2025版高中数学第三章概率专题突破四学案含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE1专题突破四用两种概型计算时的几个关注点一、关注基本领件的有限性和等可能性例1袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区分于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个基本领件建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分基本领件的依据，有多少个基本领件？以这些基本领件建立的概率模型是不是古典概型？思维切入将基本领件列出来，分析是否有限和等可能．解(1)因为基本领件个数有限，而且每个基本领件发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分基本领件的依据，可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取得一个黄球”，共3个基本领件．这些基本领件个数有限，但“取得一个白球”的概率与“取得一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满意等可能性，故不是古典概型．点评只有同时满意有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满意就不是古典概型．跟踪训练1一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球，从中随意摸出2个球．(1)共有多少个不同的基本领件，这样的基本领件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？(2)摸出的两个球都是黑球记为事务A，问事务A包含几个基本领件？(3)计算事务A的概率．解(1)随意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑求2和黑球3}6个基本领件．因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本领件都是等可能事务．由古典概型定义知，这个试验是古典概型．(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本领件．故事务A包含3个基本领件．(3)因为试验中基本领件总数n＝6，而事务A包含的基本领件数m＝3.所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).二、关注基本领件的计算，做到不重不漏例2一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本领件？(2)“2个都是白球”包含几个基本领件？思维切入将结果一一列举，再计算基本领件数．解方法一(1)(列举法)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则全部的基本领件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10个(其中{1,2}表示摸到1号球和2号球)．(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个基本领件．方法二(2)(列表法)(1)设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea{a，b}{a，c}{a，d}{a，e}b{b，a}{b，c}{b，d}{b，e}c{c，a}{c，b}{c，d}{c，e}d{d，a}{d，b}{d，c}{d，e}e{e，a}{e，b}{e，c}{e，d}由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到{b，a}与{a，b}是相同的事务，故共有10个基本领件．(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共3个基本领件．点评计算基本领件的个数时，要做到不重不漏，就须要按肯定程序操作，如列举法，列表法，还可以用树状图法求解．跟踪训练2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事务的概率：(1)A＝{三个数字中不含1和5}；(2)B＝{三个数字中含1或5}．解这个试验的全部可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．(1)事务A为(2,3,4)，故P(A)＝eq\f(1,10).(2)事务B的全部可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种．故P(B)＝eq\f(9,10).三、关注事务间的关系，优化概率计算方法例3有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．思维切入先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本领件，再确定两个盒子都不空的对立事务是至少有一个盒子为空所包含的事务，从而确定该事务的概率．解a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本领件为：甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c两个盒子都不空的对立事务是至少有一个盒子为空，所包含事务：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共2个，故P＝1－eq\f(2,8)＝eq\f(3,4).点评在求解较困难事务的概率时，可将其分解为几个互斥的简洁事务的和事务，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采纳正难则反的原则，转化为其对立事务，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得．跟踪训练3袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率．解记“3只颜色全相同”为事务A，则所求事务为A的对立事务．因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事务B)”，“3只全是黄球(事务C)”，“3只全是白球(事务D)”，且它们彼此互斥，故3只颜色全相同即为事务B∪C∪D，由于红、黄、白球的个数一样，基本领件的总数为27，故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝eq\f(1,27)，所以P(A)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝eq\f(1,9)，因此有P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).四、关注事务的测度，规避几何概型易错点例4(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；(2)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率．思维切入(1)“过点A作一射线”等可能地分布在∠BAC内，测度为角度．(2)“在线段BC上取一点M”，等可能地分布在线段BC上，测度为长度．解(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事务Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，又当AB＝BM时∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝eq\f(d的测度,D的测度)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).(2)设AB＝AC＝1，则BC＝eq\r(2)，设“在线段BC上取一点M，使BM≤AB”为事务Ω，则P(Ω)＝eq\f(d的测度,D的测度)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).点评当试验是“过点A作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC上取一点”时，用线段长度作测度．一般地，试验是什么，可以确定基本领件是什么．基本领件累积起来，就可以确定区域是角度、长度还是面积等．跟踪训练4(1)如图，在单位圆O的某始终径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解弦长不超过1，故OQ≥eq\f(\r(3),2)，因为Q点在直径AB上是随机的，设事务A为“弦长长度超过1”，由几何概型的概率计算公式得，P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).所以其对立事务eq\x\to(A)“弦长不超过1”的概率为P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).(2)设A为单位圆O圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点B与A连接，则弦长超过eq\r(2)的概率是________．答案eq\f(1,2)解析在圆O上有肯定点A，任取一点B与点A连接，且弦长超过eq\r(2)，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.P(A)＝eq\f(270°－90°,360°)＝eq\f(1,2).1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字不同外其他完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)答案A解析随机取出2个小球得到的结果有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2}，{1,5}，{2,4}，共3种，所以P＝eq\f(3,10)，故选A.2．从集合{a，b，c，d，e}的全部子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)答案C解析集合{a，b，c，d，e}共有25＝32(个)子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(个)，所以所求概率为P＝eq\f(8,32)＝eq\f(1,4).3．盒子里有25个外形相同的球，其中有10个白球，5个黄球，10个黑球，从盒子中随意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案D解析试验发生包含的事务是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5＋10＝15(种)结果，满意条件的事务是取出的球是一个黑球，共有10种结果，因此它是黑球的概率P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).故选D.4．在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“eq\f(a,b)不是整数”的概率为________．答案eq\f(2,3)解析∵在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本领件总数n＝4×3＝12.“eq\f(a,b)不是整数”包含的基本领件有eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,2)，eq\f(3,4)，eq\f(4,3)，共8个．∴“eq\f(a,b)不是整数”的概率P＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).5．在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率．解设x，y表示所取的随意两个数，由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，∴以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，设“两数和小于1”为事务A，则事务A所在区域为直线x＋y＝1的下方且在正方形的区域内，设其面积为S.则S＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(S,4)＝eq\f(1,8).6．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b).(1)列举出全部的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解(1)(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种状况．函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种状况满意条件．所以函数y＝f(x)有零点的概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)因为a＞0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝eq\f(b,2a)，在区间[1，＋∞)上是增函数，所以有eq\f(b,2a)≤1，满意条件的(a，b)为(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种．所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为eq\f(13,15).一、选择题1．一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(7,9)C.eq\f(2,9)D.eq\f(7,16)答案C解析由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样．图中有大小相同的方砖共9块，明显小狗停在阴影方砖的概率为eq\f(2,9).2．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的全部不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的全部不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．(2024·自贡模拟)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案A解析∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本领件总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，须要满意eq\f(b,a)≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝eq\f(5,12).4．(2024·郑州检测)每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣扬活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,10)答案B解析设男生为A，B，C，女生为a，b，从5人中选出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种等可能状况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种等可能的状况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).5．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为()A.eq\f(11,36)B.eq\f(7,36)C.eq\f(7,11)D.eq\f(7,10)答案C解析先后两次出现的点数中有5的状况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的状况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事务的概率P＝eq\f(7,11).6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案B解析过点M作平面RST∥平面ABCD(图略)，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，明显点M在平面RST上随意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的体积等于eq\f(1,6)，只要M在截面以下即可小于eq\f(1,6)，当VM—ABCD＝eq\f(1,6)时，即eq\f(1,3)×1×1×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(1,2)，此时点M究竟面ABCD的距离为eq\f(1,2)，所以所求概率P＝eq\f(1×1×\f(1,2),1×1×1)＝eq\f(1,2).8．(2024·衡水联考)2024年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()A.eq\f(363π,10)mm2 B.eq\f(363π,5)mm2C.eq\f(726π,5)mm2 D.eq\f(363π,20)mm2答案A解析向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝eq\f(30,100)×π×112＝eq\f(363π,10)(mm2)．9.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自空白部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)答案C解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，分别取OA，OB的中点为D，E，如图，连接OC，DC，CE，不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝OE＝CE＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整个图形中空白部分面积S2＝2S1＝2.又因为S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以所求概率P＝eq\f(2,π).二、填空题10．在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(nπ,3)，n＝1，2，3，…，10))))中任取一个元素，所取元素恰好满意方程cosx＝eq\f(1,2)的概率是________．答案eq\f(3,10)解析基本领件总数为10，满意方程cosx＝eq\f(1,2)的基本领件数为3，故所求概率P＝eq\f(3,10).11．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．答案0.2解析从5根竹竿中随机抽取2根竹竿的基本领件有10个，它们的长度恰好相差0.3m的是2.5和2.8,2.6和2.9两个，故它们的长度恰好相差0.3m的概率为eq\f(2,10)＝0.2.12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．答案eq\f(1,3)解析该树枝的树梢有6处，蚂蚁到达各处的可能性相同，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).三、解答题13．某地区有21所小学，14所中学，7所高校，现实行分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、高校中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．解(1)6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3,6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2,6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1，所以从小学、中学、高校中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)在抽取到的6所学校中，将3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，高校记为A6，则抽取2所学校的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事务A)的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).

14．设有一质地匀称的蛇螺，其圆周的一半上匀称地刻上区间[0,1]上的数字，另一半匀称地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的概率是________．答案eq\f(3,8)解析由题意，记事务A为“陀螺停止时，其圆周上触及