现代控制理论第五章2010 学习课件

2025年2月28日现代控制理论1线性控制系统信息科学与工程学院

2025年2月28日现代控制理论2第五章李亚普诺夫稳定性分析

5.1几个稳定性概念5.2李雅普诺夫稳定性理论

5.3李亚普诺夫方法在线性系统中应用

5.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用2025年2月28日现代控制理论35.1几个稳定性概念定义5.1.1自治系统:零输入作用的系统其中，x为n维状态向量，f(.,.)为n维向量函数。2025年2月28日现代控制理论4定义5.1.2受扰运动：系统状态的零输入响应.2025年2月28日现代控制理论5对n阶自由系统,若存在某一状态，对所有t都有，则称的平衡状态或平衡点。

为系统定义5.1.3平衡状态或平衡点什么样的平衡点叫孤立平衡点？2025年2月28日现代控制理论6定义5.1.4

欧氏范数：称为向量的欧氏(欧几里德)(Euclid)范数.2025年2月28日现代控制理论7定义5.1.5李雅普诺夫意义下的稳定性对,若使得时，有则称为李雅普诺夫意义下稳定的。2025年2月28日现代控制理论8

定义5.1.6一致稳定（渐近稳定）则称其为一致稳定（渐近稳定）。若的稳定性（渐近稳定），且不依赖于，2025年2月28日现代控制理论9定义5.1.7渐近稳定如果是李雅普诺夫意义稳定的，和并且对于总使得则称是渐近稳定的。必成立：2025年2月28日现代控制理论10定义5.1.8不稳定:受扰运动要突破超球域对于某个实数和，在超球域内始终存在状态，使得从该状态开始的2025年2月28日现代控制理论11稳定渐近稳定不稳定稳定性的几何示意图2025年2月28日现代控制理论12定义5.1.9正定函数：1）存在2）3）当时，（正半定的）。则称是正定的如果条件3）中不等式的符号反向，则称是负定的（负半定的）。

2025年2月28日现代控制理论13

例5.1.1

1） 正定的

2） 半正定的

3） 负定的

4） 半负定的

5） 不定的2025年2月28日现代控制理论14塞尔维斯特（Sylvester）定理：

为正定的充要条件是：P的所有顺序主子行列式都是正的。如果P的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么V(x)为半正定的。如果是正定的（半正定的），则将是负定的(半负定的)。2025年2月28日现代控制理论15例5.1.2证明下列二次型函数是正定的。解：二次型可以写为因为所以2025年2月28日现代控制理论165.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.1李雅普诺夫第一方法5.2.2直接法2025年2月28日现代控制理论175.2.1李雅普诺夫第一方法(间接法)设，为孤立平衡点。（1）平衡点平移：令则将在原点展开得，(2)近似线性化：2025年2月28日现代控制理论18定理5.2.1如果,则渐近稳定，如果存在，则不稳定；来决定。如，则的稳定性由高阶导数项(3)稳定性判据：2025年2月28日现代控制理论19例5.2.1已知非线性系统其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。2025年2月28日现代控制理论20知系统有平衡点解:求平衡状态：由下面仅对情况进行研究，其它情况类似2025年2月28日现代控制理论21计算由特征方程，得设则2025年2月28日现代控制理论22①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不稳定;③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。2025年2月28日现代控制理论23

5.2.2直接法

定理5.2.2

假设系统的状态方程为如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：1）是正定的；2）是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果随着有则在原点处的平衡

状态是大范围渐近稳定的。2025年2月28日现代控制理论24定理5.2.3

如果并且对于任意和不恒等于零则系统在原点渐近稳定.定理5.2.4

如果则原点不稳定2025年2月28日现代控制理论25例5.2.2

已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。2025年2月28日现代控制理论26原点处是大范围渐近稳定的解:显然，原点是唯一平衡点，取，则又因为当时，有所以系统在2025年2月28日现代控制理论27例5.2.3

已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。2025年2月28日现代控制理论28解:系统具有唯一的平衡点

取

则因为除原点处外，不会恒等于零。当时，所以系统在其原点

处大范围渐近稳定。2025年2月28日现代控制理论29例5.2.4系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。2025年2月28日现代控制理论30解:系统具有唯一的平衡点取则于是知系统在原点处不稳定。2025年2月28日现代控制理论311）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。5.2.3几点说明

2025年2月28日现代控制理论325）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定存在。2025年2月28日现代控制理论335.3李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.3.1稳定性分析5.3.2利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题2025年2月28日现代控制理论34

定理4.3.1:

系统在原点全局渐近稳定的充要条件为方程,有唯一正定对称解.证明：充分性：考虑系统其中令如果

则大范围渐近稳定。必要性：略。5.3.1稳定性分析2025年2月28日现代控制理论35例5.3.1:分析下列系统稳定性

解：令得则由2025年2月28日现代控制理论36解上述矩阵方程，有即得2025年2月28日现代控制理论37因为可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。

2025年2月28日现代控制理论38

设则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程存在唯一正定对称解如果沿任一解的序列不恒等于零，则可取半正定的。定理5.3.22025年2月28日现代控制理论39例5.3.2试确定系统在原点的稳定性2025年2月28日现代控制理论40,得解:在李雅普诺夫方程中,取由此解出从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的.2025年2月28日现代控制理论411、问题描述：5.3.2利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题

使极小(1)设

调节参数使极小。(2)必须逐渐稳定，否则问题无解。（自学）2025年2月28日现代控制理论42(4)注意到和的函数，调节使最小。(3)由知存在,使得令于是有由,知2025年2月28日现代控制理论43

例5.3.3给定系统的状态方程为试确定阻尼比的值，使系统的性能指标，其中达到最小值。2025年2月28日现代控制理论44解得于是有解:由，知2025年2月28日现代控制理论45再令于是得将代入上式，知。2025年2月28日现代控制理论465.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用5.4.1克拉索夫斯基方法2025年2月28日现代控制理论475.4.1克拉索夫斯基方法定理5.4.1

设系统的状态方程为式中的，设对可微。2025年2月28日现代控制理论48

令系统的雅克比矩阵为2025年2月28日现代控制理论49

证:显然

。因为那么渐近稳定。如果随着

，范围渐近稳定。

，有，那么大其中为的共轭转置矩阵，如果2025年2月28日现代控制理论50

当时，有。所以渐近稳定在时，大范围渐近稳定。

所以2025年2月28日现代控制理论51

解:由平衡状态的稳定性。例5.4.1利用克拉索夫斯基定理确定下列系统在2025年2月28日现代控制理论52

且时，有所以是大范围渐近稳定的。

更为普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下：设系统的状程态