对顶角、余角和补角 教案 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

分课时教学设计《2.1.1对顶角、余角和补角》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本节课是在学习了“丰富的图形世界”“基本平面图形”两章内容的基础上，研究同一平面内两直线的位置关系，角与角之间的数量关系.理解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用，为后续学习平行、直角三角形等知识奠定基础。同时，本节课通过大量的情景引入，激发学生从数学的角度认识现实，从实际情境中抽象出数学模型。再通过让学生经历观察、猜想、操作、交流、推理等探索过程，发展学生的空间观念及推理能力，为后续学习“空间与图形”的其他知识做好铺垫。学习者分析学生在小学已经认识了平行线、相交线、角;在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识。这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能;在前面知识的学习过程中，教师为学生提供了广阔的可供探讨和交流的空间，学生已经经历了一些动手操作，探索发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力和借助图形分析问题解决问题的能力;能够将直观与简单推理相结合;在合作探究的过程中，学生在以前的数学学习中学生已经经历了小组合作的学习过程，积累了大量的方法和经验，具备了一定的合作与交流能力。教学目标1.理解对顶角、补角与余角的概念；2.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题；3.经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和初步的几何语言表达的能力；4.激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。教学重点从实际情境中抽象出数学模型，理解对顶角、余角、补角的概念及其性质。教学难点对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的理由的探究过程;同角(等角)的余角相等性质的应用。学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：观察图中的图片，你认为两条直线有哪些位置关系?在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。学生活动1：学生观察图片，积极举手回答.活动意图说明：通过观察图片，让学生从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状想象出相交线、平行线的几何图形，使新知识的产生建立在对周围环境的直接感知的基础上，让学生增强对生活中的相交线、平行线的认识，建立直观的、形象化的数学模型.环节二：相交线与平行线教师活动2：相交线与平行线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。平行线体现三点：在同一平面内、不相交、两条直线.学生活动2：学生通过观察图片，总结相交线与平行线的定义。活动意图说明：让学生理解相交线与平行线的定义，为下面对顶角、补角、余角做铺垫。环节三：对顶角、补角、余角教师活动3：观察·交流：如图，直线AB与CD相交于点O。(1)∠1与∠2的位置有什么关系?它们的大小有什么关系?(2)你能说明理由吗?与同伴进行交流。（1）∠1和∠2有公共顶点O；两边互为反向延长线.∠1=∠2.（2）证明：∵∠AOB和∠COD都是平角，∴∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3，∴∠1=∠2.对顶角：在图中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。图中，还有其他的角也构成对顶角吗？∠3与∠4特点：1.有公共顶点；2.两边互为反向延长线；3.对顶角是成对出现的。对顶角的性质：对顶角相等。符号语言：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2.判断两个角是否互为对顶角的方法：一看它们有没有公共顶点；二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就是看这两个角是否是两条直线相交所成的没有公共边的两个角．观察·思考：在图中,∠1与∠3有什么数量关系?∠1+∠3=180°互为补角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。图中，还有其他的角也构成互为补角的关系吗？∠2与∠3、∠2与∠4、∠1与∠4【思考】如果两个角的和是90°，那么这两个角有什么关系？互为余角：一般地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。符号语言：如图，∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互余.思考·交流：如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。(1)请在图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。(2)∠3与∠4的大小有什么关系?∠AOC与∠BOD呢?你能说明理由吗?与同伴进行交流。（1）互为补角的角：∠NOD与∠NOC，∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠2与∠AOC。∵∠NOD+∠NOC=180°,∴∠NOD与∠NOC互为补角,同理：∠1与∠AOC互为补角，∠2与∠BOD互为补角，∠2与∠AOC互为补角，互为余角的角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠2与∠3，∠1与∠4。∵∠1+∠3=90°,∴∠1与∠3互为余角，同理∠2与∠4互为余角，∵∠1=∠2，∴∠2+∠3=90°，∴∠2与∠3互为余角；同理∠1与∠4互为余角.（2）∠3=∠4，证明：∵∠1=∠2，∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4.∠AOC=∠BOD，证明：∵∠1=∠2，∠1+∠AOC=180°,∠2+∠BOD=180°，∴∠AOC=∠BOD.余角、补角的性质：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。学生活动3：学生小组合作，交流，回答问题.学生与教师一起总结对顶角的定义。学生理解对顶角的性质，并与教师一起总结判定两个角是否互为对顶角的方法。学生观察图，尝试回答。学生理解互为补角的含义，能进行判断。学生类比互为补角的概念，总结互为余角的概念。学生通过上面的学习完成实际问题。通过实际问题，总结出余角、补角的性质：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。活动意图说明：通过观察图象，让学生认识对顶角，引出对顶角、互为补角、互为余角的概念和“对顶角相等”的结论；之后设计问题，引导学生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等”的结论.在经历观察、推理、交流等过程中，进一步发展空间观念、推理能力和初步的有条理表达的能力.板书设计课题：2.1.1对顶角、余角和补角1.相交线与平行线：2.对顶角：3.补角、余角课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.在同一平面内两条直线的位置关系可能是（C）A.相交B.平行C.平行或相交D.平行且相交2.如图,直线AB与CD相交于点O,则∠BOD的度数为(B)A.40°B.50°C.55°D.60°3.如果一个角的补角是140°,那么这个角的余角是(B)A.60°B.50°C.40°D.30°4.直线AB,CD相交于点0,∠1=30°,∠2=70°,求∠EOB的度数.解：因为∠1与∠DOB是对顶角，所以∠DOB=∠1=30°.因为∠2=70°，所以∠EOB=∠2+∠DOB=70°+30°=100°.选做题：5.如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为(C)A.36°B.44°C.54°D.63°6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙内，如何测量？解：延长AO到点D，延长BO到点C，测量∠COD的度数，根据对顶角相等，可得∠AOB＝∠COD，则∠AOB的度数可测得.【综合拓展类作业】7.观察如图所示的各角,寻找对顶角(不含平角).(1)图①中有2对对顶角,图②中有6对对顶角,图③中有12对对顶角;(2)若有n条直线相交于一点，共有n(n-1)对对顶角;(用含n的代数式表示)(3)若有2022条直线相交于一点,共有4086462对对顶角.课堂总结1.相交线与平行线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。2.对顶角：有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。3.互为补角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。互为余角：一般地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。余角、补角的性质：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。作业设计【知识技能类作业】必做题：1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（C）2.若∠A=23°,则∠A余角的大小是(B)A.57°B.67°C.77°D.157°3.已知点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，且直线a，b，c两两相交，那么符合以上条件的图形是（D）选做题：4.如图，直线AB,CD,EF相交于点0，则∠1+∠2+∠3的度数是180°.5．如图,直线AB,CD相交于点O,若∠BOD=40°,OA平分∠COE,则∠AOE的度数为40°.【综合拓展类作业】6.如图所示，l1，l2，l3相交于点O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数.解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝