产技术为单调性。假如刚刚述及的式子改为严格不等式，则称为严格单调性。单调性是指，如果在至少一种生产要素上增加了投入，那么，产出量至少等于原先的产出量，即一般来说，投入越多，产出也越多。当然严格说来单调性隐含有自由处置(freedisposal)的条件，即假设企业可以无成本地处置多余的投入要素。譬如，如果投入要素组合(3，3)可生产1单位产品，投入要素组合(4，3)是否能生产至少1单位产品呢？这时只要自由处置条件存在，企业就能毫无代价地闲置或丢弃那实际上多余的1单位要素，从而能生产至少1单位产品。如果处置多余要素还需要额外的成本支出，动用或占有其他本可用于产品生产的要素，则上述的投入要素组合(4，3)就有可能无法生产出1单位产品来。单调性是对生产技术性质的刻画，显然这里排除了生产组织者非理性地增加某一种投入从而带来边际产量负增长的情况。

2.凸性

先来看一个简单的例子。某企业可用A方法或B方法生产1单位产品，A方法使用的要素组合为(1，2)，B方法使用的要素组合为(2，1)。如果技术上允许的话，将生产1单位产品的A方法放大100倍，即使用要素组合(100，200)生产出100单位产品，这可表示为(100，200)∈V(100)；或者将生产1单位产品的B方法放大100倍，即使用要素组合(200，100)也能生产出100单位产品，简记为(200，100)∈V(100)。是否还有其他途径生产100单位产品呢？答案是：还有。譬如，分别用A方法和B方法各生产50单位的产品，有(150，150)∈V(100)；或用A方法生产75单位产品，用B方法生产25单位产品，有(125175)∈V(100)，等等。对于如用A方法生产75单位产品，B方法生产25单位产品，可表示为

0.75(100，200)+0.25(200，100)=(125，175)∈V(100)

更一般地有：

t(100，200)+(1－t)(200，100)=［100t+200(1－t)，200t+100(1－t)］∈V(100)

其中：0≤t≤1。必要投入集的这种性质的更精确的数学定义为：若x1∈V(q)，x2∈V(q)，且0≤t≤1，存在tx1+(1－t)x2∈V(q)，则V(q)为凸集。凸技术的等产量线(两要素情形)是凸向原点的，这从上述的生产100单位产品的两种要素此消彼长的数量关系中可以看出来。从理论上说，凸性也意味着如果有两种方法生产一定数量的某产品，那么两种方法使用的要素组合的加权平均(如果这样在技术上可行的话)至少能生产出同样多的产品。如图4-3所示，假如a1单位的X1与a2单位的X2可生产1单位产品，还可用b1单位的X1与b2单位的X2生产这1单位产品，那么，在连接(a1，a2)与(b1，b2)的线段上的任何一点(如c点)代表的要素投入组合都可以至少生产1单位产品。凸生产集意味着凸必要投入集，凸必要投入集等价于拟凹生产函数。如果企业的生产技术为凸性，其生产函数必然是拟凹函数或称之为拟凹生产函数。然而，在要素的投入规模改变，从而原有的投入产出关系改变时，凸性假设可能不再合理，不再成立。图4-3生产技术的凸性第二节投入的变动

生产者(企业)基于一定的产出量或利润等目标，常常会对资本、劳动等要素的投入进行变动、调整。这种变动不仅涉及到单个要素的投入，还涉及到多种要素组合结构的变动。

一、产出曲线

在q=f(，L)=f(L)的短期生产函数假定条件下，基于可变要素投入的变动，总产出(TP)曲线、平均产出(AP)曲线和边际产出(MP)曲线及其相互关系如图4-4所示。图4-4产出曲线对于平均产出和边际产出的关系，可以作如下数学论证因为，且AP是L的函数，因而：由于L＞0，所以，

(1)若，则＞0，即当边际产出大于平均产出时，平均产出处于递增阶段；

(2)若，则＜0，即当边际产出小于平均产出时，平均产出处于递减阶段；

(3)若，则=0，即当边际产出等于平均产出时，平均产出处于最高点。由平均产出最大的一阶条件得：也就是即表现在平面几何图形上，平均产出曲线最高时，边际产出曲线与它相交(数值相等)。二、等产量线在长期生产函数条件下，如果只考虑两种要素投入，这两种要素的投入量都是可变的，并且假设它们之间是可以相互替代的，则同一产出量往往可以由两种要素的不同组合来实现。

1.连续性生产函数等产量线连续性生产函数等产量线表示两种要素的投入比例可以任意变动，产量是一个连续函数，这是等产量线的基本形态，如图4-2所示。两维空间的等产量线图实际上可看做为三维空间中等产量线图的技术性简化。等产量线的三维空间图如图4-5所示，L代表劳动投入，K代表资本投入，q代表产量，产量表现为三维空间中的一个曲面。图4-5等产量线的三维空间图生产曲面上的任何一点，代表与高度对应的产量水平，它至两轴的垂直距离表示所需要的相应投入量。起初，随着L与K的投入量的增加，产量曲面一般为上升的凸面，因为这时往往对应着规模收益递增。到后来，随着要素投入量的增加，产量曲面为上升的凹面，因为这时往往对应着规模收益递减。当两要素的组合由E点代表时，产量达到最高。再继续增加投入，产量曲面下降。此时的产量曲面对应了不正常的生产阶段。L-K平面两维空间中的等产量线可看做为三维空间中的产量曲面上相应等产量线在L-K平面上的投影。在平面几何图上，等产量线上任一点的切线的斜率表示两种要素替代的比率，称为边际技术替代率(MRTS)。设想这样两种要素为L、K，生产函数便为q=f(L，K)。因为产量为常数，dq便为零，所以有：对该生产函数式取全微分，有由于在L与K各自不同的投入数量时，MPL与MPK均有不同的值，所以等产量线上不同点的MRTSL，K也是不同的，至少在生产经济区或生产合理区内的等产量线上情形如此。一般地，MPL＞0和MPK＞0，因而＜0，也就是，在劳动与资本的边际产量均为正的条件下，增加一种投入的同时必须减少另一种投入，才能维持总产量不变。这种关系由图4-6中两条脊线以内的等产量线表示。在生产经济区以外的等产量线斜率为正，这说明必定存在MPL＜0和MPK＞0，或MPL＞0和MPK＜0，只有如此，才有＞0。如就q1的等产量线来说，L的投入超过L1后，正是由于L的边际产出为负值即MPL为负，为了维持总产出q1不变，才需要增加K的投入。或者，MPL为正时增加L的投入和资本的投入，总产出q1不变，这时MPL必为负。图4-6生产经济区图图4-6中的C1、C2、C3点斜率为零，即L对K的边际技术替代率为零。过这些点的切线平行于横轴，=0，说明为维持产出不变，增加微小的L的投入但无需变动任何K的投入。而且由可知，C1、C2、C3点的劳动的边际产出(MPL)为零。图4-6中的D1、D2、D3点斜率为无穷大，过这些点的切线平行于纵轴。=∞说明MPK趋于0，这时可反过来说，K对L的边际技术替代率为零，为维持产出不变，增加微小的K的投入但无需变动任何L的投入，因为这时的MPK为零。D1、D2、D3点的资本的边际产出(MPK)为零。由上述分析可知，两条脊线分别是两种要素的边际产量为零的轨迹。除了上述形状的等产量线外，还有一些比较特殊的等产量线。

2.固定比例生产函数的等产量线在这种情况下，等产量线表现为直角型折线，如图4-7所示。对应的生产函数为q=f(L，K)=min(d1L，d2K)(d1＞0，d2＞0)。为从原点出发的连接不同水平的等产量线的拐角的射线的斜率，它表示两种投入要素的固定比率。这种情况下的要素表现出完全不能相互替代的特征，相对于固定比率和既定产量，任何一种要素少一单位投入不行，多一单位投入也没用。图4-7固定比例生产函数的等产量线

3.完全替代情况下的等产量线如果生产函数为q=f(L，K)=aL+bK(a＞0，b＞0)，则L对K的边际技术替代率MRTSL，K=为一常数，说明为维持同一产量，增加一个单位的L所能替代的K的投入量均为。这两种要素互为完全替代品，对应的等产量线为一条向右下方倾斜的直线，如图4-8所示。对应的生产函数也称为线性生产函数。设想高速公路上的收费，既可以采用自动投币的方式，也可以采用完全人工的收费方式，还可以两者兼用，但一天的收费额都是相同的。图4-8完全替代情况下的等产量线

4.有限可变比例情况下的等产量线

这种情况下的等产量线是折线型的，如图4-9所示。当企业可采用多种固定比例的要素组合以产出同等产量时，将形成折线型等产量线。图中的A、B、C、D、E分别表示劳动与资本投入的五种固定比例，产量都是相同的。ABCDE便构成折线型等产量线。由原点出发的五条射线的斜率，分别代表两种要素投入的五种固定比例。如果这些有限可变的比例无限增多，其极限状态便是可以任意变动投入比例的连续生产函数的光滑的等产量线。图4-9有限可变比例情况下的等产量线现将折线型等产量线简单化，并在此基础上作进一步的深入分析。如图4-10所示，假定某企业有两个车间或两种生产方法都可以生产某种产品，T1车间或其所代表的生产方法占用的固定资本比重较高，或机械化水平较高，T2车间则相反。每个车间内部投入要素的比例或每种生产方法隐含的要素投入比例是固定的。如果企业用T1方法生产，需用OV的劳动和OW的资本生产产量q；如果用T2方法生产，需用OU的劳动和OY的资本生产产量q。假如企业拥有的劳动资源少于OU，拥有的资本资源也少于OW，企业可用怎样的方式去生产产量q呢？在这里，企业可以为每个车间分配不同的生产任务来调整整个企业投入要素之间的比例。在图中，可任取等产量线上的一点(A点)，A点显示的劳动投入量为OS，资本投入量为OR，这是结合两种生产方法的结果。图4-10要素总量约束下的产量分配如果需要找出每个车间或每种生产方法上的投入量，可以从A点作AP线使之平行于OT1，作AM线使之平行于OT2，得到M、P点。其坐标分别为(OG，ON)和(OF，OH)。即用资本ON和劳动OG投入生产方法T1，用资本OH和劳动OF投入生产方法T2，就可得到总产量q。可以证明：OR=ON+OH，OS=OG+OF。因为AM//OP，AP//OM，则OMAP为平行四边形，那么

AP=OM作PE并使之平行于横轴，因为HE//OS，所以∠1=∠2又因为OM//PA，所以∠3=∠4即有∠1+∠3=∠2+∠4也就是∠MOG=∠APE由于∠AEP=∠MGO=90°，便有∠EAP=∠GMO于是△OMG≌△APE有

OG=PE=FS所以

OS=OF+FS=OF+OG同理可证：

OR=ON+OH

此时，生产方法T1(即A车间)提供的产量为，生产方法T2(即B车间)提供的产量为。证明如下：生产方法T1提供的产量为(OB为产量q，OM为现有产量)。由于△APC相似于△BOC，所以，即，也就是生产方法T1提供的产量为类似地，可求得生产方法T2提供的产量为则总产量为

三、投入组合均衡的条件

假定长期中的所有要素投入都是可变的，且投入要素为劳动与资本两种。既定成本下的产量最大化表现为既定的等成本线与一条位置尽可能高的等产量线相切，切点代表的要素组合为最优投入组合。既定产量下的成本最小表现为既定的等产量线与一条位置尽可能低的等成本线相切。

1.既定成本下产量最大

由既定成本下产量最大可知：

maxq=f(L，K)

s.t.

PL·L+PK·K=C0

作拉格朗日函数：

Z=f(L，K)+λ1(C0－PL·L－PK·K)Z的极大值问题也就是q的极大值问题，Z的极大值的必要条件：(4-2)(4-3)(4-4)由式(4-2)和式(4-3)可得出：也就是，要素的边际产量之比等于其价格之比是要素投入最优组合的条件。从式(4-2)和式(4-3)还可得到：(4-5)

这说明，要素投入组合最优时，每种要素的最后1单位货币投入所带来的边际产量都应是相等的、相同的，并等于拉格朗日乘数λ1。λ1等于产量对成本的导数，因而其经济意义可表述为最后投入1个单位成本对于产出量的贡献。证明如下：因为

dC=PL·dL+PK·dK由式(4-5)可得：和于是即所以

2.既定产量下成本最小由既定产量下成本最小可知：

minC=PL·L+PK·K

s.t.q0=f(L，K)作拉格朗日乘数：

Z=PL·L+PK·K+λ2[q0－f(L，k)]

Z取极值的必要条件：(4-6)(4-7)(4-8)由式(4-6)和式(4-7)可得出即有(4-9)经计算可得也就是说，λ2在这里体现为边际成本。四、生产弹性企业根据自身需要和约束条件决定投入要素的变动时，技术上还有一个生产弹性问题。生产弹性通常包括产出弹性、生产力弹性和替代弹性。

1.产出弹性

产出弹性(elasticityofoutput)是指在技术水平与投入要素价格不变的条件下，若其他投入固定不变，某一种投入的相对变动所引起的产出量的相对变动程度。设q=f(L，K)，EL和EK分别为劳动的产出弹性与资本的产出弹性，则：(4-10)(4-11)一般地，边际产量和平均产量均为要素投入的函数，因此产出弹性也为要素投入的函数。当某种要素的边际产量大于、等于或小于它的平均产量时，该投入要素的产出弹性就大于、等于或小于1。就前述的图4-4(a)来说，劳动投入在L2以前，劳动的产出弹性大；劳动投入在L2单位时，产出弹性刚好等于1；劳动投入超过L2后，劳动的产出弹性就小。如果某种投入要素的产出弹性等于一个常数，则称其产出弹性为不变弹性。产出弹性的表达式还可以用对数微商来表示：

2.生产力弹性

生产力弹性(elasticityofproductivity)指的是在技术水平与投入要素价格不变的条件下，所有投入要素按同一比例变动时所引起的产出量的相对变动程度。由于该弹性针对生产函数中所有要素的同一比例变动而言，因而又被称为生产函数弹性。设Ee为生产力弹性，要素向量为X=(L，K)，则：假设存在生产函数q=f(L，K)，则等式两边同除以q因为L、K都按同一比例变动，因而有于是所以

Ee=EL+EK

类似地还可证明，如果投入要素有更多种，则存在Ee=EL+EK+…+E。简言之，生产力弹性等于各投入要素的产出弹性之和。在不同的生产条件和市场环境中，资本的产出弹性是有区别的，劳动的产出弹性也是有区别的。很容易理解，高素质劳动力的产出弹性大于低素质劳动力的产出弹性；管理严格的企业的生产力弹性也较大。

3.替代弹性

当各种要素的数量、质量和生产技术发生变动时，就会引起各自边际产量的变动，导致边际技术替代率的变动。而边际技术替代率的变动显然又会引起投入比例的变动。替代弹性(elasticityofsubstitution)就是指在产出量不变前提下，边际技术替代率的相对变动所引起的企业投入比例相对变动的程度。设Eσ为替代弹性，则：也即

因为假设K/L与MRTSL，K沿同一条等产量线按相同方向变动，因而Eσ值为正。边际技术替代率是等产量线的斜率，替代弹性则是等产量线的曲率，说明等产量线斜率的比率变化时，要素比率的变化率如何变化。设想同一条等产量线上的点A运行到点B，在这一运行中，MRTSL，K与K/L的比率都将发生变化，Eσ便刻画了这种变化的相对比率，因此Eσ是关于等产量线曲率的度量。当等产量线斜率的微小变化引起要素比率的较大变化时，说明等产量线是相当平坦的，也说明替代弹性是大的，反之亦然。如果两种要素可完全相互替代，则替代弹性为无穷大。如前述的生产函数q=aL+bK(a＞0，b＞0)，因为MRTSL，K=为一常数，因而dMRTSL，K=0，也即Eσ=∞。如果两种要素完全不能相互替代，即生产函数为固定比例生产函数，则替代性弹为零。如前述的生产函数q=min(d1L，d2K)(d1＞0，d2＞0)，由于K/L为一固定比例，即为一常数，有d(K/L)=0，则Eσ=0。一般地，生产要素的替代弹性大于0。第三节规模收益

一般将生产中的各投入要素以相同的比例变动称为生产的规模变化。规模收益指的便是在技术水平和要素价格不变的条件下，生产规模变化所导致的产量变动状态。

一、全局性规模收益

全局性规模收益有不同的表达方式。

1.生产函数表达式

规模收益问题常用齐次生产函数来表达。当生产函数是齐次函数时，所有要素的增长与产出增长之间存在着对应关系。如设生产函数为q=f(L，K)，有：

f(tL，tK)=trf(L，K)trq在这一等式成立的条件下，则称f(L，K)是r次齐次生产函数。这时，所有投入要素以同一比率t增长会引起产量按比率tr增长。当t＞1和r＞1时，trq＞tq，则称规模收益递增；当t＞1和r＜1时，trq＜tq，则称规模收益递减；当t＞0和r=1时，trq=tq，则称规模收益不变。从完整的理论意义上讲，规模收益不仅对应于生产规模的扩大，还应对应于生产规模的缩小。1＞t≥0便代表生产规模的缩小，但t不可能为负数。因为无论就要素投入还是就企业产量而言，极限状态的缩减便是不作任何投入或不提供任何产量，即乘以现有要素(组合)或产量的系数t为0。当0＜t＜1和r＜1时，trq＞tq，则称规模收益递增。譬如，考虑t=0.7和r=0.5时的情形，这时有0.70.5q＞0.7q，这意味着在新的要素投入仅为原有投入量的70％(或者说生产规模缩减了30％)条件下，提供的新产量的减少幅度却不到30％。也可一般地理解为，生产规模缩减幅度大，带来的产量减少幅度较小，企业生产的平均成本下降了，产生了规模经济。企业由此可以节约资源或将部分资源移作他用。这也说明，原有的生产规模过大，处于规模收益递减阶段，所以缩小规模反而能带来规模收益递增。当0＜t＜1和r＞1时，trq＜tq，则称规模收益递减。例4-1说明生产函数q=f(L，K)=的规模收益状态。解：设t＞1，有所以，生产规模扩大方向上的规模收益递减。设0＜t＜1，有所以，生产规模缩小方向上的规模收益递增。虽然生产规模缩减对于规模收益的说明保证了理论阐述的完整性，但无论在理论上还是现实上，人们通常是在生产规模扩大的方向上来讨论规模收益问题的。

2.生产力弹性表达式

当Ee＞1，即产量相对变动的幅度大于所有要素投入量同一比率的相对变动幅度时，规模收益递增；当Ee＜1，即产量相对变动的幅度小于所有要素投入量同一比率的相对变动幅度时，规模收益递减；当Ee=1，即产量相对变动的幅度等于所有要素投入量同一比率的相对变动幅度时，规模收益不变。考虑生产函数的表达式，显然，针对t＞1所表示生产规模的扩大而言，Ee=r，即生产力弹性系数这时就是齐次生产函数中的次数。

3.等产量线图表示法

如图4-11所示，通过原点的射线OR表示L与K的投入按相同比例增加。在A点至B点再至C点，可以观察到规模收益递增；C点到D点，规模收益不变；D点至E点，规模收益递减。图4-11等产量线表示的规模收益变动二、局部性规模收益

以上讨论的规模收益是就根本意义和全局性意义而言的，它往往对应于不同的生产技术和行业特性等。但即使是规模收益递增的生产技术或行业，在不同的规模水平，其规模收益递增的速度可能是不同的。而且，许多生产函数并不能归入上述的规模收益的三种情形中的任何一种，但却在某一产量范围内呈现规模收益递增，在另外的产量区域中又呈现规模收益递减或不变的情况。所以，需要一个衡量规模收益特征的局部性指标或技术手段。这个局部性指标就是规模弹性。相应地，前面的分析内容也就称之为全局性规模收益，下面分析局部性规模收益。设q=f(x)是生产函数，t＞0，且有q(t)=f(tx)，定义规模弹性为其含义为在投入要素量及其组合点x处，生产规模的变动所带来的产量变动的程度。通常将t=1视为原有的生产规模，t＞1代表生产规模的相应放大，t＜1代表生产规模的相应缩小。如果e(x)=1，表明产量增长速度与生产规模增长速度相同，可说在x处是规模收益不变。如果e(x)＞1或e(x)＜1，则可说在x处是规模收益递增或递减。不难发现，规模弹性与生产力弹性在内在逻辑上具有高度的一致性。三、规模收益变化的原因

前述的生产函数或生产力弹性对于规模收益状态的表达、刻画更多的是一种事后的度量。因为现实经济社会中，生产规模扩大或缩小时，各种投入通常并不会以同一比例变动。但即使投入要素以相异比例变动，仍会产生规模经济和规模不经济及其比较关系的变化，进而引起规模收益的变动。这种规模收益变动的度量可以借助于等式f(tL，tK)=trq中t与tr之间的关系来进行。就规模经济而言，一般认为其产生的原因主要有：

(1)生产分工的深化。随着生产规模的扩大，专业化生产分工可以更细，各种要素的专用性更强，从而生产效率更高，生产的平均成本降低。实际上，早在18世纪，经济学巨匠亚当·斯密在《国富论》中就以制针业为例，对专业化分工如何会促进生产效率提高作了经典性的分析。

(2)生产经营的不可分性。直观地讲，一辆30吨的载重卡车不会因为只载货15吨而减少某些必要的费用；一条流水生产线不会因为产量的减少而降低整条流水线的运行成本；针对10万件同一品牌的产品所做的广告不能因为现在只针对100件产品而只做哪怕半个广告。生产经营的不可分性实际上也体现了生产经营设施、设备的共享性。如连锁店就较好地实现了对企业管理模式和企业品牌的共享。

(3)财务方面的因素。企业规模的扩大意味着资产规模的扩大，从而有利于其对外筹资，便捷的筹资又有利于企业采用先进的机器设备和生产技术；由于所需资本和原材料数量大，又可在一定程度上降低筹资成本和购货成本等。

(4)交易成本的节省。根据现代企业理论，企业的对外市场交易都会产生较大的交易成本，这些交易成本既包括财务成本，也包括时间、精力的耗费和生产经营过程中的注意力不集中等。大规模生产使得企业内交易在较大程度上取代了企业外的市场交易，从而节省了交易成本，提高了企业效率。但是，企业规模的扩大在产生规模经济的同时，也常产生着规模不经济。如由于所需资本量大，筹资的难度也在增加；另一方面企业的内部摩擦、企业内的信息传递失真现象都会增加，尤其是企业规模超过一定程度后，管理效率趋低，即企业内交易的边际交易费用上升，等等。规模经济超过规模不经济时，表现为规模收益递增；规模经济与规模不经济相抵时，表现为规模收益不变；规模不经济超过规模经济时，便表现为规模收益递减。第四节生产函数的典型类型

经济学家在理论分析上提出了许多生产函数，它们具有不同的理论特征和适用性。本节运用上述的基本理论原理讨论几种著名的、常用的代表性生产函数。

一、线性齐次生产函数

现实社会中，生产函数往往是非线性的，线性生产函数极为少见，但为分析简单，理论上常将近似线性的生产函数假设为线性生产函数。假设生产函数由下式给出：

q=f(L，K)=aL+bK该生产函数的等产量线都是斜率为－a/b的平行直线，如图4-8所示。前已述及，其替代弹性Eσ=∞。线性齐次生产函数具有如下性质：

(1)规模收益不变。这一性质可以很容易地予以证明。对于任意t＞0，有：

f(tL，tK)=atL+btK=t(aL+bK)=tq

(4-12)

这表示投入的L、K增加了t倍，产量也相应地增加t倍，呈线性变动。可见，这里的Ee=r=1。

(2)要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例，而一般被认为与投入数量无关。现证明如下：令(因规模收益不变，且L≠0，可看做为原有的产量与各投入量都除以L，这并不破坏等式或函数关系的成立)，并代入式(4-12)可得：两边同乘以，有由式(4-13)有求上式对L的偏导数，得(4-16)求式(4-15)对K的偏导数，得：式(4-13)和式(4-14)说明，APL和APK都是K/L即要素投入比例的函数；式(4-16)和式(4-17)说明，MPL和MPK也都是K/L的函数。(4-17)

(3)满足欧拉定理(Euler’stheorem)。欧拉定理可用下式来表示：(4-18)

此式的经济含义是，各种投入的边际产量乘以其投入数量之和，刚好等于总产量。将线性齐次生产函数f(tL，tK)=tf(L，K)对t求导，便可得到式(4-18)。下面我们作一简单验证：以式(4-16)和式(4-17)代入式(4-18)，得：(据式(4-15))

二、柯布-道格拉斯生产函数

柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数有时简称为C-D生产函数，其表达式为

q=ALaKβ

(4-19)其中，A、α、β均为正常数，且1＞α、β＞0。C-D生产函数具有如下性质：

(1)α、β分别为劳动与资本的产出弹性。证明：据C-D生产函数，有：(4-20)(4-21)据式(4-20)和式(4-21)，可得：而生产力弹性

(2)要素的替代弹性恒为1(即单位替代弹性)。证明：

(3)生产函数为α+β次齐次函数。对于任意给定的非零常数t，有：

f(tL，tK)=A(tL)α(tK)β=tα+βq

若α+β＞1，则规模收益递增；若α+β＜1，则规模收益递减；若α+β=1，则规模收益不变，这时的f(tL，tK)=tq，即为线性齐次生产函数。

(4)等产量线凸向原点。对式(4-19)全微分，可得：

由于dq=0，所以(α，β，L，K＞0)上式为C-D生产函数的等产量线的斜率，即劳动对资本的边际技术替代率为负，且等于要素的投入比例乘以与其分别对应的产出弹性之比的倒数。而且，上式表明，C-D生产函数等产量线凸向原点。

(5)生产扩张线是一条直线型射线。因为不同水平的等成本线与等产量线的切点满足条件：也就是αPKK=βPL·L，则显然，生产扩张线为一直线型射线的前提条件是，α、β、PL和PK之值不变。这样，从原点出发的射线的斜率不变。如果PL或PK之值变化，等成本线的斜率就会随之改变，其与等产量线的切点就会处于直线型射线以外，或者说，连接这些切点的生产扩张线的斜率就会改变。

C-D生产函数的对数形式是线性的，为lnq=lnA+αlnL+βlnK，这便使它表现出了相当的应用价值。α、β对应于劳动与资本的产出弹性，而这些常量往往可根据实际数据进行测算。

三、里昂惕夫生产函数

里昂惕夫(Leontief)生产函数又称为投入产出生产函数，其数学形式为(4-22)其中，a、b分别表示生产一个单位产品所需要的L和K要素的投入量。对于特定的产量q0，需要的生产要素的投入量是被唯一地决定：

L=aq0，K=bq0

其中，L/a或K/b表示投入的L或K与别的要素结合所能生产的(最大)产量。式(4-22)表明，产量取决于具有固定比例的各种要素投入量中的最少者。换言之，最小的L/a或L/b决定所能生产的最大产量水平，另一种或另外所有的生产要素会因该种要素的相对短缺而被闲置。这也就是人们常说的“箍桶原则”，即水桶能盛多少水，完全取决于最短的那一块木板，而不是取决于木板的平均长度或有多少块长木板。例如，生产某一单位产品需要投入3个单位的L和4个单位的K，假如企业部门实际投入了9个单位的L和16个单位的K，所能生产出的产量也仅为3单位，因为该企业部门在生产过程中实际上有4个单位的K闲置。由式(4-22)易见：

(1)等产量线是一条直角型折线，我们已在前面作过分析。(2)它是关于L和K的一次齐次函数。

(3)要素的替代弹性为零。

四、不变替代弹性生产函数不变替代弹性(constantelasticityofsubstitution)生产函数简称CES生产函数，由阿罗、索洛等人于上世纪60年代初提出。它的一般表达形式为(4-23)其中，A为规