考研数学二二重积分

考研数学二二重积分

1.【单项选择题】

设函数f(R,y)连续，则二次积分Ldz|f(x,y)dy=

JJsmx

*!

dyJ(x.y)dx.

A.Jr*.irmin\

riC,

dy/(r,»)d.r.

B.I0J;r-«rc«nv

fir

dy/(z,y)cLr.

C.

•1f»-arcwny

D」M/(«z.y)dz.

正确答案：B

参考解析：原二次积分的积分区域为（图内阴影部分）

।sin才4j＜1

D：＜兀

7t

注意到当.?£1"。兀］时•函数）=sin7的反函数应为1=兀一

arcsin».故有

2.【单项选择题】

设区域D是+炉《1在第一、四象限的部分JCr,y）在D上连续，则二重积分

|T/（jr»＞）dxdjr=

D

/（工，丁）打.

A.

•i

B..-i

•/一1

c.2f(7,y)dy

D.J三J

正确答案：B

区蕨D是以1为半径的圆在.r轴的右边的部分,所以

rrirJ\-J

/(i.jOd.rdy=dy/(jr,y)d.r

参考解析：T'J

3.【单项选择题】

设D={(1,3)Ix2+，2Lx2+y49,74Gy,》《百1},则arctan—cb=

JJX

7t°

A.¥,

TC2

B.T,

7t

c.T,

7?

D.3,

正确答案：B

参考解析・引入极坐标(厂.6)令.z=rcosB.y=rsin8、则

D=(r.O)IJ《夕且arctan'=",故

o6Ix

Ilarctan-^-ck=8d8rdr=」佶一))X：(9-1)=1

JJxJfJi2\936/26

【单项择题】双纽线所围成的区域面积可表示为().

4.J'(x?+y2)2=x2-y2

产

2cos26d6

A.J0

产

4cos26d。

B.JO

什_____

2，cos2。d0

C.J0

jj,(COs2^)2d^

D.

正确答案：A

参考解析：

双纽线（•？+/）2=/_y2的极坐标形式为/=cos2仇再根据对称性，有

A=4X彳]r[二产的=2r「二cos26d6,选(A).

5.1单项选窟题】°

设平面区域D：l4/+y244,/Cr,y)是区域D上的连续函数，则!|/(—『)drdy等于

D

()・

27rlr/"(r)dr

fl.Jt

B2n[r/(r)dr—r/(r)dr

2njr/"(r)dr

C.Ji

2K[rf(r2)dr—rf(r2)dr

D.Jn.

正确答案：A

参考解析：【解】

(Tr_______f2«f2f?

/(/J+3/)dzdy=dGr/(r)dr=2Kr/(r)dr.选(A).

JJ.JoJ1J1

n

6.【单项选择题】正方形((，y)II1141，IyI&D被其对角线划分为四

个区域D&a=1.2,3,4),如图1-14-1所示=『ve，d/dy,则

max{[*}=().

IW4

B.12

C.13

D.14

正确答案：A

参考解析：

如题图所示.被积函数/(上0)=*，为y的奇函数都关于/轴对•称.因

此/?=匕=0.

在D讷泗，》0；在D3内ye，40.因此人>0J<0,可知maxUJ=心故选(A).

7.【单项选择题】

设D为由丫=1：-4和y=0所的区域•/=]p£r+y)(irdv•则

A.1=0

B.I>0

C.KO

D.I的正负与k有关

正确答案：C

参考解析：

D关尸》轴时称・h关于/为奇函数•故匕Ld.y-Q.又在D内,yVO,故Z<0.

8.【单项选择题】设D是xOy平面上以A(l,1),B(-l,1),C(-1,-1)为顶点

的三角形区域，D1是

D在第一象限的部分•则/=(.Jty+cosxsiny)«Lrdy=().

%

A.0

2/rydxdy

B.

2Icos・sin1ydidy

C."

4(.xy+cosxsin,y)<Lrdy

D.*

正确答案：C

参考解析：依题意，D如图所示

J=口+cosxsin>Odzdy=IJ/ydidy+"cosxsinjclrdy=L+I2.

对于un关于y轴对称,外关于工为奇函数,故『jydj-dy=o.

D|U%

同理lj工ydrdy=0.于是L=0.

OjUDt

对于L，D,UD»关于上轴对称,cosHsin1y关于y是奇函数♦故cosisiny&rdy=0.

o3uo4

□UD?存于y轴对称,cosisiny不于才是偶函数,故

cos/sinydjrdy=2IcosxsinvdLrd.v-

故c正确.

9.【单项选择题】

AT,crcr

li=l|co>J6▼d/dy./：=||cos(x:y2)dxd>•I=I|COM(jr:-y:”(£rd『.

其中D：x2+y2^b则().

A.L>l2>13

B.L<I2<I3

C.L>L>L

D.LX"

正确答案：B

j

在D:o<x+y<i上.有

参考解析：,>1>+

且cosZ在％.])上为单调减少函数,故

0&cos\//+-&cos(.r:+J)&cos(-y2)*.

所以rVLV/，B正确.

10.【单项选择题】积分//(rcos6,rsin0)rdr=

A./G・y)<Lr

B.

Q^

D.

正确答案：D

参考解析：此题是极坐标下的二次积分化为直角坐标下的二次积分，关键是正

确画图，如图5—28所示.

图528

由••知04才

r=CO5=rc

即y二丘二？•故/i业

11.【填空题】

设a〉OJ(i)=gCr)=I：D表示全平面，则『/(.r)g(y-i)drdy=

10,其他JJ

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:a2

【解析】

在由04工41,04丫一工41所确定的区域口内JQ)晨y—1)=/♦其余

为零.设口的面积为S,则//(幻晨3一1)cLrd》=|ia2d.rd^=a2S=a2.

*1:

计算|di1，-厂？dy=________.

12.【填空题】JoJrx/1+.V3

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：T(^-1)

【解析】

交换积分次序得

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

2

参考解析：3

【解析】交换积分次序得

r-irc»my•sinx■«2

2

cos21rdjr=cosjrdjrdycos21rsinjrdr=—

•rouny00o3

dy=

14.【填空题】A/1+y3

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析:

ygJfG.

AT/J0/1+y

-i

出普9-3~

15.【填空题】

设区域D=|—14工41,-14]41},则二重积分|.r-j|dzdj=

JJ

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错才

正确答案：

8

参考解析：3

【解析】

用直线y=x将D分为上、下两部分，分别记为D”D,则

i2

1-3|drdy=jj*

z-3|d/dy+(y—.r)d.rdy+(1-y)didy

%

/X/>

rI4

-1

dx(y-/)dy+dv(x—y)d.r

-1-1

1r1ri8

(1—工/&r+(1—x)2d.r

2JJ-------J,3

22

16.【填空题】设D：x+y^4,Xx》0,y20,f(x)在［0，+8）上连续且取正

值，则

/=1U声型变4d广______.

F〃（力+〃（y）

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

口46

参考解析：

【解析】

如图所示，D关于直线y=x堆成，所以

1[TPa/TIT+b，71亦、a/HSO+b//77T1,,

2JjiLy/JTx)+，/RT>/7(3o+//TTY」

aZ>ITjia"Vb1a+力

二—yHd.rd,y=-y-•-it•2r=—7-K.

D

17.【填空题】

ririri

设八r)在［0.1］上连续•且I/(i)dx・A・则/-I<Lr|f(x)f(y)dy

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

A;

参考解析：'

【解析】

令Fix)=/(y)d»则Fz(x)=—/(上).故

JJ

1dj

=£f(x)f(y)dy=J/()dJ/(y)dy

=­[F(x)d[F(x)2=­4-F2(x)i=冬.

J04104

18.【填空题】

,_____ff,A

设D：-】&jr40.1—/I-J4&y4-1•则/=!7-

•7,vGr：+

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答塞:

参考解析：

【解析】

D如图所示，用极坐标有竽《女—42"

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

13万

参考解析：144

【解析】

D关于直线y=工对称,由轮换对称性,有

1=0借+]辰打=/1[+]+]+圻&3

DD

=f(T+f啊+产出打=7(7+7)/肛&=密.

D

设D：x:+y'&2«r.则/=|T(2J+3v)dxd>=»

20.【填空题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2n

【解析】

I—J由J(2rcos6,3r»mO}rdr

=I；(与co，"+8col，•，in，)d"

-芋「co/g+0-VXTXTXT-2X

3Jft34ZZ

21.【填空题】

设D=(Cr・y)•则limJ|Je1*■**',cos(jr+y>djdy■_______；

i+'T>

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：1

【解析】

由于e1--cos(z+y)z在D上连续.故由二重积分的中值定理,可知

22

|cos(x+1y尸dzdy=e*，(cos($4-iy))•t,

n

其中(9”wD.当，一(r时.有(8〃~*(o・o)•故

原式=lim-i•e1"/(co.(g+»),)•/"L

i*t

设D：0<z4_y42“.贝ij/="[sin(x—y)dxdy=

22.【填空题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：4兀

【解析】

积分区域D如图5-29所示，为去掉绝对值符号，用y=x+-将D划分为D1

故/=s»in(x—y)|ctrdy

***

=Il0-»tn(x-y)jdLrdy+|Tsin(x-y)<Lrdy

D)西

=dy|[-syn(1-y)]<Lr+|dy\[-sard1-y)]dz+[dy|sinQ-y)(Lr=41n

设D：L+J<1,则/=Ilv2djdy=.

23.[填空题]

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

双ub'

参考解析：!"

【解析】

由于D为椭圆形区域，故用广义极坐标进行计算.

令xarcos=Arsin6.则D：二♦1■&】.变为D、0Wr久1,0<21r•其变换

0b

雅可比行列式为

JiJi

*♦V)Hr却ucos0-arsin

fSBSB!»=ubr•

<?y:6sin96rcoft0|

dr却|

ITfir/，.r_A

,:1JdrM|&“br*•ubrAr':

故l|y(Lrdiy■(Arftinff)

24.【填空题】曲线d=2a2cos20（a〉0）所围图形的面积为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2a2

【解析】

rflr2“：《>828・知32&20.故一;苞；.'£y苧.由对称性.可知

所求面枳为

A|djrdy=4|曲|rdr4a：cosZOt^O=2<r.

25.【填空题】球体x?+y2+z2=R2（R〉0）被圆柱面x2+y2=Rx所截得含在圆柱面内的

立体的体积为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：T（f-T）R-

【解析】

xOy坐标面上方部分立体如图5—33所示，则

V=4/JR?一[2—y?cLrdy

D

，外一r2•rdr

=4R'C(1—sin0d8=-y.

26.【填空题】rWl与rWl+cos9所围平面区域的形心坐标为

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析："x-:8'>

【解析】

如图5—34所示，由对称性，知y=0.又由于

故形心里标为(罂二噌・0卜

\3Ov-4o/

27.【解答题】

设D={I1,+y：《I»x2+y2V2X20)•计算/=1ydLrd»

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：由{/+1=2i解"交点

八•号),根分区域D如图5-18所示,瓜

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析:用x?+y2=L即r=l将D划分为D1与D2,如图5—19所示,则

=[(1—r)rdrd^—0(1—r)rdrd0

4%

=2I],(1—r)rdrd0—f](1—r)rArAO

=7T.5___1_7：_11__5-

一五十§_了一歹—36_240

29.【解答题】

设DU&ix,y20・计算/=I,一/'/必打.

请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了

D如图3-2】所示•由二2J得

参考解析:

交点A(J

—cLrd>

rdr

-1O12X

■§21

1rfr.

=—sin0ln(1+r*)dG

ZJoLi

=yj*[ln(1+4cos汩)一In2jsinOdd

U«COM01.八一.

-1([ln(1+4〃)In2_d〃

2

=!〃ln(1+4u)—2u+arctan2u"一-yin2

2-」十4

=-ypn—1+arctan2—.

30.【解答题】

设：工・《.计算/=『口+

D0442Oy<2x+y[ctrdy♦其中[1+I+袅示不

超过1+z+y的最大整数.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：如图5—22所示，直线x+y=i(i=l,2,3,4）将D分为4个区域

Dk(k=l,2,3,4),则

m522

口+1+y]=k(k=1.2.3.4).

故1=[1+x+yjdxdy

=JJIcLrdy+||2dxdy+(]Sd.rdj+ij4dzdy=H

。%5D,

31.【解答题】

(\丁尸14工43,亭由工=3立

设/(x,j)=1=0,

0.箕他.

y-3所围.计算/-(/(x^)dxd^

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

则

.J；(1+cos20)dd=K+6--3瓜

54

计算/gdzdy.其中D由下列双纽线所围.

32.【解答题】4

22222

(I)(x+y)=2(x-y);

(II)(x2+y2)2=2xy.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析:(I)双纽线(x2+y2)-2(x2-y2)如

图5-26所示，由于D关于x轴对称，xy关于y是奇函数，故

/=(Lryd-rdy.0.

图5*26

(II)双纽线6+y2)2=2xy如图5-27所示,由于D关于原点对称,而xy=(-x)(-

y),故

n5-27

I=[ycLrdy=2『rydzdMDi是D在第一象限的部分)

JUJJ

DD,

rysn?i

=2jddjr3cos夕sin0dr=—.

设D：|川《1.042.计算/■『IY-rdxdyj

33.【解答题]

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：由y=x?将D划分为D1与D2,如图5—35所示，则

r…=…2X（/c2—？2+1了1\）=4165*

设可导函数/（外满足lim△2=1,求极限

JT

r

Lk/

34.【解答题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

L）+2岁孙

-V/—*

「，匚/l----.77rT

=2/（，工+1r）d1y------2

参考解析：

设可导函数/(x)满足lim△生=1.求极限

X

[也Jv/777[/（，）+2y]dy

lim

34.【解答题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

f；-----Jjt'+f=U

=2/（[e+.z）dy一…尸--------------

参考解析:

KItm

7

35.【解答题】

1X0.

求函数F(r)的表达式.

z=0«

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：积分区域D如图5—39所示，用极坐标.当t#0时,

sin8F(r

p.Pc1p

=r*dr—IF(r)dr=—l1—|F(r)dr«

Jo3Jo

即Fit)-j?-rF(r)dr.①

①式两边同时时(求导.幅F'd)=r-FO.BP_3+F")-r•缜式为一阶线性做

分方程,解得

F⑺ICe^dz十(,2,+2+Ce\

由已知F(0)=0•得C=-2.故F(n=r-2/4-2-2e*.

36.【解答题】

x/*(x)djrf1(x)<Lr

设/《力是连续正值函数,且单网减少.证明।爷---------4爷--------.

x/(x)dx/(x)<Lr

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：所证不等式变形为

/二|jrf1(x)d.i/(z)cLr—xf(j*)<Lr|f1(j,)(Lr(0・

由定枳分的值与枳分变或的字管无关.故

/■万|<£i|—x/(x)/*(^)+yf:(y)f(x)—yf(.jdv

其中DtOVi”为1E方形.

由f(x)单调减少，知［f(x)-f(y)］与(x-y)异号,而f(x)>0,f(y)>0,根据二重

积分的性质，知IW0,即所证不等式成立.

37.【解答题】设f(x)在［0,1］上是连续正值函数，且f(x)单调减少，D：0W

xWl,OWyWl,

证明：(1)/(»)［/(才)—/(_y)］cLrd_y<0.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：积分区域D如图5—43所示，D关于直线y=x对称，由轮换对称性，

6/0）/（»）［/（工）—/（j）］dxdj

D

=Iyf（y）f（H）［/（y）一/（x）］＜Lrdv

•«

1（T一、~、..一..I

——|f—/（y）］+W（y）/（i）［/（y）—/（”）］）业dy

——|T/（x）f（y）（x—,＞［/＜］）—/（y）］cLrdy.

一♦・

年已知，〃工）〃脑＞0,考虎到f（r）难调我少.故（*-y）［/（/）/（山］V0•于是

|x/（x）/（》）［/（］）—/（y）JcLrd^y40«

JU

38.【解答题】

设/（x）在力㈤上非负可导•且单胃增加.（3。为。=（.r.y）a＜z-h.

0&ya/（i）的形心•证明：了》）（a+6）.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：依题章，只需证明

『曲『皿『'力『-山

X二4--1~~奈77-=%------------＞-y＜«+6）・p为常数•

即证明jJ/(x)cLr—―-(a+6)|/(jr)dj20.令

ft]0

F(f)=工/(x)<Lr——(a+，)/(x)(Lr•/6[a・b]•

J.wJ•

1jff

则r(t)■■ff(t)—5-(<i4-r)/(f)—y/(x)<Lr.

44J•

F*(t)--1-(t-a>Z(f)>0,

故F⑺郎*增加.又F(a)=0•所以Fr(t)>F'Q)=0•即Fit)"谢埔加.

又F(a)・0♦故F(f)》F(a)=0.即72：(a+6).

39.【解答题】

设D是由曲线'-1*C°Sr，(0</<2w)与)轴所网平面区域•计算

ly=，-sint

1—(21+y)(Lrdy.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：积分区域D如图5—47所示，在直角坐标下，D={(x,y)|0WyW2

n,OWxWx(y)}.

1=1-8",确定.

这里Z=Z（y）由参数方程

y=t—sint

(2x+y)djcdy=|2”(Lrdy+lydxdy.

又jj21ckrdy2xdx=Jjc2(y)dy

:，

{xCy(/)J}2•y'(r)d，=

o.

—cost

y«/-sin/

f：w.*in，犷市

(1—cosfMdr=

8-161sinAdu

0I

=32X-1xYX-1-X-^»5ir.

16•2Isinudu

*1*

ydjrdy=y•1(y)dy

Q

y(t)•x(/)•y,(t)d/

1«

《，-qinf)(l-COB/):d/

y■，-9m，

(“+双sinu)(1+cosuYAu

x

(u+sinM>(1+cosM)-du+ir(1+cosu)dt4

-0+>r（1+cosu>:dw（利用奇函数》

一■

=2x(14-cosu):dwcos1-ydu

16犹|cos's一—16xX,X得X/=31

40.【解答题】

设函数/(.r)€C[a.Q.且/(x)>O.D为区域a4/46.证明:

，了&dy》（6-a）*.

n/（*）

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：因为积分区域关于直线y=x对称，

心力可黑袅",于是,

所以打(y)dxdj.

D」D，J