考研：数学基础过关660题答案册（数一）

数学基础过关

660题•答案册

（数学一）

基础过关1阶

高等数学

填空题..................................................7

选择题..................................................54

线性代数

填空题..................................................127

选择题..................................................117

概率论与数理统计

填空题..................................................175

选择题..................................................189

基础过关2阶

高等数学

填空题..................................................213

选择题..................................................227

高等数学水平自测一答案

本自刚题机皆易.休丘当快速无成苑试.也无压力.

钿及你解答这些君还有困疝.请自行讣课.描芬攵习全书•氐片篇：.

1・【答:士】I.）

【分析】则（〃+&」:一尸|.______27-27〃+9/一〃______

1--〃”+2〃+1—(〃,+3〃'+3〃+1)

..一/十9/一27〃-27

=li【n二

一＜--〃一Ln-n

1927।27

—1H------------r4--

v〃犷n

hm---

*t—-*[4]

1

〃〃

二1

2.【答案】C

【分析】显然/Q）可导，则极值点必然为驻点•乂有

/（x）=dcosx+cos3/

故，'（号）=V—1=。♦故°=2.

3.【答案】C

【分析】.\，小=（二+。‘产‘=（,：•'•/''：-，〃！•（，）”

故有=（1+1）'">=〃！一■

4.【答案】C

【分析】|Inxdx=xlnJ—|1dJ=e—e4-1=1.

(x

6.【答察】D

【分析】ih¥级数的收敛半径计算公式可得

…•中

=?!"(''7)"-f=f

故窄级数的收敛半径样1=

Pc

7.【香冬】I

【分，由洛必达法则和变限积分函数求导公式，可得

sin/d/

lim*.=lim-1

…[,<k…”

8.【答案】手

【分析】显然/<.r>似一­.1)111(1.4-x)上均连续•下面讨论。1处的连续性.

/(I，—lim'」——lim•ccsn(./—I)兀

….『一I…

/(i)lim(aresin.r+k)=.+Zr

/•1’

若要使./“)在」=1处连续•则应有/(I)一/(I),故(一盛.

9.【答案】v=9T।

【分析】、：5/7・则：/1../I时.Y_2,v'=\.

2G।

可VAUJ线方.程为N2='(.1--1)------1.即y=4"+1.

i44

1().[77r]I<1vI/(.r.v)(l./

【分析】根据二币枳分㈣出来枳分区域为右图.丁是直接交换枳

分次序为

•<rif»v

<1v|/(.1.v)cl.r

高等数学水平自测二答案

公自科】。个小题上艮朦衣的蝴金。讣u.堪比不大.同学你口与九电定时间内完冬.修‘

为果小士交is冷.济a仃讣^.苏苦&q介书•艮础*

1.【答案】C

，八-1*lan(,r—1)...r—1,.(.r1)(.r4-1)

【分析】hmJ-"叩—吧5|)(—)

2.【答案】A

【分析】i己〃—M.则J1时“I.

所以d.v-----d.r.

3.【答案】C

【分析】於।'d'—sin.r(.r)2.rsin.i.

4.【答案】D

f?|

【分析】由已知./(.r)d.rlnn\/r-<\/(.r)色一.

..1,

Ix/(.z)(l.r—|r(l(/(.r))-.「/(.，)一|/(.r)d.z—2In.rIn.rf-(,

答案选(D).

5.【答案】B

【分析】令/="2/-1•则|6%-=I：c'/d/=3/C/)一2c・所以选(B).

6.【答案】A

【分本斤】/(J-v.JV)=.1•v;—(.<-V)*2.rv.

id«*•,v.「./、・/(".「>tt.或改id成/(」.、)

/(j.,v)"(.r・.y)o

7.二】……Y

，八..farctan.r.1/1I\'arcian.1.farctanj,.

'】J-j"-卜—L.EW[;tL,I]+「'.

arctan.r.f1\ardanx.i1

-----------dx=—arctan.rd——-----------------b■-；-；—r-

.fJ\rI.1J.r(l+r)

arctan/IfI..

-72'l?(lKr)dr

arcian.♦I；*/J]\

,r2J\.r-I4-.rr

--In“+(

x9114.r

arcian.r.

-：-------r-d.r=~(arciani>.所以

I+r

IarctanJ.arcian.r1..厂1z...z,

产---------------z-lni--------:——(arctanA)r-(.

.r21•.r'2

8.【谷1】-9.13

”］由题设可知

f(1)=a-rbt-1=5

/(1)=3ar-2Zu•1,..”<•'lh1

a+/，-1=5i2a+2。+2=10«=—9

13a+2/)+1：./•-1-06=13

9.-]0

【分析】|x/(j-)d.r=|.rd/(.r)—//(/)—JJ(r)tl.r—I—4=0.

10.]2.rv*cos(2.r-*-v)2.rvsin(2.ry).2.r:ycos(2./TV)—.z\v'sir)(2.i-j»).

【分！】由二元函数求偏导的链式法则

江「上•办

2i/cosv•virsinv•2

2.ry:cos(2.rIv)2.rvsin(2.r4-v)

f)Z<hi,(fv°1.

z-=~----r-•<、.•/“>in<•••I

r/v</uyda

=2.rycos(2.ifv)rjsin(2.r+y)

,6,

品等数字

埴,交题

ini【答案】o

由Vx€(-8•一8)・/(工+2)/(.r)=/(2)可知，/(/)是以2为周期的局

期函数的充分必要条件为/⑵=0.

3为V.r6<­••)・八/2)-/(.r)=八.17/(2)=-1+2)-/(-1)=

/(I)./(-1).

而函数/(.r)为定义在(一―，+M的奇函数，故/(2)=2/(1).

因此当且仅当八D=0时/(.r)是以2为周期的周期函数.

o.x<.41

4—(4-.r2).\'2

4—(4—M)；•一J6£」―

0.*》疾

解不等式./(」><2•即|11.・洋得"(」Wv体或一展工工工一&.

所以当一二」或一户，〈一住时.3))=1—(1一厂/•当r-&或x|>

76时・/《/(/))-0.

3【答案】7

【分行】/(“十5)=/小吗？不会做?5rx看

《笈学旦2生节•思础篇》

所以f(.r)—M—2.liin/(.r)—7.商致不一率

扫北坡停由续

4【答案】e-1

【分析】因为limcosI''=cos0—I,所以只粉求

J=lim|sin]+cos5)

这是指数型(1)极限・川求指数型极限的一般力.法:

limJ-

*--

转化为求

liin.rlnfsin二Tcos一)^In^jn^+cosz)

•…\].r/

洛必达2coz2f-sin/.)

lim

法则sin21—cosI

V.

•7•

一理■■过关660瓶•教学一(答案册)

方；.1川求1型极限的方法:

1一—一：一.，（M..7.I）

liin［卜山"•cos1一1）一］'——

・.1”,（•lh-——

=I­

lim.rfsin-^--cosSH，2,

Jt'l11）一-lim•亨—1

济必达..

lim（2cos2tsint）2

法则...•

/=（c）

5【答案】y

［分析］+r—_'(、/】丁：—।卜.「(Ji-］-1)

/=lim/(、|))lim/、1，Ij

二.5(，.：.>>；"<(-4--(^))J-\-J.

【评注】这里先作恒等变形后利用了等价无穷小因子替换：

(1+/)•—1〜4(/-*0).

这是求一•仪的极限.先传化为;电极以•然*再用洛必达法则.

...尸尸

/lim(./CT~•.1,)-h【n

，--r•••

111

SSa

663,

6【答案】0

【分析】这是：型极限.先作如卜变形:

I_］jm/—in—-2-in.r+:in2」

<•.r!

可用的方法是洛必达法则（计0：较搬）与泰勒公式.

注意泰勒公式

sin.r.1--i-.r'I<>（./）（./»。）（/」项系数为。）

o

=>.rsinT—.r（J'♦o（.r'））—.r+〃（.//）

2sin.r—2。r./•〃（」：））-2.i♦'」十〃（」）

'b/3

•8•

高等数学

-2.r

相加得

JMI1+sin2.r(>•<)(./)(.「♦())

r।-o(..r)..

因此I-inn----：-二0

【评注】如果求

.rsinM-2sin.r4-sin2.r

就要把sinz展开到.r项:

sinJ-=x-+o(.r)(J-*0)

b12。

然后可得

asin.r2—2sinx+sin2x=-y-x5+o(.rL)(x-►0)

4

于是

5•r，4-o(xs)

limd——r——+0=

r-0TT

7【答案】3

【分析】川等价无穷小因广杵换

\/\•.r1(I-/>-1〜—

m

cos.rI....I,

得-1=\/\4-cos.v1，*'1.I<.

jjrn—x/Tcos.iI)I)(1、.((•(>、./Hl)•••(I(cosu'—1)I1)

(I-n)sr>"

y/(COS.11)rII)//VCCOS.1'1)7I\.…八(7(("•「1)+1

Iim(•I人I-'一!)

/•COS.7•cos./cos.r-1

—(cosJ1)—(cos,r-1>一(ros.rI)

•Jn

lirn---------------：——X

r.ncos.rIcos.rIcos.r

'-3…・：1

用等价无穷小囚f样换:

Iln(1•I)(/・())

(cos.i)7—1〜Incos.r尸—IYII=IDcos.rA0)

因此

(A/CCSJ,H<\COS.1I>,•,(vcos.1■1)

/=lim

cos.r1)'

Iny<<)>/l：ic<)>,i•,,hi\c<>>i

jlitn

效学基础过关660ag•教学一（答案例）

用极限的四则运算法则,这是〃1个极限的柒枳.分别求每个：刈极限

于是

I=I"J「…二.lim;…lim

…I—cos.r»-oI-cos/L（»1-cos.r

=4-1'!.....工二4

231tinI

8【答案】

【分析】这是""地极限•先作恒等变形

乂

1

r-.r-Ic'/因子拌换一

=limL=o

洛必达法则U-2.rc

我中心亍）二

因此.

9[旬1

[1当，〃,\\竽卜

.•sin.1/.SIIX.r=l-4X1X0~

lim——T-lim-X——1.

1--,r'।•Z

10【答・,】In2

【分析】lim.r（2"-2/）=lim2*M（2孑士一1）

=limr（2,二:—1）

仙•肃力=必2.

【答案】1

【分析】lim(M-4-.r),*liiiic'、"'

12【答案】2

【分析】这是•・。吧的数列极取•转化为求:型的函数极限.然后用洛必达法则.

?2

arctan——arclan

ti

lim

1

9,

arctan2」，arctan,~

1+.r

=lim

2]2(1一」)一2」

(I+.r>

IfrIH.......——

(1+.，尸

2.r

________(1+.r——1______

—lim

STI-+-Lr)((14-.r>--II.Z)

2I7

=lim..--------——>2

J«4)(I•：./)((II./)・I，)

99

y.A-:这兄,•o型极限.为前化计算设法J•求mn'arctan—\的等价无穷小.

〃w*1I

的改变址/（：）/岛卜

它是./Cr)=arctan,r由拉格即H中值定理.它可改叮成

229

arclan•一arctan-；~；

WH-InII

199

(n-)

1+7n(nF1)n(n41)

7

•时」►I.

以:中亡I

I+3

9

因此・/linw/;•

【评注】设lim.r”—>.limy,=lime.—a.

求形如

1=limx^/C.yJ

•r9r

的数列极限（3・0型）•可考虑用拉格朗日中值定理•转化为求

I=—Q•/（3）

其中a在义与之”之间.

•11•

■■■■过关660欧•教学一（答案册）

13【答案】

【分析】显然

即人行界.

1

令小）1.>/(.；)”/(./.)(〃1

14-,r

因此.小收敛・氾巾【11”—a.

可递u1//程」：：K」两边取极限得〃=\1:“•即

,/―a_1-0

I+&

解得a2-

【评注】也可按定义证明工“单调.考察

+；）-"4上卜号?一击

(«=1,2.3,

(1+.rh)(l+工

又Z1=1V.1,2=T-77="I"•由归纳法可知

1I1W

14

ln（lf.r•5

【分析】IIIlitn-------------3（I）

■•仆.r

'*1.<r0时•分修为无穷小•所以分子也为无穷小•进一少仃1吁卜1〃：））=0.

因此•当/A。时

ln（14-.r4-）—」•+，（，）

.r_£k2

所以《1）可写为lim.....-=3.因此lim）-2.

….r«....广

15I：.案】3

1而以,)而「回上」—=立3"[=().

…J-…LI'」

lllih.nhl(1,所以lun""11

r>a.r4r••.r4

16【冷】In3

【分析】尤求出lim.r；=limc11

•12•

筋、;•筑，旗高等数学

hm7

I"•V!

由雨奴的连续件用Inn/：，•/(I)I.limIn?/J>]In3.

171.，)

【分析】由泰勒展开•当"»时.

\1—iJ(]!)_-.r|JJ-<><i：I

所以“1.6-(1・

18【答案】/)

【分析】因为」足分段南数,分界点是J".Zlmu-不存在.但1出.liniv

"所以要分别求左湘皿

lim八一‘J--<

lim・7”/'」P

0-b1P

,"uAc••〃•—//

4I//<•.711/，.，〃+1)

,lin「.

A<-bva—0

因此//>•

19【答案】1

■>

【分析】I।..

S'(':r

1

rh泰勒公式知・〃时.ln(!)±八所以当〃时・

IIf〃n

3(1,1)二…

畤(I—：)的等价无穷小为c(；了.

20二】〃-i

/(/)(1/

.1上三)・求正数人使得——3=0.

，(.r—a)

这是1中极限.川洛必达汝则用

|/(/)(!/

l(.i)J|ik「(」)

lim——nn-——lim

•」‘(.，a(〃♦1)(.r—«)"

E'“T)

•13•

・道关660髓•教学一（答案册）

=>[./(/)(1/足(Ja)的(〃t1)阶无穷小.

21【三£】6

确定〃>0使得

,•n•o

ln(1+/)<k—..i、(,rsin.r)-y.r"

।rz"

lim—]im"L+(」sin」)」(I—.r)_.

，•n.rru

1>..i-sin.*I|.】—c。、”_Lyo

——lini-------------------litn

2，•〃.L“32〃(〃一3).「取”=672•

其中

InIt<./sin.i)〜.i—sin.r

cos.r〜—-0)

应填〃=6.

22*1

X

【分析】lim/(/),limln(1f3.,)

3

要使得函数/-<.!><E.i()点极限住住•必须满足

..、..sin.I(/;CDS.r-1)1

r/hni

e-ta：・；

故〃一I,11.

sin.t(/n-os.r1)b-1-

lim।

c--I«•

一•

23【爸3】a=1.6=In2

【分析】先分别务察./“）・#"）的连续性.

对Va•」/U时/3）连续八时/（.，）左连续・00）=6.

a.r______

乂lim/(./>limlim

.»aresin./r—aresin.r

‘…'limulim

,sni/—/.sin/

=ulim.M-..

.­cosf1

以当〃二I时./（.I）住/I）行连续.囚此•仅当“1时八」）在.「=0连续.

对Y3.I时/11连续7！时《（./）八连续.乂（1）-一1.Z

.•,、I-3sin（.r-1）..

=Inn-------------；------=3

..1,.I-1

仅当c'I1=3.011F-2.6=In2时#（.，）住『=1左连续.因此•仅当6-In2时—（/）住

.，一1连续.

•1I•

高等数学

现由连续性运或法则知.〃In2・〃I时/(/)-«(.r)处处连续.

〃士-1时・/(.『)在.，0不连续・*(/)作J=0连续

=>f(.r)-*-*(/•)(\:..1「0不连续.

bhi2Hj./(.r)fl：.i:连续・乂(‘)住」-16连续

=>/(」)；《(.「)住J-I不连续.

因此•仅»“一1•1»In?时/(J)十*(.♦)，卜：(一,,・十二)处处连续.

24

/(.，•>只行间断点『—a/».

**|a=1Jrc时

x=1为可去为断点.

.1-=C为无穷间断点.

当a=c・〃=1时

limfC.r)一•.lirn/(./)

2-•II••

.1-1.」C均为无穷间断点.因此,(U・〃)(I.e).

；(.{­)

先求出/(.r).

.i-(：J]•/(/)-lim'[：'：:'i.

n•I十C"'I'()

x=0fl»j./(0)0.

、ni14it\r...re"1-f-.v'0-j-:

■11B-r./(」)Inn.lim..

…1+c”…I+c1+0

因此—

/")处处连续•即连续区间足(.一•).

注目:在rJ1处；irci;ui常\(v1.1)-»-:.易得

・

/'(.，)-(ardan.r)---------..r:二I

1—.i-

其中丁=1处是/'(1)-=[.

rIT7]

f(.r)=(«-)):(2./<1-1)1

―一4»/0一

・15・

，・学■・过关660,•教学一（答案册）

1处是/Z(1)=J(2.rc

其中I)

1

因为./"(I)=/(I)-J"⑴

y-

.1〈I

1+.r

因此/'S

4-(2.rr,11).

/>I

,r(1,r)ln(1

.1•.I--1

J-(1-./•)

27【答案】

1

~2°x=0

【分析】I'l/tlli/(.r)(\,.r。连续确定〃值:

-li.nln-(1t-Z^

—lim—=b=/(0)=—

ln(I

./-1--1

11.

.r-0

.r丰0时

(I.r)ln(1.r),.//一/八、

(-oc<,r<1/0)