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文档简介

13§2.2

函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质4一、自变量趋向无穷大时函数的极限以下分别用记号x沿负方向无限增大x沿正负方向无限增大x沿正方向无限增大5问题如何用数学语言来定义此极限.6记作或72.另两种情形例讨论极限是否存在?定义域值域解可见和都存在,但它们不相等.故不存在.例讨论极限是否存在?10图形完全落在:11例证12例证要使成立.有从函数图形易观察出：为一条水平渐近线13oxy1(horizontalasymptote).14例试证证注意有为了使只要使有15相应的函数无限接近某一常数

A.记作设函数在附近有定义.如果随着x无限靠近二、自变量趋向有限值时函数的极限研究函数变化趋势.

161oxy1-1217用数学语言如何刻划问题18设函数有定义.记作或恒有在点x0某去心邻域内19注意也将越小.一般地说,越小,(3)不要求最大的

只要求

存在即可.20图形完全落在21例证例证22例证函数在点处没有定义.要使例证min24例证注意25试证[提示]仅需在附近讨论问题,

可限定在范围内讨论问题.这时例26证练习27(1)证明证由于要使解出只要可取有解不等式,练习28(2)证明证可取有同样有29左极限右极限4.单侧极限30且性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.31例如,32左右极限存在但不相等,例证33注意：1.谈到函数的极限时,必须明确指出自变量x的趋向,一般来说不同的趋向,函数的极限是不同的.2.函数趋向A的方式通常有三种:(1)f(x)大于A趋向于A.(2)f(x)小于A趋向于A.(3)f(x)一会大于A,一会小于A趋向于A.3.只有常数C的极限永远为常数C.x的趋向一共有六种:

34

函数极限与数列极限相比,有类似的性质.定理(极限的唯一性)定理(局部有界性)三、函数极限的性质35定理证对从而有总之,36定理(局部保号性)推论(或A<0),(f(x)<0).(f(x)≤0),(A≤0).其它极限过程，局部保号性，也有相应的形式37(函数极限与其子列极限的关系)1.定义2.函数的子列定理四、函数的子列定理(并归原则）也称海涅(Heine)定理38证明自学39函数极限与数列极限的关系有定义,有40例如,函数极限与数列极限的关系若函数极限存在，则它的任何子列的极限都存在,且相等.41推论1推论242例证二者不相等,43的不同数列法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.441.

函数极限的或定义;2.

函数极限的性质局部保号性;小结唯一性;局部有界性;3.函数的左右极限判定极限的存在性.45思考题1(A)先给定

后惟一确定

;极限定义中

与

的关系是().(C)先确定

后给定

;(D)与

无关.

B(1)(B)先确定

后确定

,但

的值不惟一;46(2)

如果

与

存在,则().(B)存在但不一定有(C)不一定存在;(D)一定不存在.(A)存在且C47思考题2解答不能保证.例有48

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