河北省石家庄市润德学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年河北省石家庄市润德学校八年级（上）期中数学试卷（后附答案）一.选择题（本大题共16个小题，共38分.1-6题，每小题3分，7-16题，每小题3分。1．（3分）下列各组图形中，属于全等图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）要使分式1x+3有意义，xA．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣33．（3分）下列实数：3.1415926，39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2−5，π3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．12 B．8 C．9 D．5．（3分）将分式xy2x+y中的x，yA．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，BC与ED交于点O，若∠A＝50°，∠B＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°7．（2分）下列说法正确的是（）A．﹣81的平方根是﹣9 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．81的算术平方根是9 D．近似数5.2万精确到了千位8．（2分）下列二次根式中，可以与2合并的是（）A．20 B．12 C．83 D．9．（2分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（）A．如果x＞0，那么x2＞0 B．全等三角形的面积相等 C．若a＝2，则a3＝8 D．如果a＝b，那么a2＝b210．（2分）已知1x−1A．8 B．72 C．2711．（2分）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．612．（2分）若6−13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+13）A．5−313 B．3 C．31313．（2分）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加23cm，宽增加73cmA．18cm2 B．20cm2 C．36cm2 D．48cm214．（2分）若关于x的方程4x−1+aA．a＜8且a≠2 B．a＜8且a≠4 C．a＜8且a≠1 D．a＜815．（2分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．n2−1 B．n2−2 C．16．（2分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P从点A开始以2cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（）s．A．1 B．1或2 C．1或115 D．1或115二.填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各4分，每空2分.）17．（2分）若分式|x|−22−x的值为0，则x＝18．（4分）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y值，则x的值为．19．（4分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．【发现问题】如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF、延长BE交CF于点D．则∠BDC＝°；【类比探究】若∠BAC＝∠EAF＝α，其余条件不变，则∠BDC＝°．三.解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（17分）（1）−23（2）354（3）(23（4）4（x+1）2＝81；（5）x−8x−721．（6分）先化简：（a−3aa+1）÷a22．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m（1）m的值是；（2）求|m+1|+(m−1（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与d−4互为相反数，求2c+3d的平方根．23．（9分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．24．（9分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？25．（12分）阅读材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如33，23−1解：33=3×4−23在学习上述解题过程后，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：12+3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．学会解决问题：（1）化简25−3（2）计算二次根式5+26的值（3）比较大小：25−3（4）计算：13（5）若a=15−2，求a4﹣4a326．（11分）综合与实践：（1）某学习小组在探究王角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘对图2（∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段DE、BD、CE之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：（3）如图3，已知△ABC，AH是BC边上的高，AH＝1．过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，延长HA交EG于点I，若AI＝2，请直接写出△AEG的面积．（4）如图4，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△ABD与△CEF的面积之和．

2024-2025学年河北省石家庄市润德学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案CCDDAADDCBB题号1213141516答案BABCC一.选择题（本大题共16个小题，共38分.1-6题，每小题3分，7-16题，每小题3分。1．（3分）下列各组图形中，属于全等图形的是（）A． B． C． D．【分析】由全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，故选：C．【点评】此题主要考查了全等形的概念，关键是掌握全等形的形状和大小都相同．2．（3分）要使分式1x+3有意义，xA．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故选：C．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3．（3分）下列实数：3.1415926，39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2−5，π3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：在实数：3.1415926，39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2−5，π3，2.1⋅5⋅中，无理数有故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001．4．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．12 B．8 C．9 D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A.12B.8=22C.9=D.30是最简二次根式．故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．5．（3分）将分式xy2x+y中的x，yA．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，求解即可．【解答】解：2x⋅2y2⋅2x+2y故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，BC与ED交于点O，若∠A＝50°，∠B＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°【分析】根据全等三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝25°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝75°，∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝25°，∴∠BOD＝∠D+∠DCB＝75°+25°＝100°，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．7．（2分）下列说法正确的是（）A．﹣81的平方根是﹣9 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．81的算术平方根是9 D．近似数5.2万精确到了千位【分析】根据平方根、算术平方根、近似数的精确度分别计算判断即可．【解答】解：A、﹣81没有平方根，故此选项不符合题意；B、平方根等于它本身的数是0，故此选项不符合题意；C、81=9D、近似数5.2万精确到了千位，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平方根，算术平方根，近似数和有效数字，熟练掌握这些知识点是解题的关键．8．（2分）下列二次根式中，可以与2合并的是（）A．20 B．12 C．83 D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解；A、20=4×5=25B、12=23，不能与2C、83=2D、18=9×2=32故选：D．【点评】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．9．（2分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（）A．如果x＞0，那么x2＞0 B．全等三角形的面积相等 C．若a＝2，则a3＝8 D．如果a＝b，那么a2＝b2【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据实数的乘方、全等三角形的判定、立方根判断即可．【解答】解；A、如果x＞0，那么x2＞0，逆命题是如果x2＞0，那么x＞0，是假命题，不符合题意；B、全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；C、若a＝2，则a3＝8，逆命题是若a3＝8，则a＝2，是真命题，符合题意；D、如果a＝b，那么a2＝b2，逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2分）已知1x−1A．8 B．72 C．27【分析】把已知整理成x﹣y＝﹣3xy，再整体代入求解即可．【解答】解：∵1x−1∴y﹣x＝3xy，即x﹣y＝﹣3xy，5x+xy−5yx−xy−y=5(x−y)+xy=5×(−3xy)+xy=−14xy=7故选：B．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握整体思想并且将x﹣y＝﹣3xy整体代入是关键．11．（2分）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜∴4＜18∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．12．（2分）若6−13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+13）A．5−313 B．3 C．313【分析】首先根据13的整数部分，确定6−13的整数部分x的值，则y【解答】解：∵9＜13＜16∴3＜13∴6−13的整数部分x则小数部分是：6−13−2＝4∴y＝4−13则（2x+13）y＝（4+13）（4＝16﹣13＝3．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−13的整数部分x与小数部分y13．（2分）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加23cm，宽增加73cmA．18cm2 B．20cm2 C．36cm2 D．48cm2【分析】利用算术平方根求出正方形的边长，进而求出原矩形的边长，即可得出答案．【解答】解：∵一个面积为192cm2的正方形纸片，边长为：83cm，∴原矩形的长为：83−23=63（cm），宽为：83−73∴原长方形纸片的面积为：63×3=18故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意得出原矩形的边长是解题关键．14．（2分）若关于x的方程4x−1+aA．a＜8且a≠2 B．a＜8且a≠4 C．a＜8且a≠1 D．a＜8【分析】表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．【解答】解：分式方程整理得：4x−1去分母得：4﹣a＝4x﹣4，解得：x=8−a由分式方程的解为正数，得到8−a4＞0，且解得：a＜8且a≠4．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解集，解题关键是始终注意分母不为0这个条件．15．（2分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．n2−1 B．n2−2 C．【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是n2故选：C．【点评】本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前（n﹣1）行数据的个数是解决本题的关键．16．（2分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P从点A开始以2cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（）s．A．1 B．1或2 C．1或115 D．1或115【分析】证明△CPM∽△QCN，分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠ECD，∵PM⊥BD，AB⊥BD，∴PM∥AB∥QN∥ED，∠PMC＝∠CNQ＝90°，∴∠CPM＝∠CAB，∴∠CPM＝∠QCN，∴△CPM∽△QCN，当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝6﹣3t，∴t＝1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，∴t=11综上所述：t的值为1或115故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．二.填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各4分，每空2分.）17．（2分）若分式|x|−22−x的值为0，则x＝﹣2【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可．【解答】解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，解得x＝±2，且x≠2，∴x＝﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．18．（4分）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是2，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y值，则x的值为0或1．【分析】当输入x的值是64时，根据程序框图列式计算即可；再根据题意求得x的值即可．【解答】解：当输入x的值是64时，则64的算术平方根为8，其立方根为2，再取2的算术平方根为2，它是无理数，输出结果，即输出的y值是2，当x＝0时，0=0，30=当x＝1时，1=1，31=则x的值为0或1，故答案为：2；0或1．【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．19．（4分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．【发现问题】如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF、延长BE交CF于点D．则∠BDC＝30°；【类比探究】若∠BAC＝∠EAF＝α，其余条件不变，则∠BDC＝α或（180﹣α）°．【分析】（1）设AC交BD于点G，由∠BAC＝∠EAF＝30°，得∠BAE＝∠CAF＝30°+∠CAE，而AB＝AC，AE＝AF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，所以∠ABE＝∠ACF，则∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝30°，于是得到问题的答案；（2）分两种情况讨论，一是点D在线段FC上，由∠BAC＝∠EAF＝α，得∠BAE＝∠CAF＝α+∠CAE，可证明△ABE≌△ACF，得∠ABE＝∠ACF，则∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝α；二是点D在线段FC的延长线上，则∠BAE＝∠CAF＝α﹣∠CAE，可证明△ABE≌△ACF，得∠AEB＝∠AFC，由∠AEB+∠AED＝180°，得∠AFC+∠AED＝180°，所以∠BDC+∠EAF＝180°，则∠BDC＝180°﹣α，于是得到问题的答案．【解答】解：（1）如图1，设AC交BD于点G，∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°+∠CAE，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∴∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝30°，故答案为：30．（2）如图1，点D在线段FC上，∵∠BAC＝∠EAF＝α，∴∠BAE＝∠CAF＝α+∠CAE，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∴∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝α；如图2，点D在线段FC的延长线上，则∠BAE＝∠CAF＝α﹣∠CAE，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠AEB＝∠AFC，∵∠AEB+∠AED＝180°，∴∠AFC+∠AED＝180°，∴∠BDC+∠EAF＝360°﹣180°＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠EAF＝180°﹣α，故答案为：α或（180﹣α）．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、四边形的内角和等于360°等知识，证明△ABE≌△ACF是解题的关键．三.解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（17分）（1）−23（2）354（3）(23（4）4（x+1）2＝81；（5）x−8x−7【分析】（1）化简各个二次根式再合并同类二次根式；（2）根据二次根式的乘除法则计算即可；（3）利用完全平方公式，分母有理化，负整数指数幂的性质计算即可；（4）利用直接开方法解方程；（5）去分母化为整式方程求解．【解答】解：（1）原式＝﹣23+3=3（2）原式＝﹣3×=−6（3）原式＝12﹣43+1−＝9﹣53；（4）4（x+1）2＝81；（x+1）2=81x+1＝±92x1=72，x2（5）x−8x−7x﹣8+1＝8（x﹣7），x﹣7＝8x﹣56，7x＝49，x＝7，经检验，x＝7是分式方程的增根．原方程无解．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分式方程，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．21．（6分）先化简：（a−3aa+1）÷a【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，先取合适的数进行运算即可．【解答】解：（a−3aa+1=a(a+1)−3aa+1•=a2−2a=a(a−2)=a∵要使分式有意义，故a+1≠0且a﹣2≠0，∴a≠﹣1且a≠2，∴当a＝﹣2时，原式=−2【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．22．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m（1）m的值是−2+2（2）求|m+1|+(m−1（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与d−4互为相反数，求2c+3d的平方根．【分析】（1）根据两点间的距离公式求出m即可；（2）把（1）中求出的m代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可；（3）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于d，c的方程，解方程求出c，d，从而求出答案即可．【解答】解：（1）∵点A表示−2∴m=−2故答案为：−2（2）由（1）可知：m=−2∴|m+1|+=|−2=|−2=3−2＝2；（3）∵|2c+6|与d−4互为相反数，∴|2c+6|+d−42c+6＝0，d﹣4＝0，解得：c＝﹣3，d＝4，∴2c+3d＝2×（﹣3）+3×4＝﹣6+12＝6，∴2c+3d的平方根是：±6【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握绝对值与偶次方的非负性、平方根的定义和二次根式的性质．23．（9分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（9分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意得：2500x=2解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，则x+30＝80．答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060，解得：a≤20，答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．【点评】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．25．（12分）阅读材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如33，23−1解：33=3×4−23在学习上述解题过程后，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：12+3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．学会解决问题：（1）化简25−3=（2）计算二次根式5+26的值3+（3）比较大小：25−3（4）计算：13（5）若a=15−2，求a4﹣4a3【分析】（1）直接分母有理化得出答案；（2）直接利用配方法得出答案；（3）利用实数的大小比较即可；（4）直接分母有理化得出答案；（5）根据题意得出a的值，再得出a2﹣4a＝1，再把已知变形得出答案．【解答】解：（1）原式==2(=5故答案为：5+（2）原式==(=(=3故答案为：3+（3）∵25−3又∵5+∴25故答案为：＞；（4）原式=12×（3−1=12×=1＝9；（5）∵a=1∴a﹣2=5∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5，∴a2﹣4a＝1，∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3＝a2﹣4a+3＝1+3＝4．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．26．（11分）综合与实践：（1）某学习小组在探究王角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘对图2（∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段DE、BD、CE之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：（3）如图3，已知△ABC，AH是BC边上的高，AH＝1．过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，延长HA交EG于点I，若AI＝2，请直接写出△AEG的面积．（4）如图4，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△ABD与△CEF的面积之和．【分析】（1）由题意可得∠BDA＝∠CEA＝90°，∠BAD+∠CAE＝90°可得