高考数学 千锤百炼5

第81炼排列组合——寻找合适的模型

在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解

决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题

一、典型例题：

例1：设集合A由〃个元素构成，即4={4，生，…，可卜则A所有子集的个数为

思路：可将组成子集的过程视为A中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，

所以第一步从。।开始，有两种选择，同样后面的。2M3,…，4,都有两种选择，所以总数

N=2x2x…x2=2"个

答案：T

例2：已知S={l,2,3,・・,,40},AqS且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列,

则这样的集合A共有()个

A.460B.760C.380D.190

思路：设4中构成等差数列的元索为a,b,c,则有力=a+c,由此可得。,c应该同奇同偶，

而当同奇同偶时，则必存在中间项人，所以问题转变为只需在1—40中寻找同奇同偶数

的情况。•同为奇数的可能的情况为点，同为偶数的可能的情况为心，所以一共有

2•点=380种

答案：C

例3：设集合4{(不忍,毛/4，毛)1%£{一1，°，1}/={1，2,3,4,5}},那么集合A中满足条件

“1W㈤+国+国+|司+冈43”的元素个数为()

A.60B.90C.120D.130

思路：因为㈤=0或国=1,所以若1W国+闯+冈+同+同43,则在

%(i=l,2,3,4,5)中至少有一个|引=1,且不多于3个。所以可根据《中含0的个数进行分

类讨论。

①五个数中有2个0,则另外3个从1,一1中取，共有方法数为N]=C；"

②五个数中有3个0,则另外2个从1,—1中取，共有方法数为N?=C；­22

③五个数中有4个0,则另外1个从1,一1中取，共有方法数为N3=C；-2

所以共有"=或"+仁.22+。；.2=130种

答案：D

例4：设集合A={1,2,3,…,10},设A的三元素子集中，三个元素的和分别为4M2,…，凡，

求4+生+…+凡的值

思路：A的三元子集共有C1个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨

换个思路，考虑将这些子集中的1,2,…,10各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这C士个

子集中或含有多少个1,2,•••,10。以1为例，合1的子集可视为集合中有元素1,轲下两个元

素从9个数中任取，不同的选取枸成不同的含1的子集，共有C；个，所以和为IxC；,同

理，含2的集合有C；,其和为2xC；……,含10的集合有C；个，其和为10xC；所以

q+%+•••+=Cg(1+2+•••+10)=1980

答案：1980

例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个

子矮，则所有不同的排法种数是多少

思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且

进行排列,即可完成任务。至于高矮问题,在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而

则一

将问题转化为分组问题。•.二90(种)

答案：90

例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（）对异

面直线

A.450B.441C.432D.423

思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便

可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为

寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有4xC：=60,每条棱与对

棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点

共面的情况共有4C；十6+3=69种，所以四点不共面的情况有。；）-69=141种，从而异

面直线的对数为N=141x3=423种

答案：D

小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面T三棱锥T四点不共面T四点共面，从

而将所考虑的问题简单化

例7：设A是整数集的一个非空子集，对于左wA,如果Z—1走A且£+1任A,那么称女是

集合A的一个“孤立元”，给定S=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,则S的3个元素构成的所有集合中,

其元素都是“孤立元”的集合个数是（）

A.6B.15C.20D.25

思路：首先要理解“欠则攵一1£A且欠+1任A”，意味着“独立元”不含相邻的数，

元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用

插空法可得：C；=20种

答案：C

例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个

思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，

而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在

圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可

组成多少个四边形的问题，所以共有=4845个

答案：4845个

例9：一个含有10项的数列｛〃“｝满足：4=。，4（）=5,®+]—⑷=1,（攵=1,2,…,9），则符

合这样条件的数列｛（｝有（）个

A.30B.35C.36D.40

思路：以=1为人手点可得：4+1二4±1，即可视为在数轴上，4向左或向右

移动一个单位即可得到4.1，则问题转化为从q=0开始，点向左或向右移动，总共9次达

到40=5,所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。

所以不同的走法共有C；=36种，即构成36种不同的数列

答案：36种

例10：方程x+y+z+卬=10的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？

思路：本题可将10理解为10个1相加，而x,y,z,w相当于四个盒子，每个盒子里装入了

多少个1,则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡

板法得：C；=84种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，

所以考虑进行化归：x+y+z+w=1()(x+1)+(^+l)+(z+1)+(w+1)=14,则

x+l,y+l,z+l,w+l这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：3=286种

答案：正整数解有84种，非负整数解有286种

二、历年好题精选

1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步

或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有()

A.144种B.96种C.48种D.34种

2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求

这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()

A.232B.252C.472D.484

3、在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数口，其各个数字之和为

9的三位数共有()

A.16个B.18个C.19个D.21个

4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一

张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为()

A.96B.240C.48D.40

5、某班组织文艺晚会，准备从AB等8个节目中选出4个节目演出，要求：AB两个节

目至少有一个选中，且4,3同时途中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的

和数为()

A.1860B.1320C.1140D.1020

6、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、

物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数

为（）

A.72B.216C.320D.720

7、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两

个奇数数字之间的五位数的个数是（）

A.48B.36C.28D.12

8、某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同

一房间，则不同的安排方法有（）种

A.24B.48C.96D.114

9、（2014重庆八中一月考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别

分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是

A.B.C.D.Clt)C5

10、（2015,广东文）,若集合:

E={(p,q,r,s)|0Wp<s<4,0<q<s<4,0<r〈sS4,p,q,r,seN)

F=v,w)10</<w<4,0<v<卬匕卬wN},用c〃d(X)表示集合X中的

元素个数，则cwz/（E）+ca4（F）=（）

A.50B.100C.150D.200

11、（2014,浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5强无奖.将这8张奖券

分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种

12、（2014,安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60。的

共有（）

A.24对B.30对C.48对D.60对

13、（2014,重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目

的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

14、（2014,广东）设集合人={（冗］,工2，%3/4，/）1%£{-1，°，1}力=1，2,3,4,5},那么集合A

中满足条件“14㈤+|%|+匕|+闾+闯"3”的元素个数为（）

A.60B.90C.144D.168

15、（2016,哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二

班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，旦在三

班至多选1人，不同的选取法的种数为（）

A.484B.472C,252D.232

16、集合5={1,2,3,・・・,20}的4元子集7={4，/，4吗}中，任意两个元素差的绝对值都

不为1,这样的4元子集T的个数有_____个

习题答案：

1、答案：B

解析：氏C相邻则考虑使用整体法，程序A有要求所以先确定A的位置，共有2种选法，

然后排剩下的元素再排8,C间的顺序所以总数为N=2A：A；=96

2、答案：C

解析：考虑使用间接法，16张卡片任取3张共有种，然后三张卡片同色则不符合要求，

共有种，然后若红色卡片有2张则不符合要求，共有C：C：2种，所以不同的取法种数

为：N=C；6-4C：-C：C；2=472

3、答案：A

解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是1,3,5或2,3,4,

三位数共有2A；个；若有两个重复数字，则数字为2,2,5和1,4,4,三位数有2C；=6个；

若三个数字相同，则只有333,所以N=2A；+2C；+1=19

4、答案：A

解析：5张票分给4个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共C：种选

择，然后确定给哪两张连号的票，共4种情况，剩下的票分给3人即可。所以

N=4C：A；=96

5、答案：C

解析：由题可知可分为两类：第一类只有一个选中，则还需从剩下6个里选出3个节

目，然后全排列，所以不同的演出顺序有。；《父；第二类，4,3同时选中，则还需从剩

下6个里选出2个，然后A,B不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有综上

N=+=1140

6、答案：B

解析:先排数学与艺术各有3种共9种,其余的4个科目全排列有种，所以N=9A：=216

7、答案：C

解析：根据题意，在0,1,2,3,4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：

（1）0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整

体，与2、4全排列，有&=6科情况；故0被奇数夹在中间时，有28=12种情况；

（2）2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、2、3看成一个整

体，与0、4全排列，有用=6种情况，其中。在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法;

故2被奇数夹在中间时，有2x4=8种情况；

（3）4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，

则这样的五位数共有12+8+8=28种.

8、答案：D

解析：由题可知，5个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两

种，当为（3,1,■时，有点=60种,A、B住同一房间有何•父=有种，故有60-18=42

种，当为（2,2,1）时，有•看=90种，A、B住同一房间有%=18种,故

有9（）-18=72种，根据分类计数原理共有42+72=114种

9、答案：A

解析：由分层抽样可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生担任队长，则还需要出3名男

生，所以N=C；C；

10、答案：D

解析：分别统计E,歹中元素的个数，在E中，〃4/可取的值由s的值决定，当s=4时

p,g,〃分别可选0,1,2,3,所以有43=64种，当s=3时；同理有33=27种；当s=2

时；同理p,q,r有2-3=8种；当$=1时；同理p、q、r有1种，所以共计

c«rt/（E）=1+8+27+64=100：在尸中，可知一组，一组，按照E的计算方式

可得和KW的选择各有10种，所以mrJ（F）=10x10=100。从而

card（石）+card（F）=200

11、答案：60

解析:可按获奖人数进行分类讨论，若有3人,则一人获得一张中奖的奖券,即M=A；=24,

若2人,则1人获1个奖，1人获2个奖，愀=片・3=36,所以共计S=60

12、答案：C

解析：正方体的对角线共有12条，其所成角大致分为0,60.9(r,可使用间接法，2个一

对共有C；2=66种选法，其中成0。的有6对，成90,有12对，所以成60°的共有

66-12—6=48对

13、答案：B

解析：不相邻则“插空”，可歌舞类节月搭架子，因为歌舞类节目也不能相邻，所以另外3

个节目插空时有两种情况，一种情况为3个节目插3个空，则有2种插法，再安排完顺序，

合计：M=2xA：xA；=72；另一种情况为相声与一个小品相邻，然后与另一个小品插两

个空，则％2=G,馈♦隹♦看=48,则共计S=M+>2=120种

14、答案：D

解析:1«|芭|+|七|+闯+同+国43可知在当,大2，%3户4,均中，玉=±1的情况至少1

个，最多3个，从而分1,2,3三种情况讨论即可，每种讨论都分为两步，第一步确定几个选

0,几个选±1；第二步确定选±1的是选1还是一1：N=C；,2+C；・22+C；23=130

15、答案：B

解析：分两种情况讨论，当三班没人时，N|=C=-3xC=208,当三班恰有一人时，

N2=C\C-2=264,所以S=M+N2=472

16、答案：Cp

解析：两个元素差绝对值不为一，说明T中的四个元素两两不相邻，所以考虑插空法，剩

下16个位置共17个空，选择四个孔即可，共有个

第82炼求二项式展开后的某项

一、基础知识：

1、二项式(。+8)”(〃€".)展开式

（a+bY=C>"+O"%+C；a"%2+…+c[an-rbr+…+C»〃,从恒等式中我们可以

发现这样几个特点

（1）（a+3”完全展开后的项数为（〃+1）

（2）展开式按照〃的指数进行降幕排列，对于展开式中的每一项，〃，匕的指数呈此消彼长

的特点。指数和为〃

（3）在二项式展开式中由于按。的指数进行降辕排列，所以规定“十”左边的项视为a,

右边的项为b,比如：（x+1）”与（1+x）”虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x的指数

降暴排列，后者按1的指数降骞排列。如果是（。―与"，则视为[a+（-与了进行展开

（4）二项展开式的通项公式I”=C/〃-2'（注意是第r+1项）

2、二项式系数：项前面的C，C：,《称为二项式系数，二项式系数的和为2"

二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），

所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的

项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于（a+与”可看作是〃个（a+。）相乘，对于。“一方

意味着在这〃个（。+〃）中，有（〃―-）个式子出。，剩下;•个式子出方，那么这种出法一共

有C；种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组

合问题的结果。

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数

注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的

对于确定的一个二项式，二项式系数只由「决定。而系数是指展开并化简后最后项前

面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：（2x+l）s展开式

中第三项为（=C；•（2x）3•产，其中C；为该项的二项式系数,而7；=C•Q力-•产=80/

化简后的结果80为该项的系数

（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均

为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如（x+l）,展开式

的第三项为7；=C^（x）312,可以计算出二项式系数与系数均为10

3、有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如2/,」-就是有理项，而派,、豆就不是

5x

有理项。

4、（4+力）”与（〃一匕）〃的联系：首先观察他们的通项公式：

（。+"：*"；…（。-4：&=@i（叫'=（-1丫。"一万

两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑

（a-b）n系数的绝对值问题时，可将其转化为求（a+b）”系数的问题

5、二项式系数的最大值：在c;,q,…,c；中，数值最大的位于这列数的中间位置。若〃为

奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如〃=5时，最大项为C；=C；,若〃为偶数

（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如〃=6时，最大项为C；

证明：在…,C：中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为则有

_________ri1

C；NC丁「!（〃-「）！（一1）![〃_（一1）]]

加二_________n!________A1>1

r!（n-r）!（r+l）![n-（r+1）1!n-rr+1

所以解得：2即4二!巴里

、〃一122

r>----

2

所以当〃为奇数时（〃=2%—1）,不等式变为《一IWrWZ,即厂=大一1或r=Z为中间项

当〃为偶数时（〃=2Z）,不等式变为出一■!■«,•«&+_1,即尸=々为中间项

22

6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要

计算所得，大致分为两种情况：

（_+_）”型：不妨设项的系数为,则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要

P,>P

比相邻项大，所以有4』一'，再根据通项公式代入解不等式即可

型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一

p>p

种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。即〈川-I,在运算上较为复杂；一种

lO匕3

是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为（_+_）”的最大值问题，然后在考虑符号

确定系数最大值。

例1：二项式土-）展开式中的常数项是_________

（2出）

方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令工的指数为。，求出厂的值再代

入计算即可

/\8-/-/二、「J.

解："C归卜［七）（T）'C；-'

依题意可得：8-r--r=0=>r=6

3

常数项为7；=（g）•（-1?。=7

方法二：思路：对ft——!=］中的8个（三一一二］因式所出的项进行分配，若最后结果为

（2出）（2也）

常数项，则需要两个式子出土，六个式子出-J相乘,

2i/x

6

所以常数项为：C；=7

答案：7

小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，

先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出厂的值，进而求解；二是分析展开式中每

一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方

案，将其作为一个组合问题求解。

例2：在（丁+g）的展开式中，V的系数是

2-,2（6-r）-r,2-3r

思路一：考虑二项展开的通项公式：7；+I=C；（x（x）'=C；x=Qx

33

由所求可得：12—3厂=3=r=3:.T4=Clx=20x

思路二：可将其视为6个国式出项的问题，若要凑成/，需要3个/,3个工

x

所以该项为：=20x3

答案：20

小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式,

结合条件求出r的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。

例3：若二项式（X-：）的展开式中的第四项等于7,则x的值是

7_r

思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：7；+1=C；xf--l,第四

答案：x=--

5

/、9

例4：已知的展开式中V项的系数为-21,则实数4的值为__________

Iax2

思路：先利用通项公式求出1的项，在利用系数的条件求出。的值即可

解：*产C；尸Cl=C；f-l产2//.9-2r=3=>r=3

\ax）⑺

,38438421c

49UJaQ2

答案：a=-2

2

例5：已知二项式（x+±）"的展开式中各项二项式系数和是16,则展开式中的常数项是一

x

思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定〃的取值，先利用二项式系数和求出〃：2"=16

2\2

即〃=4,再求（工+一）4展开式的常数项为=24

x

答案：24

例6：(l+x+d)(i—x)5的展开式中，/项的系数为

思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得X4,不妨从其中一个式

子切入进行分类讨论(以(l+x+f)为例)

1：(l+X+f)出1,则(1一H出f,该项为：］.C；.l.(T)4=5f

2：(1+x+f)出X,则(1一力5出/，该项为：xC^l2(-x)3=4-10x4

3：(l+x+f)出则(1一力5出炉，该项为：X2.(^.13(-A:)2=10X4

综上所述：合并后的f项的系数为5

例7：(x2-x+l)'0展开式中d项的系数为()

A.-21()B.210C.3()D.-3()

思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：

若要凑成/有以下几种可能：

⑴：1个1个(_6，8个1,所得项为：yQoci、-%%3

(2)：3个(-X),7个1,所得项为：a(r)3.C；17=—120V

所以丁项的系数为一210

答案：A

\24

例8:二展开式中,有理项的项数共有()项

A.3B.4C.5D.7

思路：有理项是指变量的指数是整数,所以考虑从通项公式入手:

24-r/]

6-T

4

=&4/=C；4x,其中〃=0,1,2,…,24,r的取值只需要

3

让6——reZ,则厂=0,4,8,12,16,20,24,所以共有7个有理项

4

小炼有话说：在整理通项公式时可将x的根式(或倒数)转化为分数指数寐，方便进行化

简。

例9：二项式(2x+展开式中系数最大的项为

思路：考虑(2x+l『展开式的通项公式为&|=28fC；产"其系数设为匕…即

8rPt>P

^+1=2-C；,若要匕+1最大，则首先要大于相邻项，即｛用一',代入解得r的范围

4+1—匕2

即可确定出厂的值，从而求出该项

解：加=Q(2x)8-rlr=28-rQx8-r

设&项的系数为匕尸28-，C；

匕；28-rC；>2Mr-,)Cr，

若匕।最大，贝叫5=><

［以；匕，228-rC；>2Hr+l)Cf,

8!8!

>29-r_L>3

r!(8-r)!(r-l)!(9-r)!r9-r

=

8!8!

227T

r!(8-r)!(r+l)!|7-r)!.8-rr+\

解得：2Wr«3.“=2或尸=3

.•.经检验：系数最大的项为(=4=1792*5

答案：1792/

例10：己知g(x)=%++-，+4oM°4(x)=%+々%+•一+439，若

(1+x)(l-2x)'9=(1-x)10g(x)+7?(x),则为=()

A.0B.10x219C,-10x218D.-3x218

思路：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在(1一力1°8(%)中，与〃9相关的最

高次项为故以此为突破口求〃9,等式左边/的系数为(-2)19+C：；(—2户，而右边/9

的系数为4+%•C,(一1),所以出十%•喘(-1)9=(一2-+。；；(一21，只需再求出

即)即可，同样选取含q0的最高次项，即左边x20的系数为(一2广，右边的系数

为所以。［0=(-2了9。从而可解得出=-3x2第

答案：D

小炼有话说：求。9选择以哪项作为突破口很关键，要理解选最高次项的目的是为了排除其

他系数的干扰，如果选择项的次数较低，则等式中会出现生,生,…甚至4。=1，2,・・・,9）,

不便于求解。本题选择X®这项时，仅仅受到4。的干扰，再寻找与60的相关项（最高次项）

即可解决。

第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题

一、基础知识：

1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对

变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质

2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数(或二

项式系数)的等式

3、常用赋值举例：

⑴设(。+3”=加+*一如+C^an-2b2+…++…+,

①令4=6=1,可得：2〃=C；+C：+…+C；

②令a=i力=-1,可得：ovyvy…+(7丫&,即:

+…+C：=C：+C；+…+C：i(假设〃为偶数)，再结合①可得：

W…=2"T

2n

(2)设/(x)=(2x+1/*=a0+atx-i-a2xH---1-anx

①令x=l,则有：4+4+生+.-+4=(2x1+1)"=/(l),即展开式系数和

②令x=0,则有：4=(2x0+1)"=/(0),即常数项

③令1=一1,设〃为偶数，则有：4-q+%-+…+4=(-1x2+1)”=/(-1)

=>(«0+«2+•••+«„)-(«1++…+%_])=/(-1)，

即偶次项系数和与奇次项系数和的差

由①③即可求出(%+4■*---和(a1+〃3--------的值

二、典型例题：

例1：已知(3%一1)8=%+41+电工2+…+%•一，则+。3+%+“7的值为—

思路：观察发现展开式中奇数项对应的X指数寐为奇数，所以考虑令工=1,工=-1,则偶数

项相同，奇数项相反，两式相减即可得到q+。3+。5+。7的值

解：令x=l可得：2®=%+q+…+如①

8

令工=-1可得：4=d0-a1+a2---+%②

①—②可得：2'—4,=2（4+4+%+%）

4+%+6+%=5（2'-4*）

答案：-（28-48）

例2：已知（工2+1）（工一2『=4+4（工-1）+々2（/-1）2+…+4]（工-1）"，则

4+。2+…+〃11的值为（）

A.0B.2C.255D.-2

思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对R赋予特殊值得到系数的关系式，观察所

求式子特点可令1=2,得到/+4+…+%=0,只需再求出％即可。令x=l可得

%=-2,所以4+4+•,,+6[=2

答案：B

234

例3：设（2X+V5）=«0+axx+a2x+a3x+a4x,贝ij（%+出+%）?—（4+%『的值

为（）

A.16B.-16C.1D.-1

思路：所求（％+叼+%）2_（。|+仆）~=（/+4+/+々3+a4）（a0~a\+。2+4），

在恒等式中令x=l可得：4+4+生+G+/=Q+,令工=一1时

/—q+%—%+4=（2-0）,所以

（%+42+。4）2-（6+。3）2=（2+&）4（2-&）4=16

答案：A

例4：若（2-3x）'=4+41+«2%2+%/+/x4+%丁>则

⑷+同+同+同+同+国等于（）

A.55B.-1C.25D.-2$

思路：虽然（2-3叶展开式的系数有正有负，但（2-3了）5与（2+3x），对应系数的绝对值相

同，且（2+3x）,均为正数。所以只需计算（2+3x）5展开的系数和即可。令x=l,可得系

数和为5s,所以⑷+同+同+同+同+闷=5’

答案：A

例5：若(1-2力如4=%+4%+...+/0]4网4,则

(%+4)+(%+%)+…+(%+々2014)=—

思路：所求表达式可变形为：2013%+(%+4+・・・+%)]4)，从而只需求出4和系数和即

可。令X=0可得：4=1,令X=l可得：4+4+…+々2014=1，所以

2013a。+(q)+4+•••+^2014)=2014

答案：2014

例6：若C#"6=cj(〃EN),且(2-X)”=4+4X+Q/2+,则

%—4+%一…十(—l)Z〃等于()

A.81B.27C.243D.729

思路：由祟可得2〃+6=〃+2或(2〃+6)+("+2)=20,解得〃=4,所求表

达式只需令x=-l,可得%—4+%1)4=[2—(―1)]—81

答案：A

220l3

例7若(2x-1户”=%+qx+a^x.|-----Ha2013x(xeR)则

1

—F3+-^-+…+02013_/)

222^,23a.2233“一

11

A_____B.------D.

201320134026

思路：所求表达式中的项呈现2的指数赛递增的特点，与恒等式联系可发现令x=1,可得:

2

%+』％+与+—+雷=0,令x=0可得：4=-1,所以4+…+£^1=i—2，

0222220”°22220132

11，

所以所求表达式变形为：一十一色—,而qx=G013.(2xl-(-1)20'2=4026x,

2412a\

所以4=4026,从而表达式的值为」一

4026

答案：D

例8已知(1+尢)+(1+x)+・・・+(l+x)=4+4%+,••+若

4+。2+…+4-1=29—〃，则〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

2(2"-1)

思路:在恒等式中令x=1可得系数和%+44-----F=2+2?+•.•+2”=与

2-1

条件联系可考虑先求出%M“，令X=0,可得旬=〃，展开式中凡为最高次项系数，所以

(in—\,/.q+生+…+4”_i=2"+'—2—〃—1,所以2"+i—2—〃—1=29—〃，即

2n+,=32,解得〃=4

答案：B

例9：若（2%-3）5=4+4%+«2工2+%丁+为父fa/5,则

%+q+24+3/+44+5a§的值是（）

A.10B.20C.233D.-233

思路：观察所求式子中6项的系数刚好与二项展开式中为所在项的次数一致，可联想到赛

函数求导：卜"）'=放1,从而设f（x）=（2x—3）5,恒等式两边求导再令冗=1可解得

4+2a2+3%+4%+5%的值，再在原恒等式中令x=0计算出/即可

5axa5

解：设/（x）=（2x-3）=%+\+i^+/d+内/+a5x

44

f（x）=5（2x3）2=a}\2a2xI14a/I5a5x

令x=l可得：10=4+2%+3%+4a4+5%

而在（2冗一3）'=g+4%+02冗2+为Y3+Q/4+4炉中，令1=。可得：=-35=-243

/.%+q+2a2+3%+4%+5a5=-233

答案：D

例10：若等式（2工-1）刘4=%+4%+42/+~+/01/2°"对于一切实数1都成立，则

111

%+—a+-a>+•••+6/20,4)

°23~2015

12

A.----B.----C.----D.0

403020152015

思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积

分。例如：==（：.2工3—彳。〃％""）,再利用赋值法令

X=1即可得到所求表达式的值

解：（2x—l）2O"=%+qx+%/+…+。刈/刈4,两边同取不定积分可得:

12015

1/c«\2015―,1213ar

----12.X—1)+C=ClXH--Cl.XH—Cl^X'+•♦•+

4030v70a213220152014

1

令X=1可得：Cd-----=H--H--1

403002CL\13d-y+•••+2015%

令x=0可得：-------pC=0=>C=----