材料力学第七章应力状态和强度理论

第七章应力状态和强度理论§7-1

概述§7-2

平面应力状态的应力分析·主应力§7-3

空间应力状态的概念§7-4

应力与应变间的关系*§7-5

空间应力状态下的应变能密度§7-6

强度理论及其相当应力§7-8

各种强度理论的应用*§7-7

莫尔强度理论及其相当应力§7-1概述

在第二章中曾讲述过杆受拉压时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体──单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态可用一个单元体及其上的应力来表示。第七章应力状态和强度理论单向应力状态第七章应力状态和强度理论纯剪切应力状态第七章应力状态和强度理论研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：

1.

了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服现象是由于在切应力最大的45˚

斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚

方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。

2.

在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)的基础。第七章应力状态和强度理论本章将研究：Ⅰ.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；Ⅱ.平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律；Ⅲ.强度理论。第七章应力状态和强度理论§7-2

平面应力状态的应力分析·主应力

平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面上的应力”)。第七章应力状态和强度理论纯剪切应力状态第七章应力状态和强度理论

对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。(a)(c)(b)第七章应力状态和强度理论

平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。第七章应力状态和强度理论Ⅰ.斜截面上的应力第七章应力状态和强度理论

图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义，且a角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa和切应力ta均为正值，即sa以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。

由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf的面积为dA·sina。图d示出了作用于体元ebf诸面上的力。体元的平衡方程为第七章应力状态和强度理论

由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a斜截面上应力sa，ta的公式：第七章应力状态和强度理论Ⅱ.应力圆

为便于求得sa，ta，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohr’scircleforstresses)来表示。

先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：第七章应力状态和强度理论

而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代表a斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。OC(a)第七章应力状态和强度理论第七章应力状态和强度理论OC(b)

图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty=-tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s轴的交点C为圆心，并且以或为半径作圆得出。值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述sa，ta计算公式中以2a为参变量这个前提。第七章应力状态和强度理论OC(b)

利用应力圆求a斜截面(图a)上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的坐标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：第七章应力状态和强度理论E点横坐标第七章应力状态和强度理论E点纵坐标第七章应力状态和强度理论Ⅲ.主应力与主平面第七章应力状态和强度理论

由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横坐标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180˚可知)，且这两个截面上均无切应力。第七章应力状态和强度理论一点处切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。据此可知，应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图a所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。

在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。图b所示应力圆中标出了s1和s2，而s3=0。第七章应力状态和强度理论当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。第七章应力状态和强度理论

现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式，由于

其中，为应力圆圆心的横坐标，为应力圆的半径。故得第七章应力状态和强度理论第七章应力状态和强度理论或即图c示出了主应力和主平面的方位。讨论:

1.表达图示各单元体a斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗？第七章应力状态和强度理论

例题7-2

简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图a所示，梁的横截面如图b和c。试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点(图c)处的主应力。第七章应力状态和强度理论

解：1.

此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。第七章应力状态和强度理论2.

相关的截面几何性质为第七章应力状态和强度理论3.

危险截面上a点和b点处的应力：第七章应力状态和强度理论4.

从危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图f和h中所示。据此绘出的应力圆如图g和i。yx(f)(h)第七章应力状态和强度理论对于点as1和s3的方向如图f中所示。yx(f)第七章应力状态和强度理论(g)s1注意到图f和h所示单元体，其平行于xy平面的面为主平面（其上无切应力，相应的主应力为零，故图g所示应力圆上点A1所表示的是s1。按作应力圆时的同一比例尺可量得：(i)(h)对于点bs1沿x方向(图h)。实际为单轴应力状态第七章应力状态和强度理论

当然，点a处主应力s1和s3的值及其方向也可按应力圆上的几何关系来计算：亦即a0＝-23.2°。第七章应力状态和强度理论(g)s1§7-3空间应力状态的概念

当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。第七章应力状态和强度理论

空间应力状态最一般的表现形式如图b所示；正应力sx，sy，sz的下角标表示其作用面，切应力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。(b)第七章应力状态和强度理论

图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一坐标轴的正向而该面上的切应力指向另一坐标轴的正向时为正。

最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy

，txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx，sy，sz，txy，tyz

，tzx。

当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。(a)第七章应力状态和强度理论(b)(c)第七章应力状态和强度理论

例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。

进一步的研究证明，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)第七章应力状态和强度理论

同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。(c)

据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1，而最大切应力为(c)第七章应力状态和强度理论§7-4

应力与应变间的关系

前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量：sx,sy,sz,txy,tyz

,tzx；与之相应的有6个独立的应变分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。第七章应力状态和强度理论关于应力分量的正负已于§7-3中讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致，规定：线应变ex,ey,ez以伸长变形为正，切应变gxy,gyz,gzx以使单元体的直角∠xoy,∠yoz,∠zox减小为正。第七章应力状态和强度理论

本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件下，空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关系，即广义胡克定律。第七章应力状态和强度理论

各向同性材料的广义胡克定律

对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料：

(1)

在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变；

(2)

在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。第七章应力状态和强度理论

现在来导出一般空间应力状态(图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为第七章应力状态和强度理论同理有至于切应变与切应力的关系，则根据前面所述可知，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有第七章应力状态和强度理论对于图b所示的那种平面应力状态(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，则胡克定律为(b)第七章应力状态和强度理论

各向同性材料的三个弹性常数E，G，n之间存在如下关系：

当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为第七章应力状态和强度理论式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。第七章应力状态和强度理论

在平面应力状态下，若s3＝0，则以主应力表示的胡克定律为

例题已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex＝240×10-6，y方向的线应变ey=-160×10-6，试求该点处x和y截面上的正应力sx和sy，并求自由表面法线的线应变ez。已知材料的弹性模量E=210GPa，泊松比n＝0.3。第七章应力状态和强度理论

解：1.

构件的自由表面上无任何应力，故知该点处于平面应力状态。2.根据平面应力状态的胡克定律有联立求解此二式得第七章应力状态和强度理论再根据平面应力状态的胡克定律求得

需要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并未说明在xy平面内无切应变，故不能把求得的sx和sy认为是主应力。第七章应力状态和强度理论§7-6

强度理论及其相当应力

材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。第七章应力状态和强度理论

但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以不可能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设──强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。材料的强度破坏有两种类型；

Ⅰ.

在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；

Ⅱ.

产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；

Ⅱ.

研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。第七章应力状态和强度理论(1)

最大拉应力理论(第一强度理论)

受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂。第七章应力状态和强度理论由于横截面上的最大正应力，可见，所有应力状态发生脆性断裂的失效判据为而所有应力状态发生脆性断裂的极限值其中，sb为材料的强度极限。相应的强度条件则是第七章应力状态和强度理论其中，[s]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[s]＝sb/n，而n为安全因数。

(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论)

从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂(断裂面沿施加压应力的方向，即所谓纵向)来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为第七章应力状态和强度理论对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu，如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由单轴压缩试验测定的(例如对石料和混凝土等非金属材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂)，则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。第七章应力状态和强度理论亦即而相应的强度条件为

按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。第七章应力状态和强度理论

如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：

(3)最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45˚

斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力tmax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tu＝ss/2，那么上列屈服判据可写为即第七章应力状态和强度理论而相应的强度条件则为

从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力s2对材料发生屈服的影响；因此它与试验结果会有一定误差(但偏于安全)。

(4)形状改变能密度理论(第四强度理论)

注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。第七章应力状态和强度理论于是，第四强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料，注意到试验中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相应的形状改变能密度的极限值为故屈服判据可写为第七章应力状态和强度理论此式中，s1，s2，s3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为

这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即第七章应力状态和强度理论(5)强度理论的相当应力

上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：式中，sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件s≤[s]中的拉应力s，通常称sr为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。第七章应力状态和强度理论相当应力表达式强度理论名称及类型

第一类强度理论(脆性断裂的理论)

第二类强度理论(塑性屈服的理论)

第一强度理论──最大拉应力理论

第二强度理论──最大伸长线应变理论

第三强度理论──最大切应力理论

第四强度理论──形状改变能密度理论表7-1四个强度理论的相当应力表达式第七章应力状态和强度理论§7-8

各种强度理论的应用

前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接近于均匀,连续和各向同性。

需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。第七章应力状态和强度理论第七章应力状态和强度理论

带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。

圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。第七章应力状态和强度理论