2023届高考数学一轮复习-第3讲-圆的方程

第3讲圆的方程考向预测核心素养以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.直观想象、数学运算[学生用书P216])一、知识梳理圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))3．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P85练习T1(2)改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选C.因为圆心为(1，－1)且圆过原点，所以该圆的半径r＝eq\r(12＋（－1）2)＝eq\r(2)，则该圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.2．(人A选择性必修第一册P89习题2.4T8改编)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为()A．x2＋y2＝25(y≠0) B.x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D.(x－2)2＋y2＝25解析：选C.线段AB的中点坐标为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点(2，0)的距离为eq\f(1,2)|AB|＝5，所以点C(x，y)满足eq\r(（x－2）2＋y2)＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．3．(人A选择性必修第一册P88练习T2(3)改编)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1.答案：(－∞，1)4．(人A选择性必修第一册P85练习T2)点M(3，－6)到圆(x－3)2＋(y＋2)2＝16上点的最大距离为________．答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(3)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．()答案：(1)√(2)×(3)√二、易错纠偏1．(忽视方程表示圆的条件致误)若方程x2＋y2－4x＋2y＝a表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－5) B.(－5，＋∞)C．(－∞，0) D.(0，＋∞)解析：选B.方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，有a＋5＞0，所以a＞－5.故选B.2．(不能等价变换方程致误)(2022·烟台月考)方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲线是()A．一个椭圆 B.一个圆C．两个圆 D.两个半圆解析：选D.由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心，1为半径，直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径，直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲线是两个半圆．故选D.3．(错用点与圆的位置关系判定致误)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案：(－1，1)[学生用书P217]考点一圆的方程(自主练透)复习指导：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．1．设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x－3)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝8C．(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8解析：选A.线段AB的中点坐标为(3，0)，圆的半径r＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(\r(22＋22),2)＝eq\r(2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.故选A.2．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0 D.x2＋y2＋2x－3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.3．(2022·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则△OAB的外接圆方程是________．解析：设△OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,4＋16＋2D＋4E＋F＝0，,36＋4＋6D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－6，,E＝－2，))故△OAB的外接圆方程为x2＋y2－6x－2y＝0.答案：x2＋y2－6x－2y＝04．(2022·福州模拟)已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________．解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（6－a）2＋（0－b）2＝r2，,（1－a）2＋（5－b）2＝r2，,2a－7b＋8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝13，))故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.答案：(x－3)2＋(y－2)2＝13求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题(多维探究)复习指导：求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想．角度1借助几何性质求最值已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).1．本例中，求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).2．本例中，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq\r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).角度2利用函数关系求最值(2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．【解析】由题意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.【答案】12求与圆有关的最值问题的两种思路(1)利用圆的几何性质求解，要理解以下代数式的几何意义：①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．(2)根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．|跟踪训练|1．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．解析：由题意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(4x2＋4y2)＝2eq\r(6x－5).由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq\r(6×5－5)＝10.答案：102．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2eq\r(2)，又|QC|＝eq\r(（2＋2）2＋（7－3）2)＝4eq\r(2)，所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).考点三与圆有关的轨迹问题(综合研析)复习指导：理解轨迹方程的意义，会用定义法和相关点法求简单的轨迹方程．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)(一题多解)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．【解】(1)方法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．与圆有关的轨迹问题的四种求法|跟踪训练|已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为__________________．解析：设P(x，y)，圆心C(1，1)．因为P点是过点A的弦的中点，所以eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(PC,\s\up6(→)).又因为eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，3－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为(x－eq\f(3,2))2＋(y－2)2＝eq\f(5,4).答案：(x－eq\f(3,2))2＋(y－2)2＝eq\f(5,4)[学生用书P362(单独成册)])[A基础达标]1．(链接常用结论1)以A(3，－1)，B(－2，2)为直径端点的圆的方程是()A．x2＋y2－x－y－8＝0 B.x2＋y2－x－y－9＝0C．x2＋y2＋x＋y－8＝0 D.x2＋y2＋x＋y－9＝0解析：选A.圆的方程为(x－3)(x＋2)＋(y＋1)(y－2)＝0，整理得x2＋y2－x－y－8＝0，故选A.2．若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是()A．|a|＜1 B.a＜eq\f(1,13)C．|a|＜eq\f(1,5) D.|a|＜eq\f(1,13)解析：选D.因为点P在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，所以(5a＋1－1)2＋(12a)2＜1，即|a|＜eq\f(1,13).3．(2022·河北省昌黎县汇文二中月考)点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))连线的中点的轨迹方程是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))eq\s\up12(2)＋y2＝4 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))eq\s\up12(2)＋y2＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3))eq\s\up12(2)＋4y2＝1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,2)解析：选C.设圆x2＋y2＝1上点为(x0，y0)，所求点为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))所以(2x－3)2＋4y2＝1，即所求轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.4．已知圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，5))，点M，N在圆C上，则△CMN面积的最大值为()A．100 B.25C．50 D.eq\f(25,2)解析：选D.设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，5))代入可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(52＋4D＋6E＋F＝0，,8－2D－2E＋F＝0，,50＋5D＋5E＋F＝0，))解得D＝－2，E＝－4，F＝－20.故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，故△CMN的面积S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CM))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CN))sin∠MCN＝eq\f(1,2)×5×5sin∠MCN≤eq\f(1,2)×5×5×1＝eq\f(25,2).所以△CMN面积的最大值为eq\f(25,2).5．(2022·豫南五校联考)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.故选D.6．若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值是________．解析：四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25＋0＋5D＋0＋F＝0，,1＋0－D＋0＋F＝0，,9＋9－3D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－\f(25,3)，,F＝－5，))所以圆的方程为x2＋y2－4x－eq\f(25,3)y－5＝0，将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0.解得a＝7或a＝－3(舍去)．答案：77．动点P到点A(8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，根据题意有2eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\r(（x－8）2＋y2)，整理得x2＋y2＝16.答案：x2＋y2＝168．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________．解析：圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，则|OC|＝eq\r(22＋（－m＋4）2)，所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.答案：19．求圆心在直线2x＋y－3＝0上，且过点A(5，2)，B(3，－2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．因为所求圆过点A(5，2)，B(3，－2)，连接AB，则圆心一定在线段AB的垂直平分线上．易得线段AB的垂直平分线方程为y＝－eq\f(1,2)(x－4)．又圆心在直线2x＋y－3＝0上，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)（x－4），,2x＋y－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(5,3)，))所以圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))).又圆的半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(170,9))，所以所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(170,9).10．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则eq\r(（x＋3）2＋y2)＝2eq\r(（x－3）2＋y2)，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝eq\r(|CQ|2－|CM|2)＝eq\r(|CQ|2－16)，当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，|CQ|＝eq\f(|5＋3|,\r(2))＝4eq\r(2)，则|QM|的最小值为eq\r(32－16)＝4.[B综合应用]11．(多选)(2022·蚌埠质检)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为()A．x2＋(y＋eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3) B.x2＋(y－eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D.(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)解析：选AB.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq\f(2π,3)，设圆心(0，a),半径为r，则rsineq\f(π,3)＝1，rcoseq\f(π,3)＝|a|，解得r＝eq\f(2,\r(3))，即r2＝eq\f(4,3)，|a|＝eq\f(\r(3),3)，即a＝±eq\f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋(y±eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3).12．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×eq\f(1,2)|PA|r＝|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝eq\f(|3－4＋11|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(10,5)＝2.所以四边形PACB面积的最小值为eq\r(（|PC|min）2－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)13．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq\f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．解析：由题意，得eq\f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程