高考数学第二轮专题微专题二-立体几何中的动态问题

微专题二立体几何中的动态问题04

立体几何中的动态问题的主要题型有点在某直线或平面上运动和平面的旋转与翻折等形成的几何问题,此类问题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素,因此要认真分析其变化特点,寻找不变的静态因素,从静态因素中,找到解决问题的突破口.在解题中,当用定性分析比较难或繁琐时,可以引进参数,通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证.微点1

动点例1(1)如图W2-1,大摆锤是一种大型游乐设备,常见于各大游乐园.游客坐在圆形的座舱中,面向外.通常大摆锤以压肩作为安全束缚,配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时,悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年五一,小明去某游乐园玩“大摆锤”,他坐在点A处,“大摆锤”启动后,主轴OB在平面α内绕点O左右摆动,平面α与水平地面垂直,OB摆动的过程中,点A在平面β内绕点B作圆周运动,并且始终保持OB⊥β,B∈β.已知OB=6AB,在“大摆锤”启动后,给出下列结论:图W2-1

C

(2)如图W2-2所示,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC,满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是(

)A.线段

B.圆的一部分C.椭圆的一部分

D.抛物线的一部分B

图W2-2(2)如图W2-2所示,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC,满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是(

)A.线段

B.圆的一部分C.椭圆的一部分

D.抛物线的一部分B

图W2-2(3)如图W2-3,正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是棱BB1和棱CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中不正确的是 (

)A.在平面DMN内总存在与平面ABC平行的直线B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱锥A1-DMN的体积为定值D.△DMN可能为直角三角形D图W2-3

图W2-3

B

图W2-4(2)(多选题)如图W2-5所示,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD),构成四棱锥A1-ABCD.若M,O分别为A1C,DE的中点,则△ADE在翻转过程中,下列说法正确的是 (

)A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B.异面直线BM与A1E所成的角是定值C.一定存在某个位置,使DE⊥MOD.三棱锥A1-ADE的外接球半径与棱AD的长的比值为定值ABD图W2-5

D

图W2-6

C[解析]由题意知△CC1B为等腰直角三角形,又因为∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1C1B1,所以CC1⊥A1C1,又CC1∩B1C1=C1,所以A1C1⊥平面BCC1B1,故∠A1C1B=90°.将△BCC1沿BC1旋转,使C与A1,C1,B在一个平面内,且C与A在BC1两侧,连接A1B,图W2-7

C

图W2-7

D

D

D

B

C

图W2-8

D[解析]如图,设G,H,I分别为CD,CC1,C1D1的中点,连接EG,BG,B1H,HI,IB1,CD1,则EG∥CD1,又A1B∥CD1,∴EG∥A1B,则A1,B,E,G四点共面.由正方体的性质可知HI∥GE,B1I∥BG,又HI∩B1I=I,GE∩BG=G,图W2-9

D

图W2-9

B图W2-10

B图W2-10

C

5.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是AC上一点,且AD=3DC.球O为三棱锥P-ABC的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π,则球O的表面积为(

)A.72π B.86πC.112π D.128πC

5.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是AC上一点,且AD=3DC.球O为三棱锥P-ABC的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π,则球O的表面积为(

)A.72π B.86πC.112π D.128πC

A图W2-11[解析]因为动点P满足B1P⊥BD1,所以动点P的轨迹为过点B1且与直线BD1垂直的截面与正方体的交线(除去点B1).连接B1A,B1C,AC,BD,则AC⊥BD,AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1B,又因为AC⊂平面B1AC,所以平面DD1B⊥平面B1AC,易得BD1⊥平面B1AC,

A图W2-11

7.已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt△ACD与Rt△BCD)组成的三角形,如图W2-12所示.其中,∠CAD=45°,∠BCD=60°,现将Rt△ACD绕斜边AC旋转至△D1AC处(D1不在平面ABC上).若M为BC的中点,则在△ACD旋转的过程中,直线AD1与DM所成的角θ的取值范围是 (

)A.(30°,45°) B.(30°,45°]C.(30°,60°] D.(30°,60°)D图W2-12[解析]作AP∥DM,则∠PAD1=θ.AD1的轨迹形成以AC为轴线,以90°为轴截面顶角的圆锥的侧面(不含在平面ABC内的两条母线).如图所示.当点D1可以在平面ABC内时,由题意知当点D1与点N(点N在平面ABC内)重合时,∠PAD1取得最大值,最大值为45°+15°=60°;当点D1与点D重合时,∠PAD1取得最小值,最小值为30°.所以满足题意的θ的取值范围为(30°,60°).故选D.

C图W2-13[解析]当点M为平面A1B1CD与体对角线AC1的交点时,由题意知B1C⊥BC1,DC⊥BC1,可得BC1⊥平面A1B1CD,因为平面A1DM即是平面A1B1CD,所以BC1⊥平面A1DM,因为BC1⊂平面BC1D,所以存在点M,使得平面A1DM⊥平面BC1D,所以①正确;连接A1B,由BD∥B1D1,A1D∥B1C,且A1D∩BD=D,B1D1∩B1C=B1,可得平面A1BD∥平面B1D1C,则当M为平面A1BD与AC1的交点时,可得DM∥平面B1CD1,所以②正确;图W2-13

图W2-13在点M从AC1的中点向着点A运动的过程中,S1从1减少到趋于0,即S1∈(0,1],S2从0增大到趋于2,即S2∈[0,2),在此过程中,必存在某个点M使得S1=S2,所以④正确.综上可得①②④是正确的.故选C.图W2-13

D[解析]对于A,假设存在点F∈AE,使得在翻折过程中BF∥平面A'CD,连接AA',A'B,则BF∥平面A'CA,如图1所示,因为BF⊂平面A'BA,平面A'BA∩平面A'CA=A'A,所以BF∥A'A,但在平面A'BA内,BF与A'A是相交的,故假设不成立,即不存在点F∈AE,使得在翻折过程中BF∥平面A'CD,故A错误