浙江省杭州市外国语学校2024-2025学年高三（下）数学第2周阶段性训练模拟练习【含答案】

浙江省杭州市外国语学校2024-2025学年高三（下）数学第2周阶段性训练模拟练习一．选择题（共8小题）1．设a，b，c分别为函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝xlgx﹣1，h（x）＝xex﹣1的零点，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c2．若tan（α+β）＝7，，则tan2α＝（）A． B．﹣2 C． D．3．已知函数f（x）＞0，且若f（8）＝1，则（）A．f（1）≥3 B．f（2）≤10 C．f（3）≤31 D．f（4）≤164．已知cos（﹣α）＝，则sin（α+）＝（）A．± B． C．﹣ D．5．若，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．6．已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5 B．9 C．4+ D．107．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7＞0，a6+a9＜0，则（）A．数列{an}为递增数列 B．a8＞0 C．Sn的最大值为S7 D．S14＞08．当x＝1时，函数f（x）＝alnx+bx2+3取得最大值2，则f（3）＝（）A．2ln3+2 B． C．2ln3﹣6 D．﹣4二．多选题（共4小题）（多选）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AC，A1B的中点，则（）A．MN∥平面ADD1A1 B．MN⊥AC1 C．直线MN与直线A1C1所成角为 D．若，则平面M，N，C1，E四点共面（多选）10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2π B．函数y＝f（x）在单调递减 C．函数y＝f（x）的图象关于直线对称 D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象（多选）11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）A．对于任意直线m，均有AE⊥PF B．不存在直线m，满足 C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D．存在直线m，使|AF|+|BF|＝2|DF|（多选）12．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为AC的中点，AB＝BD＝2，AD＝，且AC⊥BD，则（）A．BM⊥平面ACD B．O∉平面ABC C．O到AC的距离为 D．二面角A﹣CD﹣O的正切值为三．填空题（共3小题）13．已知a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4，则+ln的最小值为．14．已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），c＞0，以F1F2为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为P，若直线PF1与圆相切，则双曲线的离心率是．15．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b＝．四．解答题（共5小题）16．已知函数在定义域上有两个极值点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若，求a的取值范围．17．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．（1）求椭圆方程；（2）设直线l1：y＝kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为k1，直线BC的斜率为k2．①求的值；②若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，求的值．18．已知数列{an}满足，．（1）证明：是等比数列；（2）设，证明：．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，E为棱PB上一点．（1）若E是PB的中点，求证：直线CE∥平面PAD；（2）若，且二面角E﹣AC﹣B的平面角的余弦值为，求三棱锥E﹣ABC的体积．20．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）．（1）当a＝1，b＝﹣3时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若f（x）的两个不动点为x1，x2，且f（x1）+x2＝，求实数b的取值范围．

参考答案与试题解析题号12345678答案DADDABCC一．选择题（共8小题）1．【解答】解：因为单调递增，令y＝0，解得x＝1，所以a＝1；若0＜x≤1，则xlgx≤0，所以xlgx﹣1＝0时，x＞1，即b＞1；若x≥1，则xex＞1，所以xex﹣1＝0时，0＜x＜1，即0＜c＜1．综上所述，0＜c＜1＝a＜b．故选：D．2．【解答】解：∵，∴＝21，∴tan（α+β）tan（α﹣β）＝21，又tan（α+β）＝7，∴tan（α﹣β）＝3，∴tan2α＝tan[（α+β）+（α﹣β）]＝＝＝．故选：A．3．【解答】解：由f（8）＝1逆推得，f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝32→f（2）＝64→f（1）＝128；f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝32→f（2）＝64→f（1）＝21；f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝5→f（2）＝10→f（1）＝20；f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝5→f（2）＝10→f（1）＝3；f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝1→f（4）＝2→f（3）＝4→f（2）＝8→f（1）＝16；f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝1→f（4）＝2→f（3）＝4→f（2）＝1→f（1）＝2．所以，f（4）≤16．故选：D．4．【解答】解：∵已知cos（﹣α）＝，则sin（α+）＝cos[﹣（α+）]＝cos（﹣α）＝，故选：D．5．【解答】解：根据题意，设||＝t，则|+|＝|﹣|＝2t，变形可得：2+2+2•＝2+2﹣2•，则有•＝0，（）•＝2﹣•＝3t2，则cos＜，＞＝＝＝，又由0≤＜，＞≤π，则向量与的夹角为，故选：A．6．【解答】解：根据题意，x+y＝++8，则（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，变形可得：（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，又由+≥2＝4，当且仅当y＝2x时等号成立，则有（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，又由x，y＞0，则t＞0，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t≥9或t≤﹣1，又由t＞0，则t≥9，则x+y的最小值为9；故选：B．7．【解答】解：因为等差数列{an}中，a7＞0，a6+a9＝a7+a8＜0，所以a8＜0，d＜0，数列{an}为递减数列，AB错误，当n＝7时，Sn取得最大值，C正确，因为S14＝＝7（a7+a8）＜0，D错误．故选：C．8．【解答】解：因为f（x）＝alnx+bx2+3，所以f′（x）＝+2bx，又当x＝1时，函数f（x）＝alnx+bx2+3取得最大值2，所以f（1）＝2，f′（1）＝0，即，解得b＝﹣1，a＝2，所以f（x）＝2lnx﹣x2+3，f′（x）＝﹣2x＝，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，符合题意，所以f（3）＝2ln3﹣6．故选：C．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AC，A1B的中点，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AB＝2，则A（2，0，0），B（2，2，0），M（1，1，0），N（2，1，1），＝（1，0，1），AB⊥平面ADD1A1，∴＝（0，2，0）是平面ADD1A1的法向量，∵＝0，MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；C1（0，2，2），＝（﹣2，2，2），∴＝﹣2+0+2＝0，∴MN⊥AC1，故B正确；A1（2，0，2），＝（﹣2，2，0），cos＜，＞＝＝＝﹣，∴直线MN与直线A1C1所成角为，故C错误；∵，∴E（2，，2），∴＝（0，，1），＝（﹣1，1，2），设平面MNC1的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，3，﹣1），则点E到平面MNC1的距离为d＝＝0，∴若，则平面M，N，C1，E四点共面，故D正确．故选：ABD．10．【解答】解：由图象可知：A＝2，周期，∴；由，解得：，故函数．对于A：T＝π，故A错误；对于B：当时，因为[﹣π，0]上正弦函数y＝sinx先减后增，不单调，所以y＝f（x）在上不单调，故B错误；对于C：当时，即直线是y＝f（x）的一条对称轴，故C正确；对于D：y＝f（x）的图像向右平移个单位得到的图像，故D正确．故选：CD．11．【解答】解：对于A：如图1：由抛物线知O为DF的中点，l∥y轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知|AP|＝|AF|，所以AE⊥PF，故A正确；B选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞x2，F（1，0），P（﹣1，y1），E为线段PF的中点，则E（0，），＝（1﹣x2，﹣y2），＝（x2，y2﹣），由，得，解得x2＝，y1＝3y2，又y12＝4x1，y22＝4x2，故B（，），A（3，2），D（﹣1，0），可得kDA＝＝，kDB＝＝，故存在直线m，满足．故B不正确；C选项：由题意知，E为线段PF的中点，从而设A（x1，y1），则E（0，），直线AE的方程：y＝（x+x1），与抛物线方程y2＝4x联立可得：y＝（+x1），由y12＝4x1，代入左式整理得y1y2﹣2y12y+y13＝0，∴Δ＝4y14﹣4y1y13＝0，所以直线AE与抛物线C相切，故C正确；对于D：设AB的方程my＝x+1，联立，则y2＝4（my﹣1），∴y1+y2＝4m，y1y2＝4，由|AF|+|BF|＝|BH|+|AP|＝2++＝2+[（y1+y2）2﹣2y1y2]＝4m2，而|DF|＝2，由m（4﹣y22）＝4y2，得Δ＝16m2﹣16＞0，解得：m2＞1，故4m2＞4＝2|DF|，故D错误；故选：AC．12．【解答】解：设△ABC的中心为G，过点G作直线l⊥平面ABC，则球心O在l上，由M为AC的中点，得BM⊥AC，因为AC⊥BD，所以AC⊥平面BDM，则AC⊥DM，所以AD＝DC＝，所以AD2+DC2＝AC2，所以∠ADC＝90°，DM＝AC＝1，所以DM2+BM2＝BD2，所以BM⊥DM，可得BM⊥平面ACD，所以球心O在直线MB上，因此O与G重合，过M作MH⊥CD于H，连接OH，则OH⊥CD，从而∠OHM为二面角A﹣CD﹣O的平面角，因为OM＝＝，HM＝＝，所以O到AC的距离为，且tan∠OHM＝＝．故选：AD．三．填空题（共3小题）13．【解答】解：a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4logab+＝4，所以logab＝，所以a＝b2，则+ln＝lnb，令f（x）＝lnx+，x＞0且x≠1，则f′（x）＝＝，当x∈（0，1）∪（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故x＝2时，f（x）取得最小值f（2）＝1+ln2，所以+ln的最小值为1+ln2．故答案为：1+ln2．14．【解答】解：由题意可得：EM∥F2P，又，F1（﹣c，0），F2（c，0），又，则＝，则，在直角三角形PF1F2中，由勾股定理可得：，即，即7b＝4a，即49（c2﹣a2）＝16a2，即．故答案为：．15．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|＝2a，＝4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2＝4c2+2|PF1||PF2|＝4a2，∴36＝4（a2﹣c2）＝4b2，∴b＝3．故答案为3．四．解答题（共5小题）16．【解答】解：（1）由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），，因为函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，则x1，x2为方程ax2﹣2x+1＝0的两个不等的正根，所以，解得0＜a＜1，所以实数a的取值范围为（0，1）；（2）由（1）得0＜a＜1，，所以＝，代入，得，其中0＜a＜1，则，得，设g（x）＝x﹣xlnx，0＜x＜1，则g′（x）＝1﹣（1+lnx）＝﹣lnx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）上单调递增，又，所以g（a）＜g（），所以0＜a＜，即a的取值范围为（0，）．17．【解答】解：（1）由题意a＝2c＝2，从而a＝2，c＝1，所以椭圆方程为；（2）①由，化简得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0（*），则Δ＝（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，解得：m2＝4k2+3，此时方程（*）可化为：m2x2+8kmx+16k2＝0，解得：（由条件可知：k，m异号），设P（x0，y0），则，，所以，所以，因为l1∥l2，所以可设直线l2：y＝kx+n（n≠0，n≠m），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实根，则，，因为A，C两点关于原点对称，所以C（﹣x1，﹣y1），则＝，所以；②设直线l1与y轴交于点Q，直线l2与y轴交于点N，则S△PAB＝S△QAB，于是，由①可知：OP∥BC，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，则还需|OP|＝|BC|，即|OP|2＝|BC|2，由①可知：，所以，又B（x2，y2），C（﹣x1，﹣y1），所以＝，由|OP|2＝|BC|2可得：4m2n2＝（4k2+3）2，又m2＝4k2+3，所以m2＝4n2，即m＝±2n，当m＝2n时，，当m＝﹣2n时，，综上，．18．【解答】解：（1）由已知得，即，