高等数学（慕课版）课件 张天德 第3章 微分中值定理及导数的应用

第3章微分中值定理及导数的应用函数最值及其应用第5讲高等数学（慕课版）主讲教师|01闭区间上连续函数的最值02

最值在实际问题中的应用2本节内容301

闭区间上连续函数的最值🎯闭区间上连续函数最值的求解步骤：

4解📚例101

闭区间上连续函数的最值

📢注

501

闭区间上连续函数的最值🎯开区间内连续函数的最大值或最小值：

6解📚例201

闭区间上连续函数的最值

01闭区间上连续函数的最值02

最值在实际问题中的应用7本节内容802

最值在实际问题中的应用

9📚例3解02

最值在实际问题中的应用

24cmxcm10📚例3续解02

最值在实际问题中的应用

11📚例4解02

最值在实际问题中的应用

rh12📚例4续解02

最值在实际问题中的应用

13📚例5解02

最值在实际问题中的应用

📢注14

02

最值在实际问题中的应用学海无涯，祝你成功！高等数学（慕课版）第3章微分中值定理及导数的应用曲线的凹凸性及拐点第6讲高等数学（慕课版）主讲教师|01曲线的凹凸性和拐点的定义02

曲线的凹凸性和拐点的判别17本节内容1801

曲线的凹凸性和拐点的定义

1901

曲线的凹凸性和拐点的定义📝定义3.2

📝定义3.3连续曲线上凹弧与凸弧的分界点叫做曲线的拐点.01曲线的凹凸性和拐点的定义02

曲线的凹凸性和拐点的判别20本节内容2102

曲线的凹凸性和拐点的判别

2202

曲线的凹凸性和拐点的判别

2302

曲线的凹凸性和拐点的判别📖定理3.10

24解

📚例1

02

曲线的凹凸性和拐点的判别25解

📚例2

02

曲线的凹凸性和拐点的判别

26解

📚例3

02

曲线的凹凸性和拐点的判别

27解

📚例4

+0-0+凹凸凹

02

曲线的凹凸性和拐点的判别28解

📚例5

02

曲线的凹凸性和拐点的判别2-不存在+凸凹29🎯求曲线凹凸区间及拐点的步骤：

02

曲线的凹凸性和拐点的判别学海无涯，祝你成功！高等数学（慕课版）第3章微分中值定理及导数的应用函数图形的描绘第7讲高等数学（慕课版）主讲教师|01渐近线02

描绘函数图形32本节内容3301

渐近线📝水平渐近线1.

水平渐近线

📢注水平渐近线最多有两条.34解📚例1

01

渐近线35解📚例2

36解01

渐近线📚例3

3701

渐近线📝垂直渐近线2.

垂直渐近线

📢注

38解01

渐近线📚例4

39解01

渐近线📚例5

01渐近线02

描绘函数图形40本节内容4102

描绘函数图形🎯描绘函数图形的步骤：

学海无涯，祝你成功！高等数学（慕课版）第4章不定积分不定积分的概念与性质第1讲高等数学（慕课版）主讲教师|44思维导图01原函数与不定积分的概念02不定积分的几何意义03基本积分表04不定积分的性质45本节内容4601原函数与不定积分的概念

📝引例1.原函数4701原函数与不定积分的概念

📝定义4.11.原函数

📝举例4801原函数与不定积分的概念

1.原函数4901原函数与不定积分的概念由上面举例(1)(2)可以发现，利用已知地方导数公式可以解决部分函数的原函数，但类似于举例(3)这样的函数，在找寻原函数时仅仅依靠导数公式是很难实现的，所以自然而然地想到，如何求一个函数的原函数？在解决这样一个问题之前，我们先要解决原函数的存在性.1.原函数50🎯问题（1）何条件下存在原函数？如果存在原函数，那么它的原函数是唯一的吗？若不唯一，有多少个原函数？（2）

任意两个原函数之间有什么关系？01原函数与不定积分的概念

📖定理4.1（原函数存在定理）51

📢答01原函数与不定积分的概念🎯结论5201原函数与不定积分的概念

📝定义4.22.不定积分53

📚例1解

01原函数与不定积分的概念54

📚例2解

01原函数与不定积分的概念01原函数与不定积分的概念02不定积分的几何意义03基本积分表04不定积分的性质55本节内容5602不定积分的几何意义

yOxy=F(x)y=F(x+C)

57

📚例3解

02不定积分的几何意义01原函数与不定积分的概念02不定积分的几何意义03基本积分表04不定积分的性质58本节内容5903基本积分表

1.不定积分基本公式6003基本积分表

2.不定积分基本公式61

📚例3解

01原函数与不定积分的概念

📚例4解

6203基本积分表

求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算，它们满足下述关系：2.不定积分与求导（微分）的互逆运算关系

01原函数与不定积分的概念02不定积分的几何意义03基本积分表04不定积分的性质63本节内容6404不定积分的性质

📖性质4.1

📖性质4.2

📖推广65

📚例6解

04不定积分的性质📢注在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数，在最后的结果中只需要写出一个任意常数即可.66

📚例7解

04不定积分的性质📢注检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看导数是否等于被积函数，若相等则结果是正确的.67

📚例8解

04不定积分的性质

68

📚例9解

04不定积分的性质69

📚例10解

04不定积分的性质

70

📚例11解

04不定积分的性质

71

📚例12解

04不定积分的性质

72

📚例13解

04不定积分的性质学海无涯，祝你成功！高等数学（慕课版）第4章不定积分换元积分法第2讲高等数学（慕课版）主讲教师|01第一类换元积分法02第二类换元积分法75本节内容7601第一类换元积分法

解

7701第一类换元积分法

解

7801第一类换元积分法

📢注

79

常用的通过凑微分求解的积分形式归纳如下：01第一类换元积分法80

常用的通过凑微分求解的积分形式归纳如下：01第一类换元积分法81

📚例1解

01第一类换元积分法

82📢注

01第一类换元积分法

📚例2解83

📚例3解

01第一类换元积分法

📚例4解

84

📚例5解

01第一类换元积分法85

📚例6解

01第一类换元积分法86

📚例7解

01第一类换元积分法

87

📚例8解

01第一类换元积分法88

📚例9解

01第一类换元积分法89

📚例10解

01第一类换元积分法

90

📚例11解法1

01第一类换元积分法

91

📚例11解法2

01第一类换元积分法

92

📚例12解

01第一类换元积分法

93

📚例13解

01第一类换元积分法94

📚例14解

01第一类换元积分法95

📚例15解

01第一类换元积分法

96

📚例16解

01第一类换元积分法97

01第一类换元积分法02第二类换元积分法98本节内容9902第二类换元积分法

10002第二类换元积分法📢注

101

📚例17解

02第二类换元积分法

102

📚例18解

02第二类换元积分法

103

02第二类换元积分法通过变量代换去掉根号的主要形式有：三角代换根式代换104

📚例19解

02第二类换元积分法

105

📚例19续解

02第二类换元积分法

aa2-x2x106

📚例20解