第3课时相似三角形的判定（3）课件人教版数学九年级下册

第二十七章相似§27.2相似三角形第3课时相似三角形的判定（3）目录CONTENTSA课前导航预习B课内精讲精练C课后分层作业

1.如图，在△ABC和△DEF中，若∠B＝∠E，∠C＝∠F，则△ABC

与△DEF有何关系？为什么？解：△ABC∽△DEF.

理由如下：如图，在DE上取DM＝AB，过点M作MN∥EF，交DF于点N.

易得△DMN∽△DEF.

∵MN∥EF，∴∠DMN＝∠E，∠DNM＝∠F.

又∵∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴∠B＝∠DMN，∠C＝∠DNM，∴△ABC≌△DMN（AAS），∴△ABC∽△DEF.

2.两角分别

的两个三角形相似.相等

典例探究知识点

两角相等的相似判定

解答下列问题.（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.

求证：变式①BC2＝BD·AB；②CD2＝BD·AD.

①BC2＝BD·AB；

（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.

求证：

②CD2＝BD·AD.

（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.

求证：（2）如图，BD为☉O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4.求：①BE·EC的值；

变式②BD的长.

②BD的长.（2）如图，BD为☉O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4.求：①BE·EC的值；

证明两个三角形相似的常见思路：①先找两对对应角相等；②若

只能找到一对对应角相等，则判断夹相等角的两边是否对应成比例；

③若找不到角相等，则判断三边是否对应成比例.达标小练达标练

利用两角分别相等判定三角形相似1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若E是边CD的中点，连

接AE，过点B作BF⊥AE，交AE于点F，则BF的长为（

B

）A.

B.

C.

D.

B变式

变式（2）△ADE∽△ABC.

（2）△ADE∽△ABC.

4.如图，AB是☉O的直径，AM是☉O的切线，AC，CD是☉O的弦，

且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.

（1）求证：∠CAB＝∠APB；（1）证明：∵AM是☉O的切线，

∴AB⊥AM，∴∠APB＋∠B＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAB＋∠C＝90°.又∵∠B＝∠C，∴∠CAB＝∠APB.

变式（2）若☉O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长.4.如图，AB是☉O的直径，AM是☉O的切线，AC，CD是☉O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.

（1）求证：∠CAB＝∠APB；（2）若☉O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长.（2）解：如图，连接AD.

基础巩固1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则图中相似三角形

共有（

C

）A.1对B.2对C.3对D.4对C2.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点

A，C重合），DE与AB相交于点F，则一定与△BFD相似的三角形是

（

B

）A.

△BFEB.

△BDAC.

△BDCD.

△AFDB3.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝

2，BD＝6，则边AC的长为（

B

）A.2B.4C.6D.8B4.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE

相交于点O，则错误的结论是（

D

）DA.

CO·CE＝CD·CAB.

OE·OC＝OD·OBC.

AD·AC＝AE·ABD.

OC·OD＝OB·OE5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AB的中点，

DE⊥AB交AC于点E.

若BC＝2，则DE的长为（

A

）A.

B.

C.

D.

A

变式7.

[2024·重庆A卷]如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，

过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F.

若∠CAB＝

∠CFA，CF＝1，则BF的长为

⁠.3

8.如图，在☉O中，弦AB与CD相交于点P.

如果PA∶PB＝2∶3，

PC＝2，PD＝12，那么弦AB的长为

⁠.10

9.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4.5，BD＝3.5，AC＝6，△ABC的角平分线AE交CD于点F.

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AF＝4，求AE的长.（2）若AF＝4，求AE的长.

9.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4.5，BD＝3.5，AC＝6，△ABC的角平分线AE交CD于点F.

（1）求证：△ACD∽△ABC；10.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝

∠ABE.

（1）求证：△ABC∽△AEB；（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠ACB.

∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE.

又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB.

变式（2）当AB＝6，AC＝4时，求△ABE的面积.10.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝

∠ABE.

（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求△ABE的面积.（2）解：如图，连接BD交AC于点O.

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC.

（1）求证：BC2＝DC·AB；

变式

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC.

（1）求证：BC2＝DC·AB；12.

[2024·陕西A卷]如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，

点C，D在直线l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交

于点E，F，连接EF，AF，AE.

（1）求证：∠BAF＝∠CDB；（1）证明：∵直线l与☉O相切于点A，∴OA⊥CD，∴∠BAF＋∠FAD＝90°.∵AB为直径，∴∠BFA＝∠ADF＋∠FAD＝90°，∴∠BAF＝∠ADF，即∠BAF＝∠CDB.

变式12.

[2024·陕西A卷]如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在直线l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交于点E，F，连接EF，AF，AE.

（1）求证：∠BAF＝∠CDB；（2）若☉O的半径为6，AD＝9，AC＝12，求EF的长.

能力提升13.已知在四边形ABCD中，