考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结

1高数部分

1.1高数第一章《函数、极限、连续》

求极限题最常用的解题方向：

1.利用等价无穷小；

xvinx.XMircsinxx~uuu.x*ervtanxx*ln(-1**xl-c<wx--x2.(I♦-1~-7

2n

2.利用洛必达法则;型和艺型直接用洛必达法则

000

O00、8°、I00型先转化为3型或艺型，再使用洛比达法则；

000

£

3.利用重要极限，包括近Q=1、lim(i+x)^=e、］ini(i+§)x=e；

%-0sinx%—>0x—>00

4.夹逼定理。

1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》

第三章《不定积分》提醒:不定积分Jf(x)dx=F(x)+C中的积分常数C容

易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加

深印象：定积分)7(%)右的结果可以写为F(x)+1,1指的就是那一分，把它

折弯后就是］*/(%)公=方(8)+。中的那个的漏掉了C也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还

要注意定积分与不定积分的差异一一出题人在定积分题目中首先可能在积

分上下限上做文章：

对于1/(%)"%型定积分，若f(x)是奇函数则有［f(x)dx=Q；

J-aJ-a

若f(x)为偶函数则有L/(%)d%=2£f(x)dx；

对于，/⑶公型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常

用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对

称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换和利用性质工奇函数=0、

「偶函数=2『偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的

套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。

1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》

用以下逻辑公式来作模型:假如有逻辑推导公式n、(n)nC、(nn)nF,

由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可

以是这样的：条件给出A、B、D,求证F。

为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证

明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。

正方向入手时可能遇到的问题有以下几类:1.已知的逻辑推导公式太

多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的n就

可能有n、An(n)、S)nM等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有

可能用到，如(H)nM,因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但

这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的

时候想不起来或者弄错。如对于模型中的S)nC,如果不知道或弄错则一

定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题「。

通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练

和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原

因。

,解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而

不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更

重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。

“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题

老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常

有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式（nn）nF

再倒推想到（n）nC、n就可以证明了。

如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那

么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题

中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出

来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：

条件欲证结论可用定理

介值定理（结论部分为：存在一个£使

关于闭区间上的连存在一个

得/⑸=左）

A续函数，常常是只£满足某

零值定理（结论部分为：存在一个£使

有连续性已知个式子

得/⑸=。）

存在一个费马定理（结论部分为：/（［）二0）

B£满足罗尔定理（结论部分为：存在一个£使

条件包括函数在闭

得几）二。）

区间上连续、在开

存在一个拉格朗日中值定理（结论部分为：存在

区间上可导

C£满足—个£使得人［）=缥弊）

J3=k柯西中值定理（结论部分为：存在一个£

使得，=蟹瑞）

另还常用构造辅助函数法,转化为费马

或罗尔定理。

面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结

论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处一一要“牢记

定理的结论部分”。

综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是士Z

切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证

结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可

能工不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难

就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们

需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变

形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解

决。

1.4高数第六章《常微分方程》

历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经

常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程

等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大

题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。

解题套路:|“辨明类型一套用对应方法求角厂

先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢

记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型的方法最后的目的

都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)(y)的形式，再积分

得到答案。

对于可分离变量型方程变形为小公生⑴打，再积分求解

/i(x)gl(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0

齐次方程y=/(T)

做变量替换M,则V化为“+

原方程就化为关于“和%的可分离变量方程,

变形积分即可解

对于一阶线性方程y=~/pM(Je'P(X)q(x))

y'+P(x)y=q(x)

全微分方程M00因为具有条件詈=簧,而且解题时直接套

用通解公式「M(x,y)dx+fVN(x,y)dy=C.

J%00J%

所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果

公式。

对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于建)=/(%)型方程，

就是先把当作未知函数Z,则y(")=Z'原方程就化为dz=f{x}dx的

一阶方程形式，积分即得；再对了叱2)、V)依次做上述处理即可求解；

/=f(x,y)叫不显含y的二阶方程，解法是通过变量替换y,=P，

y〃=P'(P为x的函数)将原方程化为一阶方程；>〃=/(>,》')叫不显含x的

二阶方程，变量替换也是令V=0(但此中的p为y的函数)，则

y"=%^=p*=pp'，也可化为一阶形式。

所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换

号"，“求解贝努利方程2(x)y=g)y"就用变量替换Z=丁i”一样,

在这里也要记住“求解不显含y的二阶方程就用变量替换y=夕、y〃=p'"、

“求解不显含X的二阶方程就用变量替换y'=p、/=pp'"。

大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二

阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常

相似，可以对比记忆：

右以⑴、为(X)是齐次月程若齐次方程组0的基础解系有()个

y'+p(x)V+q{x)y=0的两个线性无关线性无关的解向量，则齐次方程组

的特解，则该齐次方程的通解为的通解为

0(尤)=《％(%)+c2y2(%)x=A1yl+&为+•••+公一》*『

非齐次方程V+p(九)V+=/(x)非齐次方程组的一个通解等十的一

的通解为y=仇乃(%)+c2y2(%)+M*(%),个特解与其导出组齐次方程0的通

其中乂⑴是非齐次方程的一个特解，解之和

C1%(%)+c2y2(%)是对应齐次方程

V+p{x)y1+q(x)y=0的通解

若非齐次方程有两个特解若6、々是方程组的两个特解，则

%(%)%(%),则对应齐次月程的一个(八_)是其对应齐次方程组0的

解为y(%)=乂(%)-%(%)解

可以说本章难就难在记忆量大上。

1.5高数第七章《一元微积分的应用》

本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较

少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中

经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、

体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分工/⑺改单独分离

到方程的一端形成=s”的形式，在两边求导得到微分方程后套

用相关方程的对应解法求解。

对于导数应用，有以下一些小知识点：

1.利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用

定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：

A.极值的定义是：对于公的邻域内异于公的任一点都有/(x)>/(x。)或

/(%)</(%),注意是>或<而不是2或W；B.极值点包括图1、图2

两种可能，

所以只有在/(X)在/处可导且在天处取极值时才有f,(x)=0o

讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理(结论部分为储=0)、

罗尔定理(结论部分为几)=0);常用到构造辅助函数法；在作题时，画

辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函

数图象会比较容易判断。

2.理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：

A.若函数/⑶在区间I上的/"(x)<0,则/(x)在I上是凸的;

若f(x)在I上的/"(九)>0,则/(x)在I上是凹的；

B.若"X)在点/处有%=0且/〃(%。)w。,则当f"(x0)<。时"X。)为极大值,

当/(%。)>0时/(%)为极小值。

其中，A是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，/⑴是/(%)

的变化率，/"(X)是尸(X)的变化率。九)>0可以说明函数是增函数；f"(x)<0

可以说明函数“X)的变化率在区间I上是递减的，包括以下两种可能:

同样，/"(%)>0也只有两种对应图像:

所以，当广(%)<0时,对应或的函数图像，是凸的;

当/〃(%)>。时,对应或的函数图像，是凹的。

相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的

充要条件多了“几=0且/(%°)。。”,这从图像上也很容易理解：满足广(无)<0

的图像必是凸的，即/或，当儿)=。且/〃(%o)W。时不就一定是

y

/T\fw

一的情况吗。

对于定积分的应用部分,首先需要对微元法熟练掌握。

关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格:

求平面图形面

•b

s=\f(x)dx

积a

求旋转体体积]尧％轴旋转体的体积

(可用微兀法1L；々=f2(x)dx,

也可用公式)1尧y轴旋转体得体积

f/y-xf(x)dx

«tx'

尧％轴旋转体的体积

汝"2?(X)-九2(%)]dx，

绕jy轴旋转体得体积作=2句:4/⑺-力(%)心

2

已知平行截面y

面积救体体；：i-

Ca

V=s(x)dx

Ja

积

求平面曲线的

弧长3»xbx

1=:J1+(V)2dx

1.6高数第八章《无穷级数》

本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求

和函数”和“函数的塞级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题

中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。

对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则

运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般

形式有以下典型例子:

1.已知级数收敛，判断级数X器的敛散性。其判敛过程的核心

是找到不等式,母⑷+六），再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种

“知一判一”式的题目是有局限性的一一若已知级数收敛，则所要求判敛

的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条

规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研

真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。

2.上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要

求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联

系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列为满足

11m-＞o,判断级数Z（六）"的敛散性。关键步骤是：由表＜士＜1得到

Xf0

（六）"＜（焉）"，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限

形式的题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。

幕级数求和函数与函数的幕级数展开问题是重点内容，也是每年都有的

必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法

灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求

和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对

“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要

接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花

时间来掌握很划算。

另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发

现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又

熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条

件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就

能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。

公式如下：

oo

1.古=1+"+”2+…+〃”+…=>〃"(一1,1)

L—U

n=Q

oo

2.*=]_“+“2_"3+…+(_])"+…=(-1,1)

n=0

00

3.111(1+U)—It——..+(-])〃；+]+•••二Z(-弓(-00,+oo)

n=0

8

4.eu=l+u+-^u2--+H—=Z%(—8,+8)

n=0

oo

277

5.sinw=W-1M+•-•+(-1)7^7«2/，+i+-•-=7^^?(-00,+00)

n=0

00

6.COS〃=]_=〃2+古〃4--------_J--------------------------------------(-QO^+QO)

九=0

这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。

1式是第一部分式子的基础。1+"+/+...+/+…不就是一个无穷等比数

列吗，在|〃|<1时的求和公式s=上正是函数展开式的左端。所以这个式子最

好记，以此为出发点看式子2：1式左端是士，2式左端是含；1式右端

是当，，2式右端也仅仅是变成了交错级数£(_i)”,故可以通过这种比较来

n=0n-0

记忆式子2；对于3式来说，公式左端的ln(l+a)与2式左端的士存在着关

系“[[1+")]'=出"，故由出的展开式可以推导出ln(l+〃)的展开式为喏。

〃=0

这三个式子中的MC(TD，相互之间存在着上述的清晰联系。

后3个式子的a6(-8,+8),相互之间的联系主要在于公式右端展开式形

oo

式上的相似性。这一部分的基本式是公式4:与之相比，sin”的展

n=0

开式是£（-1）"若为,COS"的展开式是£（-IV品。一个可看成是将俄展开式中

n=0n=0

的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将*展开式中的偶数项变成

交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危

险，但此处恰好都是比较顺的搭配：sin“、cos”习惯上说“正余弦”，先正

后余；而sina的展开式对应的是奇数项，cos”的展开式对应的是偶数项，

习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。

在已知幕级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定

公式：第一部分（前3式）的展开式都不带阶乘，其中只有土的展开式不是

交错级数；第二部分（后3式）的展开式都带阶乘，其中只有*的展开式

不是交错级数。由题目给出的哥级数的形式就可以看个八九不离十了，比

如给出的塞级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4,因为塞级数的变

形变不掉阶乘和（-1）〃；若题目给出的幕级数不带阶乘而且是交错级数，则必

从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。

对于函数的幕级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上

入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方

法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幕级数展

开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。

对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幕级数法，即利用变换

求得暴级数支旦炉的和函数5（尤）以后代入极限式即可。其中的关

%=0al〃=on=0

键步骤是选择适当的一般情况下如果八（2九一1）这样的项在分子中，则

应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的X"应为的形式，如”Z、”

以方便先积分；若题目有(2M-1)、(3n+l)这样的项，则/应为一，的形式，如

X。'、便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。

1.7高数第十章《多元函数微分学》

复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对

比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函

数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。

二元函数相似一元函数

二元函数的极限要求点佻x，y)以任何方向、任何路径趋向「a。，%)时均有

一元函数的极限与路径无关，

lim/(x,y)

极限不同由等价式limf(x)=A即可判断。

Uy)fA(%Ff%工如果沿不同路径的f*->与

Of(%o)5%o)=A

不相等，则可断定不存在。

一元函数y=/(x)在点无。处连续性判断条

二元函数Z=/(x,y)在点P(Xo,)0)处连续性判断条件为：

连续性相似

limf(x,y)存在且等于/(%，%)件为lim/(x)且等于/(x0)

y->yo

一元函数y=/(%)的导数定义：

二元函数z=/(x,y)的偏导数定义：［加色=Hm/(%。+—先)一/(%。，%)

(偏)Ay/Uo+Ar)-/(x0)

MAXTOAXlim——=lim------------------

相似-2\x-Ax

导数

分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义

分段函数在分界点处求导数需要用导数定义

简化定义为:对于函数Z=于(x,y)，若其在点P(x0,X；)处的增量Az

简化定义为：若函数y=/(x)在点x处的增

可表示为Az=AAx+BAy+。(夕),其中。(P)为p的高阶无

相似量Ay可表示为Ay=AAx+d,其中d是

全微分

穷小，则函数/(x,y)在PQo，%)处可微，全微分为AAx+BAy,Ax的高阶无穷小，则函数在该点可微，即

dy=AAx,一般有dy=f'{x}dx

一般有dz=^dx+^dy

可微、连续可导连”

、/

可导、不同r/

连续可微可微

一元函数没有"全导数"这个概念，但是左边多元

全导数设z=f(u,v,w),u=g«),V=hit),w=k(t)且都可导，不同函数的全导数其实可以从"一元复合函数"的角度

理解。一元复合函数是指y=/(〃)、U=g(X)时

则Z对方的全导数在=更包+红包+笠也有型=生也。与左边的多元函数全导数公式比较

dtdudtdvdtdwdtdxdudx

就可以将二式统一起来。

一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函

复合函

数求导公式相似，只需分清式子中在与包的不

数微分链式求导相似

dxdx

法

同即可

求由方程F(x,y,z)=0确定的隐含数z=z(%,y)的偏导数，可用公式：不仅

一元复合函数、参数方程微分法

"形

3z_理(”z),dzFy(x,y,z)对一元隐函数求导常采用两种方法：

=似",

dxF；(x,y,z)dyF'z{x,y,z)1公式力二K(%，y)

隐函数且在

对于由方程组V(X,y,Z)=O确定的隐含数y=y(尤)、Z=Z(X)可套用dxF；(x,y)

微分法[G(x,y,z)=0相当

2.将y视为x的函数，在方程两边同时对x求导

大程

方程组F；+F；^+F；—=0一元参数方程微分法：若有,=M)则dyJ。)

度上

1+G；噌+G；||=0

相通

极值定义：函数z=f(x,y)在点P(x0,%)的邻域内有定义，且对于其中极值定义：函数y=f(x)在点网的邻域内有定义

异于P点的任一点2(x,y),恒有f(x,y)>/(%,%)或且对于其中异于该点的任一点恒有

极值f(.x,y)</(%,%),则称/(玉)，X))为以X,y)的极小/大值，方程相似/(X)>f(x0)或/(刈</(/)，则称/(%)

组(X,>)=0的解称为函数的驻点。为y=/(X)的极小/大值，方程f'(X)=0的

1/；(x,y)=o

解称为函数的驻点。

函数z=/(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内有连续二阶偏导，且满足

函数y=/(x)在点天的邻域内可导，且满足

2

的,％)=0、4(%,％)=0、[f^(x0,y0)]-f^x0,y0)/；(x0,yo)>O■

取极值r(.x)=0.f(x)/0，则:

的充分若f：&,yo)>。或G(x0,%)>0则P(x0,%)为极小值点；相似

条件

若f"(x)>0,Mf(x0)为极小值；

若f：(Xo,)<0或f"(xQ,%)<。则P(x。，Jo)为极大值点。

若f'\x)<。，则/(%)为极小值

大纲对于多元函数条件极值的要求为"会用拉格朗日乘数法求条件极值"，是

一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容。

1.8高数第十章《重积分》

大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的

性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、

极坐标)

在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧

2线性代数部分

2.1线代这门课的特点

线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分

涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但

线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后

面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节

中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯

通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”

可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于一一当

看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之

有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。

出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出

题，比如在历年真题中出现频率很高的性质”齐次方程组是否有零解对应

于A的列向量组是否线性相关;非齐次方程组是否有解对应于向量b是否

可由A的列向量线性表示”。

再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的

是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆0A的列向量

组线性无关r(A)”,依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点

间的联系。

2.2线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要

熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式具体行列式的计算低阶n

阶

应用行列式按行'列展开定理化为上下三角行列式求解

行列式的定义、IA1=44•••4、行列式的性质

抽象行列式的计算考点不在求行列式，而在于笳、A*、W等的相关性质

第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不

多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出

现的知识点包括矩阵运算的运算规律、与、A*、A"的性质、矩阵可逆的判

定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。

所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用

到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果：

行列式性

特征值性质

运算性质秩的性质

质(A为矩阵A的特征值)

转置(ATY=Ar(Ar)=r(A)

(kA)T=kN

1Ar|=|A|r(Ar)=r(ArA)

矩阵(AB)?=BrAr

AT{A+BY=BT+A1'r(ATA)=r(A)

逆矩

|A-'|=—有特征值工

|A|

阵

A*、AT三者之间有

伴随n.r(A)=n

一个即好记又好用的性质

|A*|=|有特征值四r(A*)=<1.r(A)-n-\

(A7)T=(A-)7

矩阵0.r(A)<n-l

(A*)T=(A-)*

A*

(4)*=(4*[

数乘\kA\=knAkA有特征值。,r(A+B)<r(A)+r(B)

r(AB)<min{r(A),r(B)}

矩阵\AB|=|A||5|aA+bE有特

筋=0则有：

kA、矩征值aA+br(A)+r(B)<n

阵之若A可逆则有

积ABr(AB)=r(B)；同样/若

及矩8可逆则有

r(AB)=r(A)

阵之

和

A+B

2.3线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》

线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核

心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方

程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次

型的内容则相对独立，可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。

向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或

明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间

的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是

熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组

aux,+的爸H—x=b

的系数矩阵是m行n歹U的,其有两种形式，一种是矩阵

ax

“加%+m22+…3'=bn

“12…a\n玉瓦

；

形式Ax=b其中A是系数矩阵心.〃22a2n%2b；另一种是向量形式

-21x=b=2

玉,+H--hXna=b，其中%；12"。向量就这样被引入了。

nai-

_ani_

先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组

xxax+x2a2H---bxnan=0可以直接看出是一■定有解的，因为当尤1=%=…=X”=0式

等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向量可由任何向量线

性表小”,即当/?=左g+左2a2+…+匕4中的，=0时一定存在一组数左1，左2…左"使

等式成立，至少在发全为0时可以满足。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非

零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式3…+%%=0中

的X,只能全为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组…4

是否线性相关'无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设

%/…%为一组向量，如果存在一组不为零的数KK…3使得等式

匕6+左2%+…+抬4=。成立，则称向量组%，%…%线性相关；如果等式当且

仅当左〃2=...=&,=（）时成立，则称向量组线性无关。故向量与线性

方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组Ax=o是否有非零解对应于系

数矩阵A的列向量组是否线性相关。

假如线性相关'无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出

的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。

秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组见必…％组成的矩阵A

有「（A）=〃说明向量组的极大线性无关组中有n个向量，即G4线性无关,

也即等式匕/+左2%+-,+左.%=。只有0解。所以，经过秩f线性相关'无

关一线性方程组解的判定|”的逻辑链条，由（4）=“就可以判定齐次方程组

项火+x2a2+•••+xnan=0只有。解。当r（A）<〃时，按照齐次线性方程组解的判定

法则，此时有非零解，且有个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和:

如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组

而=。的系数矩阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m<n；因

为矩阵的秩等于行秩也等于列秩，所以必有（4）w机，，根据齐次方程组解

的判定定理有非零解。

对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联

系：非齐次方程组Ar=b是否有解对应于向量匕是否可由A的列向量线性表

示。线性表示的定义为：对于向量组若存在一组数加七…左〃使等式

左口+左2%+…+左M=5成立，则称向量。可由向量组弓,。2…4线性表示。而

使上述等式成立的尤.就是非齐次方程组小=。的解，故齐次方程组有性质“五

次线性方程组4=。是否由非零解对应于系数矩阵△的列向量组是否线性向

差”，非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组加=b是否有解对应

于向量幺是否可由3的列向量线性表示当非齐次线性方程组以与对应齐

次线性方程组加=0满足厂（m=厂（加=〃时，根据线性方程组解的判定法则，齐

次方程组有零解，非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要

定理：“若可，勺…4线性无关，而线性相关，则向量匕可由向量组

与④…%线性表示，且表示方法唯一”。

以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间

的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考

试题。

线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知识

点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头

转向。

矩阵f线性方程组f向量

解f线性相关/无关f秩

三个双重定义：

1.秩的定义

a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数

b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数

2.线性相关\无关的定义：

a.对于一组向量知的…。“，若存在不全为零的数发出…g使得

用％+左汹+…+跖％=o成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无

关，即上述等式当且仅当匕全为0时才成立。

b.向量组对电…为线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余

1个向量线性表出；

线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

2,线性方程组的两种形式：

a.矩阵形式：Ax^b

XZH-------1-

b.向量形式：XyQy+262xnan=b

两条性质：

1.对于方阵4“有：方阵A可逆存在方阵8使得

AB=BA=E|A0A的行'列向量组均线性无关r(A)=nAx=b

可由克拉默法则判断有唯一解，而加=0仅有零解。

对一般矩阵儿,则有：厂⑷="A的列向量组线性无关於=0仅有

零解，山〜有唯一解。

2.齐次线性方程组加=0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否

线性相关，而非齐次线性方程组加=b是否有解对应于匕是否可以由A的

列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分

知识联系在一起的桥梁：

行列式------）线性相关—-----f线性方程组

性质1中的“w_

//壬1r-f-thh“，八/A'z<-KAiVlTrll占

秩

另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但

却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要

扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获：

1.一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组

线性表示。如果向量组为.…%可由向量组几片…四线性表示，则有

「3，的…。）<«£1，尸2…瓦）。

等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；

任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。

pl叫叫

2.常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；°、1、o这样