《高等数学(下册)》课件-第8章

第8章多元函数微分学8.1多元函数的极限与连续

8.2偏导数

8.3全微分

8.4多元复合函数与隐函数的微分法

8.5偏导数的几何应用8.6二元函数的极值

8.1多元函数的极限与连续

8.1.1二元函数的定义

在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：

例8-1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系

V=pr2h

这里，当r、h在集合{(r，h)|r>0，h>0}内取定一对值(r，h)时，V的对应值就随之确定.

例8-2一定量的理想气体的压强P、体积V和绝对温度T之间具有关系

其中，R为常数.这里，当V、T在集合{(V，T)｜V>0，T>0}取值时，P的对应值就随之确定.

例8-3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻，由电学知识我们知道，它们之间具有关系

当R1和R2取定一对数值时，R的对应值就随之确定.

上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出二元函数的定义.

定义8-1设有三个变量x、y和z，如果当x、y在一定范围D任取一对数值时，变量z按照一定的法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称变量z是变量x、y的二元函数，记为

z=f(x，y)，(x，y)∈D其中，D称为函数的定义域，集合

M={z｜z=f(x，y)，(x，y)∈D}

称为函数的值域.

类似地可以定义三元及三元以上的函数.把二元及二元以上的函数统称为多元函数.本节我们主要讨论二元函数.

与一元函数类似，用算术式表达的二元函数u=f(x，y)的定义域，就是使该函数式有意义的自变量的取值范围，其图形为一平面区域.例如，函数z=ln(x+y)的定义域为

{(x+y)｜x+y>0}

(如图8-1所示)，就是一个无界开区域.又如，函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为

{(x+y)｜x2+y2≤1}

(如图8-2所示)，这是一个闭区域.图8-1图8-2

例8-4求下列函数的定义域并画出定义域的图形.

(1) .

(2)

.

解

(1)要使函数有意义，需满足条件

因此该函数的定义域为｛(x，y)|x2≤y<1－x2}，其图形为y=x2与y=1－x2围成的部分，包括曲线y=1－x2，如图8-3所示.即x2<y≤1－x2

图8-3

(2)要使函数有意义，需满足条件

即

所以该函数的定义域为{(x，y)|y2≤4x且0≤y<x2}，其图形如图8-4所示.图8-4一般来说，一元函数的图形是平面上的一条曲线.对于二元函数z=f(x，y)，因为有三个变量，所以我们可以用空间直角坐标系来描绘它的图形.设函数z=f(x，y)的定义域为

xOy面上的区域D，对于任意取定的点P(x，y)∈D，对应的函数值为z=f(x，y).于是就确定了空间直角坐标系中的一个点M(x，y，z)，当(x，y)取遍D上的一切点时，得到一个空间点集为

{(x，y，z)｜z=f(x，y)，(x，y)∈D}

这个点集便形成了一个曲面，这个曲面就是二元函数z=f(x，y)的图形，如图8-5所示.图8-58.1.2二元函数的极限

对一元函数y=f(x)，我们曾考察过当自变量趋于x0时,对应函数值f(x)变化趋势.对二元函数z=f(x，y)，我们同样也需要考察当自变量x、y无限趋近于常数x0，y0时，对应的函数值的变化趋势，这就是二元函数的极限问题.

定义8-2设二元函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)的某去心邻域内有定义，如果当点(x，y)以任意方式趋向于点(x0，y0)时，f(x，y)总趋向于一个确定的常数A，则称A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限，记为或

f(x，y)→A((x，y)→(x0，y0))

也可记为

例8-5考察函数

当P(x，y)→O(0，0)时的极限情况.

解当P(x，y)沿x轴方向趋向于O(0，0)时，有

当P(x，y)沿x=y方向趋向于O(0，0)时，有

因此，由二元函数极限的定义知，当P(x，y)→O(0，0)时，f(x，y)没有极限.

一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用.

例8-6求 .

解8.1.3二元函数的连续性

由二元函数极限的概念，再结合一元函数连续性定义，我们给出二元函数连续性的定义.

定义8-3设二元函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域内有定义，如果

则称函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)连续.

如果函数z=f(x，y)在D上的每一点都连续，则称函数z=f(x，y)在D上连续，或者说z=f(x，y)是D上的连续函数.同样，二元函数的连续性也可用与一元函数另一种定义类似的形式来叙述，即可用数学式表示为

即

根据极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数.多元连续函数的复合函数也是连续函数.与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的(这里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合).例如

此式是两个多项式之商，它是多元初等函数.又例如sin(x+y)是由基本初等函数sinm与多项式m=x+y复合而成的，它也是多元初等函数.根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们可以得出如下结论：一切多元初等函数在其定义域内是连续的.即如果f(x，y)是初等函数，P0(x0,y0)是其定义区域内的一点，则

例8-7求

.

解因为函数 是初等函数，点(1，2)是其定义域内的点，所以有

例8-8求 .

解

8.2偏导数

8.2.1偏导数的概念与计算

1.偏导数的概念

定义8-4设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内有定义，如果极限

存在，则称此极限为函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为即

类似，函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数定义为

记为(8-2)(8-1)如果函数z=f(x，y)在区域D内每一点(x，y)处的对x偏导数都存在，则在区域D内定义一个新的函数，这个函数称为z=f(x，y)对x的偏导函数(简称为偏导数)，记为

类似地，可以定义函数z=f(x，y)对自变量y的偏导数,记为

由偏导数的定义，求二元函数z=f(x，y)的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看成是固定的，所以求一元函数的求导法仍然适用.偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数，它们的求导方法也与二元函数的情形完全类似.

例8-9求z=x2+3xy+y2在点(1，2)的偏导数.

解将y看成常数，得

同理

因此得

例8-10求z=x2sin2y的偏导数.

解

例8-11设z=xy(x>0，x≠1)，求证：

证因为 ， ，得

例8-12求 的偏导数.

解将y和z看成常数，得

由于所给函数关于自变量的对称性，得

二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处的偏导数的几何意义：

由偏导数的定义，fx(x0，y0)可看成函数z=f(x，y0)在x0处

的导数，根据导数的几何意义，fx(x0，y0)是曲线

在M0(x0，y0)处的切线对x轴的斜率.同理，fy(x0，y0)是曲线

在M0(x0，y0)处的切线对y轴的斜率(如图8-6所

示).图8-6

例8-13考察函数

在点(0，0)处的偏导数.

解

同样有

即函数在点(0，0)处的两个偏导数都存在.但由第8.2.1节讨论知道，该函数点(0，0)处是不连续的.

8.2.2高阶偏导数

一般情况，函数z=f(x，y)的两个偏导数fx(x，y)和fy(x、y)仍然是x、y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x，y)的二阶偏导数，依照对自变量求导次序不同，有下列四个二阶偏导数：其中，fxy(x，y)和fyx(x，y)称为二阶混合偏导数.类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例8-14设z=x3y2－3xy3－xy+1，求

解由于得

由此可以看出： ，这不是偶然现象，事实上有如下定理.

定理8-1如果函数z=f(x，y)的两个混合偏导数 与 在区域D内连续，那么在该区域内这两个混合偏导数必相等.

该定理说明，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关.定理证明从略.

例8-15验证函数 满足方程

解因为 ，得

由此可以看出

例8-16证明函数 满足方程

其中， .

证由于函数关于自变量的对称性，得

因此

8.3全微分

8.3.1全微分的定义

根据一元函数微分学增量与微分的关系，可得

f(x+Δx，y)－f(x，y)≈fx(x，y)Δx

f(x，y+Δy)－f(x，y)≈fy(x，y)Δy

我们称f(x+Δx，y)－f(x，y)、f(x，y+Δy)－f(x，y)分别为函数z=f(x，y)对x、y的偏增量，fx(x，y)Δx与fy(x，y)Δy称为函数z=f(x，y)对x、y的偏微分.

在实际问题中，经常需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所取得的增量，这就是全增量的问题.对于二元函数z=f(x，y)，则

Δz=f(x+Δx，y+Δy)－f(x，y)其中，Δz为函数z=f(x，y)在点(x，y)处的全增量.

一般来说，计算多元函数的全增量比较复杂.它能否像一元函数一样，用自变量的增量的线性函数来近似地代替函数的全增量呢？为此我们引入如下定义.

定义8-5如果函数z=f(x，y)在点(x，y)处的全增量

Δz=f(x+Δx，y+Δy)－f(x，y)

可表示为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

其中，A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，

，则称函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分，而AΔx+BΔy称为函数z=f(x，y)在点(x，y)的全微分，记为dz，即

dz=AΔx+BΔy

如果函数z=f(x，y)在区域D内每一点都可微分，则称函数z=f(x，y)在区域D内可微分.

如果函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微分，即

f(x+Δx，y+Δy)－f(x，y)=AΔx+BΔy+o(ρ)

也就是

f(x+Δx，y+Δy)=f(x，y)+AΔx+BΔy+o(ρ)

因此

这说明函数z=f(x，y)在点(x，y)处连续.于是我们有如下定理.

定理8-2如果函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，则函数在该点必连续.

8.3.2全微分存在的必要条件与充分条件

定理8-3

(必要条件)如果函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分，则函数z=f(x，y)在点(x，y)的偏导数 都存在，而且有

证设z=f(x，y)在点(x，y)可微分，因此有

f(x+Δx，y+Δy)－f(x，y)=AΔx+BΔy+o(ρ)取Δy=0，得

f(x+Δx，y)－f(x，y)=AΔx+o(|Δx|)

因此得

但是，如果一个函数z=f(x，y)偏导数存，函数不一定可微分.例如函数

在(0，0)处，偏导数存在，且fx(0，0)=0，fy(0，0)=0，从而

我们注意到

不存在，即Δz－［fx(0，0)Δx+fy(0，0)Δy］不能表示为ρ的高阶无穷小，故函数z=f(x，y)在(0，0)处是不可微分的.

定理8-4

(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数

连续，则函数在该点可微分.习惯上，我们将自变量x、y增量Δx与Δy分别记为dx与dy，并分别称为自变量x与y的微分.因此，对于可微分的函数z=f(x，y)，其全微分可写成

类似地，对于可微分的三元函数u=f(x，y，z)，也有

例8-17计算函数z=x2y+y2的全微分

解因为 ， ，得

dz=2xydx+(x2+2y)dy(8-3)

例8-18计算函数z=exy在点(2，1)处的全微分.

解因为 得

因此

dz｜(1，2)=e2dx+2e2dy

例8-19计算函数 的全微分.

解因为

得8.3.3全微分在近似计算中的应用

由全微分的定义知，如果函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微分，则函数的全增量与全微分之差是一个比

高阶的无穷小，因此当｜Δx｜、｜Δy｜都较小时，则有

Δz≈dz=fx(x，y)Δx+fy(x，y)Δy (8-4)

又因为

Δz=f(x+Δx，y+Δy)－f(x，y)

所以有

f(x+Δx，y+Δy)≈f(x，y)+fx(x，y)Δx+fy(x，y)Δy

(8-5)

例8-20计算(1.04)2.02的近似值.

解设f(x，y)=xy，则

(1.04)2.02=f(1.04，2.02)

取x=1、y=2，Δx=0.04、Δy=0.02.由于

f(1，2)=1，fx(1，2)=2，fy(1，2)=0

得

(1.04)2.02=f(1.04，2.02)≈1+2×0.04+0×0.02=1.08

8.4多元复合函数与隐函数的微分法

8.4.1多元复合函数的求导法则

定理8-5如果函数u=φ(x，y)及v=ψ(x，y)都在点(x，y)具有对x及y的偏导数，函数z=f(u，v)在对应点(u，v)具有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x，y)，ψ(x，y)］在点(x，y)的两个偏导数存在，而且有(8-6)(8-7)特别地，当z=f(u，v)，u=φ(t)，v=ψ(t)，则其复合函数z=f［φ(t)，ψ(t)］的导数为

称这为z对t的全导数.

类似地，可以把定理推广到中间变量和自变量为两个以上的情形.例如

(1)设函数z=f(u，v，w)，u=φ(t)，v=ψ(t)，w=ω(t)，则复合函数z=f［φ(t)，ψ(t)，ω(t)］对t的全导数为(8-9)(8-8)

(2)设函数z=f(u，v，w)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)w=ω(x，y)，则复合函数z=f［φ(x，y)，ψ(x，y)，ω(x，y)］的偏导数为(8-10)(8-11)

(3)设函数ω=f(u，v)，u=φ(x，y，z)，v=ψ(x，y，z),则复合函数ω=f［φ(x，y，z)，ψ(x，y，z)］的偏导数为(8-12)(8-13)(8-14)

例8-21设z=arcsin(x－y)，而x=3t，y=4t3，求 .

解利用式(8-8)，得

例8-22设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求

解由式(8-6)、式(8-7)得

例8-23设函数z=f(u，v)在对应点(u，v)具有连续偏导数，函数u=φ(x，y)在点(x，y)具有对x和y的偏导数，v=ψ(y)在点y处可导，求复合函数z=f［φ(x，y)，ψ(y)］的偏导数.

解本题属于定理8-1的特例，即 转化为，而因此有

例8-24设z=f(u，x，y)具有连续偏导数，而u=φ(x，y)具有偏导数，求复合函数z=f［φ(x，y)，x，y］的偏导数.

解本题可看成公式(8-10)、式(8-11)的特例，即z=f(u，v，w)，而u=φ(x，y)，v=x，w=y，因此得

这样，

例8-25设

，而z=x2siny，求

解参考例8-24，得8.4.2隐函数的求导公式

定理8-6设函数F(x，y)在点P(x0，y0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0，y0)=0，Fy(x0，y0)≠0，则方程F(x，y)=0在点(x0，y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，满足条件y0=f(x0)，并有

设函数y=f(x)由方程F(x，y)=0确定，得

F［x，f(x)］≡0

两边对x求导数，得(8-15)因此得

例8-26设函数y=f(x)由方程siny+ex－xy2=0确定，求

解令F(x，y)=siny+ex－xy2，则

Fx=ex－y2，Fy=cosy－2xy

由式(8-15)得

定理8-7设函数F(x，y，z)在点P(x0，y0，z0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0，y0，z0)=0，Fz(x0，y0，z0)≠0,则方程F(x，y，z)=0在点(x0，y0，z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x，y)，满足条件z0=f(x0，y0)，并有

设函数z=f(x，y)由方程F(x，y，z)=0确定，得

F［x，y，f(x，y)］≡0

两边分别对x、y求偏导数，得(8-16)因此得

例8-27设x2+y2+z2－4z=0，求

解令F(x，y，z)=x2+y2+z2－4z，则Fx=2x，Fy=2y，Fz=2z－4，由式(8-16)得 8.5偏导数的几何应用

8.5.1空间曲线的切线与法平面

设空间曲线G的参数方程为

G：x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)

(a≤t≤b)

在曲线G上取一点M(x0，y0，z0)，对应参数为t=t0；在M的邻近再取一点M'(x0+Dx，y0+Dy，z0+Dz)，对应参数为t=t0+Dt，连接M与M'的割线的方程为当M'沿曲线G趋向于M时，割线MM'的极限位置MT就是曲线G在点M的切线.割线MM'的方程也可写成

当M'→M时，Δt→0，因此，割线MM'的极限位置MT的方程(即曲线G在点M的切线方程)为

切线的方向向量

T=(j'(t0)，y'(t0)，w'(t0))(8-17)过切点M且与切线垂直的平面称为曲线G在点M的法平面.故曲线G在点M的法平面的方程为

j'(t0)(x－x0)+y'(t0)(y－y0)+w'(t0)(z－z0)=0

(8-18)

例8-28求曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1，1，1)处的切线与法平面的方程.

解因为x't=1，y't=2t，z't=3t2，点(1，1，1)对应t=1,所以曲线在点(1，1，1)处的切线的方向向量为

s=(1，2，3)

故切线方程为法平面方程为

(x－1)+2(y－1)+3(z－1)=0

即

x+2y+3z－6=0

8.5.2曲面的切平面与法线

设曲面S由一般方程给出，即

S：F(x，y，z)=0

M(x0，y0，z0)为曲面S上一点，G为曲面S上过M(x0，y0，z0)的一条曲线，G的方程为

x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)

(a≤t≤b)t=t0对应于M(x0，y0，z0)，即x0=j(t0)，y0=y(t0)，z0=w(t0).由于曲线G在曲面S上，故

F［j(t)，y(t)，w(t)］≡0

两边对t求导数，并t=t0处取值，得

Fx(x0，y0，z0)j′(t0)+Fy(x0，y0，z0)y′(t0)+

Fz(x0，y0，z0)w′(t0)=0

设向量

n={Fx(x0，y0，z0)，Fx(x0，y0，z0)，Fx(x0，y0，z0)}

则向量n垂直于向量s=(j′(t0)，y′(t0)，w′(t0)).注意到在曲面S的M(x0，y0，z0)，n为常向量，它只与点M(x0，y0，z0)有关，而与所作曲线无关.而s=(j′(t0)，y′(t0)，w′(t0))为曲面S上过M(x0，y0，z0)点的任意一条曲线在该点处切线的方向向量，即n垂直于曲面S过点M(x0，y0，z0)的任何曲线在点M处的切线的方向向量，也就是曲面S过M(x0，y0，z0)点的所有曲线的切线在一个平面内，这个平面称为曲面S在M(x0，y0，z0)点的切平面.显然，向量n为切平面的法向量.这个切平面的方程为

Fx(x0，y0，z0)(x－x0)+Fx(x0，y0，z0)(y－y0)+

Fx(x0，y0，z0)(z－z0)=0

(8-19)

过点M(x0，y0，z0)且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线，法线方程为

特别地，如果曲面S的方程为z=f(x，y)时，则F(x，y，z)=f(x，y)－z，故曲面的切平面方程为

fx(x0，y0)(x－x0)+fy(x0，y0)(y－y0)－(z－z0)=0

法线方程为(8-20)

例8-29求球面x2+y2+z2=14在点(1，2，3)处的切平面及

法线方程.

解由于F(x，y，z)=x2+y2+z2－14，得n={Fx，Fy，Fz}={2x，2y，2z}，在点(1，2，3)处，n|(1，2，3)={2，4，6}，故切平面方程为

2(x－1)+4(y－2)+6(z－3)=0

即

x+2y+3z－14=0

法线方程为 8.6二元函数的极值

8.6.1二元函数的极值

定义8-6设函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于(x0，y0)的任何点(x，y)，都有

f(x，y)<f(x0，y0)或(f(x，y)>f(x0，y0))

则称函数f(x，y)在点(x0，y0)有极大值(或极小值)f(x0，y0),点(x0，y0)称为函数f(x，y)的极大(或小)值点.极大值、极小值统称为函数的极值，使得函数取得极值的点称为极值点.

例8-30函数z=3x2+4y2在(0，0)点处有极小值.

例8-31函数 在(0，0)点处取得极大值.

例8-32函数z=xy在(0，0)点处既不取得极大值也不取得极小值，即(0，0)不是极值点.

定理8-8

(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0

证不妨设z=f(x，y)在点(x0，y0)处取得极大值.由定义在点(x0，y0)的某邻域内异于(x0，y0)的点(x，y)，都有

f(x，y)<f(x0，y0)

特别地，在该邻域内取y=y0，而x≠x0的点，也有

f(x，y0)<f(x0，y0)

即一元函数f(x，y0)在x=x0处取得极大值，因此必有

fx(x0，y0)=0同理可证明

fy(x0，y0)=0

如果z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则曲面z=f(x，y)在点(x0，y0，z0)(z0=f(x0，y0))的切平面为

z=z0

与二元函数类似，如果三元函数u=f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)具有偏导数，且在(x0，y0，z0)处取得极值，则必有

fx(x0，y0，z0)=0

fy(x0，y0，z0)=0

fz(x0，y0，z0)=0与一元函数类似，使得fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0同时成立的点(x0，y0)称为函数z=f(x，y)的驻点.由定理8-8知道，具有偏导数的极值点一定是驻点；驻点不一定是极值点，如例8-32；极值点不一定是驻点，偏导数不存在的点也可能是极值点，如例8-31.

定理8-8

(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令

fxx(x0，y0)=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C

则

(1)AC－B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值.

(2)AC－B2<0时没有极值.

(3)AC－B2=0时可能有极值，也可能没有极值.

由此得求极值的一般方法：

①解方程组fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，求得所有的驻点.

②对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数值A、B和C.

③对于每一个驻点(x0，y0)，确定AC－B2的符号，以判定该点是否为极值点，对极值点确得极大值与极小值，并求出极值.

例8-33求函数f(x，y)=x3－y3+3x2+3y2－9x的极值.

解解方程组

求得驻点为(1，0)、(1，2)、(－3，0)、(－3，2).

求出二阶偏导数为

fxx(x，y)=6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=－6y+6

在点(1，0)处，AC－B2=12·6>0，且A>0，故f(1，0)=－5为极小值.

在点(1，2)处，AC－B2=12·(－6)<0，故f(1，2)不是极值.在点(－3，0)处，AC－B2=－12·6<0，故f(－3，0)不是极值.

在点(－3，2)处，AC－B2=－12·(－6)>0，且A<0，故f(－3，2)=31为极大值.

8.6.2二元函数的最值

与一元函数类似，如果函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，在D内可微分且只有有限个驻点，求f(x，y)在D上的最大值与最小值.其方法为：

(1)求出f(x，y)在D的全体驻点，并求出f(x，y)在各驻点处的函数值.

(2)求出f(x，y)在D的边界上的最大值和最小值.

(3)将f(x，y)在各驻点处的函数值与f(x，y)在D的边界上的最大值和最小值相比较，最大者为f(x，y)在