大学岩石力学讲义1

第一章岩石的力学性质

岩石和岩体的力学性质，是矿山岩体力学的基本问题。岩石的力学性质主要指：在各种

载荷作用下，它们的变形特征，出现塑性流动和发生破坏的条件。表征岩石力学性质的参数

如下：

变形参数：岩石的变形摸量，弹性摸量，切变摸量，泊松比和流变性等。

强度特性参数：岩石抗拉，抗弯，抗煎，抗压等各加强度极限。

第一节、岩石的成分及结构与其力学性质的关系

岩石是多种矿物颗粒的集合体。岩石一般有下列十余中主要矿物组成，即长石（正长石、

斜长石）、石英、云母（黑云母、白云母）、角闪石、辉石、橄榄石、方解石、白云石、高岭土、

赤铁矿等。它们在矿石中的含量按岩石成因而异。

岩层按成因分类为：

岩浆岩一系由岩浆在地壳内不同深度冷凝而成：

沉积岩一是由已有岩体经风化、崩溃、搬迁、再胶结或化学作用而形成；

变质岩一则由已有岩石在高温高压条件下经过改变而形成的。

基本概念

（1）、岩石的结构：岩石的矿物颗粒的大小、形状、表面特征、颗粒相互关系、胶结类型

等特征。

（2）、岩石的构造：岩石的组成部分在定向的排列情况。如层面、断层（几何特征）.

晶体结构是岩浆岩和变质岩的最大特征，也是很多沉积岩的特征。

（3）、矿物的晶体：构成矿物的各种化学元素的原子：离子）在空间一定规律排列，使其

具有规则的几何形状的固体称为晶体。

（4）、矿物的晶体的结构类型：等粒结构，不等粒结构，斑状结构。

图1-1是典型晶体结构类型

图1-1晶体绪构类型

（。）等粒结构，（匕）不等粒结构J（c）,状结构

岩浆岩和变质岩的晶体结构与岩石力学性质的关系：晶粒细小，等粒状，岩石强度大。

颗粒大的斑状结构晶体内部或晶粒间含有缺陷，岩石强度低。

沉积岩的结构与力学性质的关系

沉积岩中的岩石碎屑之间由胶结物将连结在一起。其力学性质取决于胶结物和胶结类

型。

图1.2胶结类型

（o）莒质胶结，（抗接触胶结，＜c）孔隙胶结

1一胶结物质，2—颗粒।3—未被充填的孔隙

基质胶结：岩石碎屑枝胶结物包围，强度取决于胶结物。

接触胶结：仅颗粒接触处有胶结物，胶结不牢，强度低，透水性强。

孔隙胶结：胶结物完全成部分地充填与颗粒孔隙之间。胶结牢固，所以岩石强度和透水

性主要由胶结物性质及充填程度确定。

胶层物分类：硅质和铁质强度高，钙质次之，泥质最低。

沉积强度主要取决于胶结物性质及充填程度。

除构成岩石的矿物颗粒大小，结合方式对其力学性质有影响外，矿物的排列方式（构造）

及沉积顺序亦表现出影响，如云母片岩、片麻岩、页岩等，则表现出力学性质的各向异性。

第二节影响岩石力学性质的物理特性

一、容重和比重

1、容重

式中一容重：用一岩石试件重量；V—岩石试件体积

岩石容重与岩性和成因有关,从岩石力学的角度，岩石的容重和比重影响到岩石的自

重应力场和惯性质量

岩石容重的测试方法，

2、比重

岩石比重是扣除孔隙的岩石干重和其实体积之比，再与4c水的容重之比。

以

式中AR—岩石比重；WL岩石试件在烘箱中烘至105℃保持恒温、恒重时，岩石固体重量;

—扣除孔隙的岩石试件固体部分的体积；一4C时水的容重。

二、岩石的孔隙度

岩石的孔隙度是岩石试件中孔隙体积与包括孔隙的岩石体积之比，直接测最孔隙体积是

困难的，一般通过测量岩石重量，再通过一些换算公式则量岩石的孔隙

T-VV

-2xl(X)%

py

式中做一为水饱和的岩石试件重量(如某种岩石与水有化学反应时，应改用与岩石无化学反

应的液体)：WL干燥岩石试件的重量：丫一岩石试件体积：一液体的密度。

几种岩石的容重、比重、孔隙度见下表

我1-1几种岩石的容・、比・、孔隙度

容重孔隙咬

岩石名再比®

(8/cm1)n(%)

花岗岩2・6〜2.72・5~2・8SQ.5〜L5

粗玄岩3•。〜3.05

流蚊岩2.4〜2.64・0~6・0

安山岩2.2~2.32・4~2・8

理长岩3.0-3.12.7—3.20.1〜。.2

玄武岩2.8〜2.92.6〜3.30“~1・0

_______________

2・0~2・62•甘〜2.765・0~25・0

页岩2・0~2.42・57~2・7710•。〜30.0

石灰岩2.1—2.62.48~2・855.0—20.0

片联君2・9〜3.02.63-3.070・5~1・5

大理岩2・6~2・72.6~2.80.5—2.0

石英岩2.652・63~2・840.1~0.5

板岩2.6~2.72.68〜2.76。•…0.5/

三、岩石的水理性质

实践表明，水能瞬时地或逐渐地改变岩石的力学性质和性态。

岩石在水溶液作用下所表现出的力学的、物理的、化学的性质称为岩石的水理性质。

(I)、岩石的渗透性

水通过岩石流动的难易程度，在一维条件下，有

一包

dx

式中v一渗流速度，也称比流量：〃-孔隙水压力；K-渗透系数。

岩石的渗透性通常用渗透系数K衡量，K越大，渗透性越好。

(2)、软化性

岩石被水湿润后，强度降低，柔度增加(弹性模量降低)的特性。

(3)、溶蚀性

由于水的化学作用，岩石中的某些成分被水流带走的现象。溶蚀造成岩石致密程度降低,

孔隙度增大，渗透性改善，强度降低。

(4)、膨胀性

岩石受水浸湿后，体积膨胀的现象。岩石膨胀造成强度降低、柔度增加并导致应力的不

均匀。

*1-2几料岩石■速索■裳

添w系敷

岩石名孤孔隙情况

K(an/s>

花岗岩收致密.微吸感1.1X10~u~9.5xl0-,»

含我裂隙(1J~2・5)*10-，'

微裂隙及一些短笈!®2.8X10-,〜7x10-，

绿岩致e<107

潦纹风料效电

玄武岩致«

安山粉岩禁裂隙8XI0-”

砂岩较致密】o-"〜2.5X10-1，

砂岩孔敏较发育5.5X1O-e

石灰岩致eSXI0-"〜6x10-1。

微裂隙、孔隙2xiO-1~3xiO-»

裂隙，孔隙较发奇9X10-、~3xi0一・

员詈微裂隙发育2、1。-"〜8*10->

片岩滋密瞰发育1OT~5X1OT

片麻岩致«<io-u

微裂隙9x10-♦〜4x1Q-*

循裂防发百2X10-，~3X10-»

石英岩鼻绫除(1.2—1.8)X10-**

»1-3集赞号石在水作用下融废变化

抗反强度(MPa)

胄石名称折减系数

漫水

干燥_----

花岗岩40〜22025~2050・03~0・25

闪长岩97.7—232€8.8~159.70.24〜0・40

辉长岩118.1-273.658-245.80.10-0.56

玄武岩102.7-290.5102~192.40.08~0.29

石灰岩13.4~250.87.8-189.20・。6~0.42

砂岩17.5—250.85・7~245・50.03—0.66

怙土岩20.7〜592.4〜31.80.13~0,92

页岩57~13613・7~75・10.45—0.76

板岩123〜199・672~149・60・18~0・48

千枚岩30.1〜49・428・1~3s.30.04—0.3)

片岩59.6~218.929.5-171.40.20—0.51

石英岩145•1〜2。050-171.4。・04〜0・20

第三节岩石的变形特征

岩石在载荷作用下首先发生的现象是变形。岩石的变形性对采矿工程和岩石工程有重要

影响。岩石的单向、二向、三向变形特征不同，但研究最充分的是岩石的单向变形二岩石的

变形（用应变表示）与载荷（用应力表示）有关，但有时还与时间有关。当岩石的变形F仅取决

于应力还取决于时间时，需要考虑岩石的流变特性。脆性、塑性、坚硬等说法是通常用来描

述岩石变形性能（有时也包括强度）的直观说法，形象但不十分严格。

脆性材料一破坏具有突变性的材料。

延性材料一破坏比较平缓的材料。

脆性一破坏前永久变形的大小，可用脆性度度量（库克）。

延性一塑性，永久变形。

一、岩石在单向受压状态下的变形

下面图是单向受压情况下岩石的应力应变应变的全过程曲线。图1-3是全图，图L4是

屈服以前的局部放大图。

图1-3岩石变形的典型全应力-应变曲线

图I4岩石受单向压缩时横向、轴向及体积应力应变曲线

从图中可以看出在单向受载下岩石的变形可划分为四个阶段：

1、微裂隙压密段（。一4段），岩石内部原有裂隙的刃合超过新产生的裂隙，曲线上凹:

2、弹性变形阶段（八一8段），岩石内部原有裂隙的压密与新产生的裂隙大致相等，岩

石被继续压缩，应力应变曲线的斜率不变，应力应变关系呈现为线性；

3、岩石总体上进入裂隙发展和扩展的阶段(B—C)段，在该阶段岩石中新产生的裂隙

超过了被压密的裂纹，曲线向下凹，开始进入塑性阶段，并发生体积膨胀。同时有声发射加

剧的现象；

4、裂隙加速产生并不稳定扩展，直至岩石试件完全丧失承载能力(C—段。破坏过

程。在这个阶段随着应变的增加，岩石强度减小，岩石的这种特性称为岩石的应变弱化，应

变弱化岩石区别于金属的显著的力学性质之一

对于均匀各向同性介质，按线弹塑性理论，在弹性阶段的体积变形为

邑=邑-2邑

按照这个关系可以描述岩石单向压应力与体积变形的美系。一般认为，当体积变形偏离

弹性压缩并增大，就认为产生了压应力作用卜•的体积膨胀，压应力下的体积膨胀是岩石区别

于金属的另一显著的力学性质。

压应力作用岩石的应力应变全过程曲线反映了岩石在压应力作用下其内部裂隙的发展

过程、渐近破坏，应变弱化的是岩石区别于金属的最主要的力学特性.

二、试验机特性与岩石的应力一应变全过程曲线

首先介绍刚度的定义。设物体所受的载荷为Q，在。的作用下，总的变形为U,如果

物体是弹性的，则Q与U之间的关系为

Q=KU(1-1)

式中K就是该物体的刚度。从上式可以看出，刚度K是物体产生单位位移(总体变形)所需要

的力(载荷)。这里弹性表现为K是与U无关的是一个常数。对于弹性介质，应力应变的线

性关系等价于载荷Q和位移(总体变形)的线性关系。这是因为，如果A是弹性试件的面积，

L是试件的长度，Q是试件所受的载荷，是试件在载荷。的作用下的总变形，则&

A

是试件应力，半=£是试件应变，弹性变形要求

a=Ec=>^-=E—(1-2)

AL

从上式可得出

r*Ar*A

Q=—M=>Q=KMK=一(1-3)

LL

由于七是常数，因此K也是常数，因此线弹性的应力应变关系导致线性的载荷位移关

系，但必须指出的是，刚度包含了几何因素，因此不是材料内乘的力学性质，而是一种结构

特性。

岩石试验机在其工作范围内总体的力学特性是弹性的，否则试验机不能正常工作。这

样试验机和岩石组成的力学系统可以简化成下图的力学模型，若尸是试验机所受力，。是

岩石试样所受的力，由于试验机与试样组成了串联系统，因此在平衡状态下

P=R(1-4)

由于试验机在弹性范围内工作，因此

P=KMU”=const(1-5)

式中一试验机的变形，一试验机的刚度。幺一岩石的变形，心,一试验机的刚度

从图1—3可以看到，岩样的应力应变关系是非线性的，岩石的刚度底是变形外的函

数，因此

图1一5试验机一岩样系统的力学模型

Q=KR(U)UR(1-6)

式中以一岩石的变形。若系统的总位移是U。在岩样破坏前的加载过程中，外部对系

统的功为

W=-PU(1-7)

2

储存在试验机中的弹性变形能为

11Ip2

匕=产,=5解=温(1-8)

储存在岩样中的变形能和由于岩样内裂隙生成、扩展所消耗的功之和为

M(1-9)

上式可以写为

w,=咨&*(1-10)

式中是岩样从变形为零到变形为UK过程中的平均刚度。上式的正确性可由定积分的第一中

值定理得到(见有关数学分析的教程)。

由于P=R,如果试验机的刚度KM小于岩样的平均刚度,即K”<KR,从(1-8)式和(1-10)

式可知，在加载过程中储存在试验机中的弹性能Ww大于WR，即Ww>跌。此时，岩样一旦

发生破坏，则储存在试验机中的弹性能突然释放，对岩样产生冲击作用，破坏以突变的形式

发生，试验终止，无法得到岩样的全程曲线。

当岩样进入过过峰值强度后的变形区，使岩样继续压缩所需要的载荷减小，系统受力

P二Q减小，如果此时K”v,则从图1-7可见，即使外界不对系统作功，岩样的变形也可

继续发生。从图1-7还可见到，岩样从URC变到Uq过程中，载荷降低了AQ,这一'1起试验

机变形恢复，并释放能量,从图1-7可以看出，若KM<KR,则载荷减少AP=AQ过程中，试

验机释放的能量超过了使岩样继续变形4c所需要的能量。试验机施加于岩样的

实际载荷PCP也大于此时岩石的强度URP，即PCP>Q即。

在这种情况下，一旦岩样的变形进入了过峰值强度后的U期时，储存在试验机中弹性变

形能突然释放，对岩样产生冲击作用，导致岩石的突然破坏。无法得到岩样的应力应变全过

程曲线。

图1一6普通柔性试验机上岩样的突然破坏

反之，如果试验机的刚度K”更大，当岩样进入过峰值强度后的变形区，岩样继续变形，

△4=4-%的过程中，试验机释放的弹性能小于岩样继续压缩的变形能。试验机的载荷Per

也小于岩样的载荷Q/，因此，必须外界继续对试验系统作功，岩样才能继续压缩（见图1-8）。

KM很大的试验机叫刚性试验机。

三、岩石应力应变曲线的类型

类型I:线性应力一应变关系。坚硬岩石，细粒岩浆岩、细粒变质岩、玄武岩、石英岩、

辉绿岩、白云岩和坚硬石灰岩，脆性破坏。

类型II:弹塑性。开始弹性，以后塑性。代表性岩为石灰岩、粉砂岩、凝灰岩。

类型川：塑弹性开始上凹，后转为直线。破坏以前没有明显屈服。具有这类塑弹性变形

特征的是岩石中有孔隙和细裂隙的坚硬岩石，如砂岩、花岗岩、某些辉绿岩等。

类型IV：塑性一弹性（细S型）。线性段斜率较大。这类变形的岩石有坚硬致密的变质岩,

如大理岩、片麻岩。

类型\『：亦为细s型，但线性段斜率较小。如在垂直片理方向受压的片岩，有很高的压

缩性和很大的塑性变形。

类型VI：岩盐及其他蒸发岩的变形特征曲线。开始是很短的直线，随后出现不断增大的

非弹性变形和连续蠕变。

图！-9।岩石几种典型单向应力应变曲线

三轴试验下的应力一应变曲线（围压的影响）

1、围压对围岩的影响因围岩不同而异，硬岩受围压影响小，较软的砂岩受围岩影响大。

2、围压加大时破坏时的峰值载荷增大（强度增加），塑性变形增大。

这些从下图可以看出。

316.4"S=，仙6MPa

2U.0X"3=70.3MPa

W5.5

351.6

'X。3=35・2MPa

加载速度对岩石变形的影响

随着加载速率增加，曲线斜率增大，即变形模量增大。

E

S

I

O

X

》

Q

图1-11砂岩在不同加载速率下应力应变关系

四、变形指标及其测定

反映岩石变形特性的指标有弹性模量（变形模量）和泊松比（侧向变形系数）。

弹性模量E（变形模量）的定义为E=由于单向受压情况下岩石的应力应变关系是非线性

的，因此变形模量不是常数，常用的变形模量有以下几种

1、初始模量，用应力应变曲线坐标原点的切线斜率表示，即

2、割线模量，由应力应变曲线的起始点与曲线上另一点作割线，割线的斜率看是割线

模量,一般选强度为50%的应力点

子=

3、切线模量，用应力应变曲线直线段的斜率表示

%一%

E,=

%一与2

随岩性不同，这三种模量可以相差很大。一般有E>E、>£,有时可以用反映岩石孔隙发

育的程度。在工程应用上应用哪一种模量到目前还没有统一的规定。

4、泊松比，单向载荷作用下，横向变形与纵向变形之比

£,

式中为平行加载方向的纵向应变，为垂直于加载方向的横向应变。

第四节岩石的流变性

岩石的流变是其本构方程（应力应变关系）随时间而变化的性质。更准确地说是岩石的

应力率与应变率之间的物理关系,最常见的岩石流变是在外力不变的情况下岩石的变形随

时间流逝而增长，即蠕变，岩石的蠕变不•定要在外载荷很大时才发生，也不一定要在高温

下才发生。即使在常温条件下，尽管作用在岩石上的载荷很小，只要它的作用肘间相当长。

也会发生永久变形。在地壳中所看到的各种地质构造形迹，以及在第四纪冰川沉积物中经常

可看到各种弯曲砾石。这些现象就是岩石流变性的反映。

基本概念：

流变一介质应力或应变之间的物理关系与时间而相关的性质，或者说是岩石的应力率与

应变率之间的物理关系。

蠕变一外力不变时，变形随时间的发展的现象。

松弛一变形不变时，介质应力随时间而降低的现象。

岩石流变的实例，沉积岩的弯曲，第四纪冰川沉积物中的各种弯曲砾石。

研究岩石流变性质的方法：I、经验定律；2、模型理论；3、积分理论。本章只介绍经

验定律和模型理论。

一、研究岩石蠕变的经验定律

岩石蠕变的典型形式，

图1-12岩石的典型蠕变曲线

图1一12所示的蠕变应变可表示为

£«）=%+Ga）+w+/（j）

0A段一瞬时弹性，变形以接近声速的速度完成.

A3段一蠕变第一阶段，蠕变速度下降，也叫瞬时蠕变。

8c段一蠕变第二阶段，等速蠕变，亦称稳定蠕变。

C。段一蠕变第三阶段，加速蠕变，蠕变破坏阶段。

对于与⑴，有以下几种常用的经验蠕变定律

与(1)=4"0</»<1

其中最常用的是暴定律

4/)=人产(Andrade,1910,194)

和对数定律

£1(/)=4Inf

但是这三个经验定律都没有严格地符合瞬态蠕变的概念，表现在

(1)、随着时间增加变形不断增加，而不是趋于一个常数；

(2)、r~>0时蠕变速率百⑺趋于无穷大。

为避免这些缺点，又有

£:,(/)=4ln(l+az)(Lomnitz,1956,1957)

经验定律的中V和A取决于试验条件。

二、研究岩石流变的模型理论

其主要的思想是利用具有简单力学性质的元件的组合，反映岩石的更为复杂的流变特

性。

常用的元件有三种：11)、弹性元件；(2)、粘性元件；(3)、摩擦片。弹性元件反映弹

性变形，粘性元件反映岩石的粘性，摩擦件反映岩石的塑性。

(1)、弹性元件

3)

1-13弹性元件的模型简图与应力应变关系

<y=Es(1-11)

从上图可以看出弹性元件的力学特点为：应力仅仅依赖于应变，与时间无关。在力的作

用下，弹性变形瞬间完成，以后只要受力不变，变形就恒定“简而言之，弹性元件有受力

瞬间变形，应变恒定的特点。

(2)、粘性元件

图1-14是粘性元件的模型简图与应力应变关系。从图中可以看出粘性元件的力学特点

为，应力与应变速率相关，当应力保持恒定时，应变不断增长，在受力瞬间变形为零。简

而言之，粘性元件有受力瞬间不变形，随时间流逝变形迫于无限的特点。

_U---•

(«)

1-14粘性元件的模型简图与应力应变关系

弹性元件和粘性元件的上述特性对分析流变模型的刀学特性是十分重要的。

（33摩擦片

1-15摩擦件的模型简图与应力应变关系

d£（1-13）

>a.—=const

sdt

本课程只研究粘弹性，故不考虑摩擦元件的作用。

在模型理论中主要研究两个问题：1、流变模型的本构方程；2、流变模型的特:性。

流变模型的本构方程是指模型的总应力、总应变之间的关系。

最简单的流变模型

在岩石力学中常用的最简单的流变模型有以下几种：I、Maxwell体；2、Kelvin体；3、

推广的Kelvin体（标准线性固体）；4、伯格斯体。

上述简单模型是由弹性元件和粘性元件的串并联形成。

推导模型本构方程的原则有两条：

（1）、若两元件串联，则总变形是两个元件变形的迭加。此时元件的应力相等，并等于

总应力。

（2）、若两元件并联，则元件的变形相同，并等于总变形。而总应力是元件应力的迭加。

1、Maxwell体

Maxwell体是弹性元件和粘性元件的串联组成的。

E,又小%

生，£口

图1/6Maxwell体的模型简图

按照串联模型特点：I、变形迭加；2、应力相等。因此有

(1-13〃，h)

式中下标1—弹簧，下标2—粘性元件。一模型总应变，一模型总应力。

从式(1-13小勿和元件的应力应变关系(1-11)和(1-⑵可得

一E-n

因此

aa

£=—+—(1-14)

En

式(1-14)已消去了元步应力和应变，因此就是Maxwell体的一维本构方程。

Maxwell体的流变特性

首先从模型简图看Maxwell体的流变特性。当Maxwell体受到一个恒定的应力的作用

时，由于弹性元件的作用，在受力瞬间模型有一个瞬时的弹性变形。由于粘性元件的作用，

随着时间的增长，变形趋近于无穷，因此Maxwell模型有瞬时弹性和蠕变现象。而当模型

在压力的作用下产生一个瞬时压缩变形，并保持不变时，由于粘性元件不断变形，在总应变

不变的情况F，弹性元件不断伸长，应力不断降低，导致模型应力降低，因此Maxwell体

有松弛现象。

Maxwell体的蠕变方程

按定义此时，因此，于是嫡变微分方程为

”=曳(1-15)

dt7]

积分上式得

£=—t+C(1-16)

fj

式中c是积分常数。初始条件为：当片0时，4。)=2。初始条件的物理意义是，在模型受力

瞬间弹性元件产生瞬时弹性应变为型。将初始条件代入(1-16)得出c=2,，因此Maxwell

En

体的蠕变方程为

[=*+%(M7)

E〃

Maxwell体的蠕变曲线见图1-13。从图中可以看出：在压力的作用卜.模型产生一个瞬时

变形4/E；随时间的流逝，变形增长。

Maxwell体的松弛方程

按定义，此时£=0,因此松弛微分方程为

积分上式可得

F--I

|ncr=--Z+C1(7=C,e"(1-19)

n

而当仁而二。时，粘性元件不变形，因此在受力瞬间弹性元件的瞬时变形为，相应的应力

为b(O)=E/。将这个初始条件代入上式，得出积分常数因此松弛方程为

b=(1-20)

Maxwell体的松弛曲线见图l-14o从图中可以看出

Maxwell体有瞬时弹性、蠕变和松弛。Maxwell体的长时力学响应象流体，因此Maxwell

体本质上是流体。

2、Kelvin体

E、q

520--------a,------------------•---------，，/

------------±\--------------

图1-19Kelvin体的模型简图

首先从Kelvin体的模型简图分析其流变特性，当Kelvin体受到一恒定应力的作用时，

由于粘性元件的瞬时变形为零，并且两元件并联，因此模型的瞬时变形为零。随着时间的流

逝，粘性元件持续变形，弹性元件也同步压缩，一直持续到弹性元件的变形为与=£=■^为

ll：o此时弹性元件承受了全部的应力而粘性元件完全不受力，Kelvin模型退化为一个弹性系

数为三的弹簧，因此Kelvin体有蠕变和弹性后效，其长时力学行为象固体。

如果对模型施加了一个应变，并保持不变。由于并联，此时弹性元件的应变也是，相

应的应力为这个应力不会随时间减小，因此Kelvin体没有松弛现象。

按照元件并联的规则：应力迭加，应变相等的规则，从元件的应力应变关系可得

(1-21〃，b)

从上面两个公式可得

(7=E£+rj£(1-22)

上式已消去了元件的应力与应变，因此就是Kelvin模型的一维本构方程。

Kelvin体蠕变方程

按定义，此时。=%=const,@gcr=0。因此从(1-22)可得Kelvin体的蠕变微分方程

dt

为

化+与2=生(1-23)

力Q7

求解上式可以得到

£=至改力+4=,曳/力+4=.>+曳

I〃」I，7」[nE\E

由于Kelvin体的瞬时变形为零，因此当f=0时，£=(),刈0)=0代入上式可以得到

E

代入上式，得出Kehin体的蠕变方程为

从上式可以看到：当if8时，£=?是弹性元件的变形，因此。Kelvin体有弹性后效。

Kelvin体没有松弛。因为若作用在模型上一个常应变，即e=£=0,此时从本

构方程(1-22)可以得出。=石/，并保持不变。

Kelvin体蠕变的物理意义是：载荷从粘性元件转移到弹性元件上。

Kelvin体有蠕变和弹性后效，其长时力学行为象固体。

Maxwell体的长时力学行类似于流体，这与岩石的力学行为不符，而Kelvin体没有瞬时

变形，也与岩石的力学行为不符。因此这两种流变模型用来模拟岩石的流变行为都不甚满意，

因此有下面的流变模型。

3、推广的Kelvin体模型(标准线性固体)

该模型可以看作是Kelvin体和弹性元件的串联

首先从模型简图分析其流变特性，在不变的应力作用下，由于弹性元件的原因，模型有

一个瞬时的弹性变形，随着时间的增长，由于粘性元件不断变形，模型有蠕变的现象。如果

作用一个恒定的应变到模型上，由于Kelvin体是与弹性元件串联在一起，粘性元件不断压

缩，弹性元件不断伸长，受力逐步减小，因此模型有松范现象。当应力作用充分长时间后粘

性元件不断变形，并将力转移到弹性元件上，此时模型变成由弹性元件1和2串联形成的弹

簧，因此该模型有弹性后效。

因此从元件的理性特性看，推广的Kelvin体具有以下流变特性：

1、瞬时弹性

2、弹性后效

3、蠕变

4、松弛

EI，G

AAAAA_______

/、&----►•----------•-------%，%

_AAAAA------71---------

£、>.。

图1-21第一种推广的Kelvin体的模型向图

改进的Kelvin体的一维本构方程

从模型简图和串并联原则，可知

b=/=/，£=£1+%，£K=£\，/=%;+%(1-2567,b,c)

式中下标K表示Kelvin体。由于Kelvin体的本构方程为

deds

=Erj+Z7—=3+〃下K(1-26)

将（1-25人）代入上式，得出

。=取£一£,）+/（£—£,）

dl

将弹性元件的本构方程代入上式，可得

整理上式可得，推广的Kelvin体的一维本构方程得:

r/a+(El+E2)(J=EtE2s+E,/7,e=&(七干+7s)(1-27)

对第一种标准线性固体可以同样推导，可按类似的方法得到它的本构方程（留做作业）

上述模型

此模型更像一个固体（对第一种标准线性固体）。

本构方程的求法：b=5=/,£=鸟+牡，。内=4+0月，£]=£“=4。

由Kelvin体，①=CT=耳0+〃与，（y2=cr=E2£2o

/■、

利用“马十七，CT=E]（£-邑）+/将第二式代入°=E[6'--I+/7,£-不»

推广的Kelvin体的蠕变方程

按定义此时。=%=const,<T=0,因此从（1-27）式可得蠕变微分方程为

dsE.E+E,

一+—£=（To———-(1-28)

dlrjE2JJ

上式是柏努利方程，利用求解公式可得

E+区片+心

°F3(1-29)

蠕变初始条件为£(0)=生，代入上式可求出，。=曳("二与士")=-%将c代入(1-29)

EzE,Et£

式，得到推广的Kelvin体的蠕变方程为

从上式可以看出，40时的瞬时弹性变形为

仪0)=鲁

式中，&)=&是模型的瞬时模量。当，一＞8时的长时应变为

E.+E、cr0

4=[

式中，邑=旦。是模型的长时模量。显然邑=室口＜居;邑=遇生＜旦=4。因此

在恒力作用下，经过充分长的时问该模型退化为弹性体，其弹性模量比瞬时模量小。

推广的Kelvin体的松弛方程

按定义，此时£=%=consi,5=0,因此松弛微分方程为

dcy&+E,E[E,

——+—---^cr=—(1-30)

出f]fl

松弛的初始条件为"0,0(0)=区岛，方程(1-30)的解为

耳+£

将初始条件代入上式，得出

因此

**%+8。一景%缶2划

由于反可以看成推广的Kelvin模型的瞬时弹模，星-可看成长期弹模，令E2=EO,

善三=邑模型的松弛方程可以写为

£+E2

丸航+(&£()-&£(>)«(1-28Z?)

当f=0,(7(0)=E2£Q

0-(0)=E后

当,8时

O=E&

推广的Kelvin体的蠕变曲线和松弛曲线见图1-23和1-24

从图1-23可以看到：在受力瞬间模型有一个瞬时弹性变形，当，T8时，随时间的流

逝变形增长，但有一个上限。

/=。

图1-23推广的Kelvin体的蠕变曲线图｛_24推广的Kelvin体的松弛曲线

从图1-24可以看到：随时间的流逝应力不断下降，但有一个下限。

第二种标准线性固体的蠕变方程和松弛方程可以按同样的方法导出，其中的关键是根据

模型的流变特性，给出蠕变初始条件和松弛初始条件。

推广的Kelvin体可以模拟蠕变、松弛，瞬时弹性和瞬时弹性后效，并且本质上是固体,

弥补了Maxwell体和Kelvin体的缺陷。因此，较好的模拟了岩石的粘弹性行为，是最经常

采用的岩石流变模型。

5、伯格斯体

伯格斯体是Mxwell体和Kelvin体的串联

0£K

E],£Af心，£M__

软），％——►----7]————•V--------%，£。

~±1~~

%，£K

图1-22伯格斯体的模型简图

因此

（）

J=crM=crA,,E=£Y+eK（1-28〃，b

式中是Maxwell体的的应力,是Kelvin体的的应力，是Maxwell体的应变，是Kelvin体的

应变。

Maxwell体的本构方程是

(7O

£=一+一(1-14)

En

Kelvin体的本构方程.是

（7=E£+l]£

将（1・2砌代入上式,并注意到（1-28幻，得出

♦・

（T=E]（£-£m）+77I（£一）

将上式对时间求一次偏导数，得到

•・・••

。%£M）十IJ]（£一£1,1）

将Maxwell体的本构方程(l-28a,b)代入上式，得到

(y=E\£------)+7i(^--z-----)

E2Hl与仇

整理上式，得出

—CT+—CF+—(7+—C7+(7=f]]£+E