福建省龙岩市2024-2025学年高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

福建省龙岩市2024-2025学年高一上学期10月月考数学检测试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.已知，则集合M的真子集的个数是（）A.7 B.8 C.15 D.164.已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（）A B.C. D.5.若实数a，b满足，则的最小值为（）A B. C.10 D.146.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A. B.C D.7.关于x的不等式的解集为的一个必要不充分条件是（）A B.C. D.8.无字证明即无需语言的证明（proofwithoutwords），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的有（）A.命题p：，则B.“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”的充分条件C.“”是“且”的必要条件D.“x，y为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件11.已知，则下列结论正确的有（）A.ab的最大值 B.的最小值为1C.的最小值 D.的最小值第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，且，则实数m的值为______．13.已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是______．14.关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．16.已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为．（1）求集合A；（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17.“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元．（1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上；（2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值多少?（）18.设．（1）当a=2时，解关于x的不等式；（2）当时，解关于x的不等式；（3）若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围．19.若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”.（1）直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）；（2）求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；（3）是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由.福建省龙岩市2024-2025学年高一上学期10月月考数学检测试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意.故选：D2.对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】C【分析】利用特殊值以及不等式的性质确定正确答案.【详解】A选项，若，如，则，所以A选项错误.B选项，若，如，则，所以B选项错误.C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.D选项，若，如，则，所以D选项错误.故选：C3.已知，则集合M的真子集的个数是（）A.7 B.8 C.15 D.16【正确答案】C【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集.【详解】依题意，，所以集合有个元素，真子集的个数为个.故选：C4.已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值.【详解】当时，，满足.当时，，要使，则需或，解得或，综上所述，的所有可能的取值组成的集合为.故选：C5.若实数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C.10 D.14【正确答案】B【分析】根据不等式的性质来求得的最小值.【详解】设，则，解得，所以，由于，所以，所以，最小值为.故选：B6.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A B.C. D.【正确答案】B【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.【详解】由题意得，为的两个根，故，即，开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为故选：B7.关于x的不等式的解集为的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】对进行分类讨论，根据不等式的解集为以及必要不充分条件等知识来确定正确答案.【详解】对于不等式，当时，恒成立，符合题意.当时，不恒成立，不符合题意.当时，要使不等式的解集为，则需，解得.综上所述，的取值范围是，所以一个必要不充分条件是.故选：D8.无字证明即无需语言的证明（proofwithoutwords），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案.【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为，而，由射影定理得.在直角三角形中，，由射影定理得，由，所以.故选：A这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AB分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案.【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是，所以AB选项正确、C选项错误而，不符合题意，D选项错误.故选：AB10.下列说法正确的有（）A.命题p：，则B.“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”的充分条件C.“”是“且”的必要条件D.“x，y为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件【正确答案】BCD【分析】由全称命题的否定可得A错误；由诗句的意思和充分条件的性质可得B正确；举例可得CD正确；【详解】对于A，命题p：，则，故A错误；对于B，诗句大概意思是虽然衣服简陋，但学识渊博，气质自然会高雅，所以“腹有诗书”是“气自华”的充分条件，故B正确；对于C，可以为，但“且”一定有，所以“”是“且”的必要条件，故C正确；对于D，x，y为无理数，如，此时为有理数，充分性不成立；若为无理数，如，此时为无理数，为有理数，必要性不成立，故D正确；故选：BCD.11.已知，则下列结论正确的有（）A.ab的最大值 B.的最小值为1C.的最小值 D.的最小值【正确答案】ACD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.B选项，由，得，则，所以，对称轴为，所以当时，取得最小值为，所以B选项错误.C选项，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确.D选项，设，则，解得，所以，则，所以，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：ACD方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，且，则实数m的值为______．【正确答案】【分析】根据已知条件列方程，结合集合的知识求得的值.【详解】由于，所以，结合或（舍去）.故13.已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是______．【正确答案】【分析】利用分离常数法，结合基本不等式来求得的取值范围.【详解】依题意，命题：“”为真命题，所以在区间1,+∞上恒成立.，当且仅当，即时等号成立.所以，所以的取值范围是.故14.关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是__________.【正确答案】【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解.【详解】由或，由可知，当时，，因为不等式组整数解的集合为，所以；当时，的解为，则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意；当时，的解为，则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意，综上所述，实数k的取值范围为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.小问1详解】当时，，所以.【小问2详解】由于恒成立，所以集合不是空集，由得或，解得或，所以的取值范围是.16.已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为．（1）求集合A；（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据存在量词命题的真假性列不等式来求得的取值范围，从而求得集合.（2）根据充分不必要条件、对进行分类讨论来求得的取值范围.【小问1详解】依题意，命题p：“”为假命题，所以，解得，所以.【小问2详解】由于是的充分不必要条件，所以，当，即时，，满足.当，即时，要使，则需且两个等号不能同时成立，解得，所以的取值范围是.17.“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元．（1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上；（2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（）【正确答案】（1）y=−2x2+40x−98x>0，使用年后，盈利总额开始达到（2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元.【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案.（2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值.【小问1详解】依题意，y=50x−2由，得，即，解得，所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上.【小问2详解】平均盈利额，当且仅当时等号成立，所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元.18.设．（1）当a=2时，解关于x的不等式；（2）当时，解关于x的不等式；（3）若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）答案见解析（3）【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.（2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案.（3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围.【小问1详解】当a=2时，由，得，解得，所以不等式的解集为.【小问2详解】当时，由整理得，即，令，解得或，令，解得，当，即时，原不等式的解集为或x>−1a；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.【小问3详解】依题意，关于x的不等式在时有解，即在时有解，由于，所以区间上能成立，由于在区间上单调递增，最小值为，所以，所以的取值范围是.关键点点睛：求解含参数的不等式恒成立、能成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解，分离参数后，可以利用函数的最值来求得参数的取值范围，在求解的过程中，要注意恒成立问题和能成立问题的区别.19.若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”.（1）直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）；（2）求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；（3）是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有