考研数学考研数学真题及答案

2017考研数学一真题及参考答案

一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分)

1-cosVx

(1)若函数/(%)={-i-在x=0处连续，贝U()

b,x<0

(A)ab=L(B)ab=»

22

(C)ab=0.(Dab=2。

【答案】(A)

【解】/(0+0)=liml-cos«=J_,y(0)=y(0_0)=z?>

io+ax2a

因为/(x)在x=0处连续，所以/(0+0)=/(0)=/(0-0),从而=应选(A)。

(2)设函数/(x)可导，且/(x)"'(x)>0,则()

(A)/(I)>/(-1)»(B)/(1)</(-1)«

(C)|/(1)|>|/(-1)|。(£»)1/(1)10/(-DI。

【答案】(C)

【解】若/(x)>0,则/(x)>0,从而1(1)>/(-1)>0；

若八x)<0,则/'(x)<0,从而/(1)<〃-1)<0,故1/(1)|>|/(—1)1，应选(C)。

(3)函数/。,y2)=/}，+22在点(1,2,0)处沿向量片={1,2,2}的方向导数为()

(4)12。(6)6。(C)4»(0)2。

【答案】(。)

【解盛=2孙玛E32z,

弱20)=4,凯2⑼=1，乳2。)=0,

122、

coscr=-,cos/?=—,cos/=—,所求的方向导数为

4X+1X

l（i,2,o）-T-|=2,应选（£））。

dnJ3

（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲

线丫=匕。）（单位：m/s）,虚线表示乙的速度曲线丫=七（7），三块阴影部分面积的数值依次为

10,20,3,计时开始后乙追甲的时刻为q（单位：s），则（）

（A）r（,=10。（8）15<%<20。

（C），（）=25。（D）f0>25o

【答案】

【解】

（5）设a为“维单位列向量，E为〃阶单位矩阵，则（）

（A）E-ac，不可逆。（8）E+aa，不可逆。

（C）E+Zcza，不可逆。（。）E-2aa，不可逆。

【答案】⑷

【解】令4=。々7,=A,

令AX=Z¥,由(42-A)X=(»-4)X=0得;12一%=0,2=0或；1=1,

因为"(A)=a%=1=4+…得4的特征值为4=・一=41T=0"“=1,

E—aa7■的特征值为4==1，4,=0,从而IE—aa'|=o,

即E-aa，不可逆，应选（A）。

，200](210](]00、

（6）已知矩阵4=021,B=020,C=020,则)

01)100J10。2,

、0

（A）A与C相似，6与C相似。（B）A与。相似，8与C不相似。

（C）A与。不相似，8与C相似。（。）A与。不相似，8与。不相似。

【答案】（8）

【解】A,5,C的特征值为4=%=2,%=1，

’000、

由2E—A=00-1得r（2E-A）=l,则A可相似对角化，从而A~C；

、001,

‘0-10、

由2E—8=000得r(2E—3)=2,则B不可相似对角化，从而6与AC不相似，应选

、00L

(B)«

(7)设A,8为随机事件，若0<P(A)<l,0<P(B)<l,则「(4|8)>「(4|瓦的充要条件是

()

(A)P[B|A)>P(B|A)»(B)P(B|A)>P(B\A)。

(C)P(B|A)>P(B|A)»(D)P(B|A)<P(B\A)»

【答案】(A)

【解】由P(A|5)>P(A|B)得一P(A8)>P(AB)=。⑷-,等价于

P(B)P(B)l-P(B)

P(AB)>P(A)P(B)；

P(B\A)>P(B|A)等价于夕源>岂:与常3，即P(AB)>P(A)P(B),

应选(A)。

(8)设X|,X,,…,X.(〃22)为来自总体N(〃,l)的简单随机样本，记又=,S2X,，则下列结

n,=!

论不正确的是()

(A)£(Xj-〃)2服从/分布。(5)2(X“-X1)2服从力2分布。

/=1

(C)方区-5)2服从力2分布。(。)〃(文-〃)2服从了2分布。

/=!

【答案】⑻

【解】若总体X~N(〃,/),贝IJ

4£(Xj-〃)2~/(〃)，3t(Xj-X)2

b/=!bi=l

因为总体X〜N(〃,l),所以t(X,-〃)2~/(〃)，力(Xj—天)2

/=1»=|

―1Y—//i.....-

再由X~N(〃,一)得一^=07(*-〃)~阳0,1),从而〃(X—〃尸⑴,

n1

不正确的是(8),应选(8)。

二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分)

(9)设/(x)=—则/⑻(0)=。

1+x

【答案】8!

【解】f(x)=—7=1-x2+X4-X6+x8+o(x8),

l+x

由)⑻(0)=］得/⑻(0)=8!。

8!

(10)微分方程y〃+2y'+3y=0的通解为丁=

x

【答案】e~{C}COSV2X+C2sinV2X)

【解】特征方程为;I?+22+3=0,特征值为42=-1+瓜

通解为y=«T(GcosV2x+C2sinV2x)。

(11)若曲线积分(尧孝华在区域。={&,力|/+/<1}内与路径无关，则。=

【答案】-1

【解】P=—-,2=

JC2+y2-1x2+y2-1

dP___2孙dQ_2叼

dy(x2+y2-I)2Tdx(x2+y2-I)2

因为曲线积分与路径无关，所以a=—1。

00

(12)基级数工(—1)"T〃X"T在区间(一1,1)内的和函数为

n=l

1

【答案】

Q+X)2

【解】S(X)=£(-l尸/=_(£(一1)")，=_产)，

〃=lM=11+%(1+X)

uor

(13)矩阵A=112,%,a2，%为线性无关的三维列向量组，则向量组A%,Aa2，Aa3的

1011,

秩为,

【答案】2

【解】(Aai,Aa2,Aa3)-A(at,a2,a3),

因为4,%,火线性无关，所以(%,4，%)可逆，

从而rKAa”A。2，A%)]=，⑷，

’101、

由Af011得r(A)=2,故向量组As，A%,A%的秩为2。

、000,

X—4

(14)设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5①(幻+0.5①(三一)，其中①(%)为标准正态分布的

分布函数，则EX=。

【答案】2

【解】X的密度为/(%)=0.5^(%)+0.25*(土石一)，

EX=匚#3以=0.5+0.25匚河

=L(%'+2)9(^^)4(彳3=「(X+2)Q(X)CZX=21e(x)dx=2。

三、解答题(15~23题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

(15)(本题满分10分)

设函数具有二阶连续的偏导数，y=f(e\cosx),求心L。，

dx改

【解】曰="-sinx/'，丸。"(U)；

axax

4^=e"'+e'(e"：—sinx•九)一cosx"；—sinx(e"2"sinx•左),

dx

则Rko=+#(LD-/式口)。

dx

(16)(本题满分10分)

"bk

求町自靛皿+7。

【解】limV-^-ln(l+—)-lim—V—ln(l+—)-fxln(l+x)dx

"f8M〃-n"->8”n

1f1.2\121/1il11)+1

=~Jln(l+x)d(x)=-xln(l+x)、|——"厂―■dx

()01+x

1,c1f'z,11,c111,c1

=—In2——(x-1H-----)dx=—In2----1-----In2=—»

22」。1+x24224

(17)(本题满分10分)

已知函数y(x)由方程Y+>3-3x+3y-2=o确定，求y(x)的极值。

【解［13+)；3一3%+3},一2=0两边对8求导得

22

3x+3yy'-3+3y'=0,令y'=0得匹=-1,9=1，对应的函数值为必=0，y2=1；

3/+3y2y-3+3y'=0两边再对x求导得

6x+6yy"+3y2jn+3yff=0,

由/(-I)=2>0得x=-1为极小点，极小值为y=0；

由/(-I)=一1<0得％=1为极大点，极大值为y=1。

(18)(本题满分10分)

设函数/(x)在［0,1］上二阶可导且/(I)>0,lim也2<0。

x->0+x

证明：(/)方程/(x)在(0,1)内至少有一个实根；

(〃)方程fMf"(x)+/'2(幻=0在(0,1)内至少有两个不同的实根。

【证明】(/)由lim/^<0得/(0)=0,

x->0+%

又存在5>0,当xe(0,3)时，△也<0,即当xe(0,5)时/(x)<0,

于是存在ce(0,d0,使得/(c)<0,

因为/(c)/(D<0,所以存在与e(c］)u(0,l)，使得/(%)=0。

(〃)令夕(x)=/(x)/'(x)，

因为8(0)=0(x0)=0,

所以由罗尔定理，存在Je(O,Xo)u(O,l),使得“(4)=0,

而e'(X)=/(X)/〃(X)+厂(X),故/©/〃©+/2(J)=0,

即/(x)/"(x)+/'2(x)=0在(0,1)内至少一个实根。

(19)(本题满分10分)

设薄片型物体S是圆锥面Z=被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为

〃(x,y,z)=9ylx2+y2+z2,记圆锥面与柱面的交线为C。

(/)求C在xoy平面上的投影曲线方程。

(//)求S的质量加。

【解】(/)由一得/+y2=2彳，

z2=2x

故。在xoy平面上的投影曲线为

+y2=1,

L・v

z=0

(inM=JJ9y/x2+y2+z2ds,

s

由z；=/J,,z'y=/),得ds=+zf+*dxdy=42dxdy,

>jx2+y2>Jx2+y2、

则M=JJ9^x2+y2+z2ds=9V2JJy)x2+y2-yfldxdy

SD

=18“ylx2+y2dxdy=18后d可：“产dr

D-2

=18X-RCOS3比夕=18X3flCOS3ddO=64。

3-3J。

(20)(本题满分11分)

设3阶矩阵A=(%,a2，%,)有三个不同的特征值，

且%=%+2%。

(/)证明：r(A)=2

(〃)若，=%+%+%，求方程组AX=/7的通解。

【证明】(/)设A的特征值为4,乙，4，

因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P,使得

P'AP^22,

、为

因为4,4,4两两不同，所以/'(A)N2,

又因为%=%+2%,所以%,。2，%线性相关，从而r(A)<3,于是r(A)=2。

(〃)因为"A)=2,所以AX=O基础解系含一个线性无关的解向量，

a.+2%-a.-0,

由1।23得AX=£的通解为

%+%+%=，

(1)

X=k2+1(4为任意常数)。

(21)(本题满分11分)

设二次型f(xt,x2,x3)=2x：-%2+axj+2的％2-跖当+2/％3在正交变换X=QY下的标

准型为4y2+4及,求a的值及一个正交矩阵。

因为4=0,所以|A|=0。

21-4

由|A|=1-11=一3(。-2)=0得a=2。

-41a

2-2-14

由|/IE—-12+1-1=〃/l+3)(/l-6)=0得4=—3,42=6,4=0。

4-12-2

।51-4]fl0

由—3E—A->121->011得

15)100

、一40J

，1、

4=-3对应的线性无关的特征向量为%=-1

1

'4-14、(101、

由6E—A=-17-1-010得

"100

,4-10,

5

4=6对应的线性无关的特征向量为4=o

'10-1、

由0E—A->01-2得4=0对应的线性无关的特征向量为a

,000>

规范化得

1、1

11

Y\司］Yi正0

7

11_6L

2

1

0而

故正交矩阵为。=一百

11

3V2J_

V6

(22)(本题满分11分)

(Q2)2y,Q<y<1,

设随机变量x,y相互独立,X~11,y的密度为人(y)=<

J2)0,其他

(/)求产{y«Ey}。

(//)求2=乂+丫的概率密度。

ri2

【解】(/)EY^j()y-2ydy^-,

P{y<EY}=P{y<^}=jhydy=^

(II)Fz(z)=P{Z<z]=P[X+Y<z},

当z<0时，%(z)=0；

当z»3时，哼(z)=l；

当0<z<l时，Fz(z)=P{X=Q,Y<z}=P{X=Q,Y<z]

=P[X=^P[Y<z]=^2ydy=^-；

当l〈zv2时，Fz(z)=P{X=0,Y<z}=P{X=0}P[Y<1}=-；

当2<z<3时，Fz(z)=P[X=Q.Y<z}+P[X=2,Z<z-2]

1111

++

一

P{X=Q}P{Y<1}+P{X=2}P[Z<2)一2-2-2-2-

0,z<0,

22

—,0<z<l,

2

即％(z)=,

119

-+-(Z-2)2,2<Z<3,

22

1,z>3

z,0<z<1,

密度为/z(z)=«z-2,2<z<3,o

0洪他

(23)(本题满分11分)

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做〃次测量，该物体的质量〃是已知的,

设n次测量结果XI,X2,X”相互独立且均服从正态分布N(〃,/)。该工程师记录的是n次测量

的绝对误差Z,(z=l,2,•••,«),