考研数学（数学三）模拟试卷3（共217题）

考研数学（数学三）模拟试卷3（共9

套）

（共217题）

考研数学（数学三）模拟试卷第1套

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

若随机变量X服从参数为人的泊松分布，工服从参数为P的几何分布，儿服从区间［0，口上

的均匀分布,工服从参数为人的指数分布，则它们中具有“无记忆”性（PM>s+"*

=p\x>t\,sn>O）的随机变量个数是

（A）I个.（B）2个.（C）3个.（D）4个,

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

【分析】设所取的两个数分别记作“，九并设事件4=l（x,y）l町

4右,0J<1,0<”曷从（0.1）中任取的两个数，故

（才,,）与正方形区域。内的点一一对应，其中o=l（x,y）I0<X

<I,0<y<I|.区域仇（右图中阴影部分）内的点（孙丁）一定满足

町W仔.依几何型概率公式

P3)=£=高”;各”=5+全，

=犷2+】吟Q).

故选（C）.

设函数z=/(x,y)有连续的偏导数，则6坐=。受是存在可微函数g(u),使得

ay

/(«,/)=g(ax+勿)(而*0)的

(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件

(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【分析】必要性可直接验正对干充分性，引入变量U=3+”,U=Z,则Z=f(N,y)=/(”,匕亍”)

及X=%y=巴三丝只需验证坐=0,即Z与“无关，只是14的函数，所以J(Q)=g(U)

0(fV

=g(ax+by).

【详解】如果/(")=g(s+匕)，则今=(,%玄=/'从

亦a)

即得6号=。巳因此,6日■=a曰■是必要条件.

dxaycrxay

令u=ax+by,v-

则行X=v,r=匕请，z=/(«,/)

于是必=更・在+曳.亚=亚——史=2(6瓦-a

dvdxdvdydvdxbdybdi

所以，当6日=a左时，有白■=0.

Mdy(7V

即z=/(x,y)=/(也匕/)只是u的函数,

即/(«,y)=&(a2+by).故选C.

对于二元函数f(*y),如果冬=0,则/与*无关,即/只是y的函数.

(fx

设。是4。,平面以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，2是0的第一

象限的部分,且/(%,y)=(4,y)心力则

(A)J7(z,y)d%dy=j[f(xty)dxdy.

DDi

(B)^f(xty)dxdy=2^f(x,y)dxdy.

0Di

(C)jff(xty)dxdy=2^f(y,x)dxdy.

DDi

(D)(x.y)dxdy=[y,x)dxdy.[]

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

【分析】先求出fa,y)的表达式,再利用二重积分的对称性.

【详解】由/(R,?);寸+]J/(x,y)dzdy=^+4,其中4=//(3/心打为常数，

。D

有4=^f<xty)dxdy=^[xyA]dxdy=24,

7>0

于是4=0,即大3,)=xy.

(A)、(B)、(C)三个选项中,左端项均为零，但右端项均不为零，故正确选项为(D).

【评注】一般地，若/(%.y)=g(4.y)+则令4=J/»(x,y)/(x,y)(/*<//,

DD

有/(*y)=g(x,y)+4两边冏乘以再在。上取二盘积分，可求得4从而

得/(3/的表达式，

4、

设4是3阶矩阵.且A+iE(,=1,2,3)均不可逆,"是4的伴随矩阵,则I(y4)eI=

(A)Y3.(B)-3f.(C9)(D)一9".

441616

[]

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【分析】由矩阵A+iE(i=1,2,3)不可逆，知IA+道1=0,即I-法-4I=0,

所以矩阵4的特征值是-1,-2,-3,那么IAI=-6.据有

।4A)，।=14-Al2=[(J)"”]=".

故应选(C).

评注本题考查IAi=口入；.要知道行列式与将征值之间的关系.本题也可以用

(kA)'以及4与A•特征位之间的转换来计算.

5、

设随机变量X服从分布F(n,n).记p|=P|XN11如=P|XW11，则

(A)Pi>Pi-

(B)Pi<p2.

(C)Pi=p2.

(D)因自由度n未知，无法比较“与pz大小.【】

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【分析】本题要求利用F分布的性质:若X~F(m,n),则;~，("小)・

【详解】题中随机变StX服从F分布，应从F分布性质入手.如果x~则

1/X~/(%m).由题中条件知m=儿于是彳与1/X都服从分布

事件建云11与+这II相等，因此PIX》"=Pl；w"=Pi-

又因X与5同分布，因此PI：W1|=P\X^\\=p].

AA

综上分析知通=P2•故应选(G.

».

"评注】应熟练*握，(“)分布」(n)分布和F(m,n)分布的定义与性版•j

6、设随机变量x〜N®，。2),其分布函数为F(x),又Y=F(X),贝产丫《力等于

().

A、1

1

B、2

1

C、3

1

D、彳

标准答案：B

知识点解析：

因为X〜所以FCr)=。(与/)，于是丫=F(X)=取与与,

={-红马&枭等价于{U4。},即《x4〃.

故P(YE)}=P{X&〃)=4•，选(B).

7、设f(x)在x=xo的某邻域内连续，且在该邻域内x,xo处「(x)存在，则

lim/(x)屿A”是“/(小)—A

“―/，，的()

A、充分必要条件.

B、必要条件而非充分条件.

C、充分条件而非必要条件.

D、既非充分又非必要条件.

标准答案：C

limf(x)A

知识点解析：在所说前提及条件“L，。”下，由洛必达法则:

limW/3=lim叼二年工=lim/(x)=A,

一/X-XoA飞(JT-Xo)f所以r(xo)

至强A,从而知惠邑A"是"/Go)全岑A

—。”的充分条件.但不是必要条件，反例

“#0,

/(x)=彳1

如下：设10，”二°・本例满足本题所说的前提(其中xo=O),

——cos-(x#O)»lim

f(x)=2xsin"”i「(x)不存在，而

/sin——0.

/(0)=lim--------------=limrsin-=0

I*14却是存在的.所以

lim/(x)A”不是“/(G)A

“f,”的必要条件.

8、设随机变量*⑺贝1」().

A、Y—x2(n)

B、y—x2(n―1)

C、y—F(n,1)

D、1,—F(l,n)

标准答案：C

知识点解析：根据t分布的性质，X2~F(Ln),再根据F分布的性质击

因此Y二下小故应选择C.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

9、

设仁窑工；产中，可导，且“0)"，则,L=---------------

标准答案：3

知识点解析:

■f(0)・3・l,

［解析」定.£©就二3e二且八0)xo,则常/(0)=5

10、

设y=y(%)是由方程，+y=sin(zr)确定的隐函数，且y(o)=0,则户。)=•

标准答案：-1

知识点解析：

【分析】将方程两端同时对与求导数，得

2xy'=(1-y')coR(x-.(*)

在(*)式中令*=0,又y(o)=o,即得y'(o)=y.

将(*)式两端同时对n求导数,又得

2+/*=-y*cos(x-y)-(1-y*)2sin(x-y),

在上式中令*=o,又y(0)=0,且y'(。)=•，即得/(0)=-1.

评注细心的读者会发现，在本港求解过程中其实不必算出＜(0)的值，一样能求出

/(0)=-1.

11、

0101i

设随机变速x~j_j_,r-ii.且协方差cov(x.y)=看,则x与y的联合分布为

TT22

标准答案:

［考点点拨］本题考查的知识点是:联合分布与边埠分书的关系.

［解析］由题设易知田=；,£丫=V.又cov（XJ）=EXY-EXEY=EXY-±=：.故EXY=

4ZooL

由于xy仅取。与I两个值,所以EXY=I'P\XY=1|=P\X=\,Y=1|=再根据联合分布与边

缘分布关系即可求出x与丫的联合分布.

［评注］本题主要考交班合分布与边爆分布的关系，我们知道，由联合分布可以求出边缘分布，反之不熟.

但是在给出边嫌分布的条件下，如及再附加些条件，如相互效立、热件分布或者某些概率依等，fi

可求出或合分布.

12、

设A是三阶不可逆矩阵，。邛是三维线性无关列向R,滴足Aa=P，AP=a,且

A~A，则A=.

标准答案：

0'

A〜1.

一1-

知识点解析：

分析A不可逆，IAI=0,A有人］=0

Aa=//,AQ=a，两式相加,得A（a+少）=a+夕

两式相减有A（ap）=（p-a）=-（a-。）,故有特征值七=Uh=-L（对应的特征

向枇为a+生。一㈤

A有三个不同的特征位,0,1,-1,从而知

0_

A~1

V-2-（I尸

13、级数W"'I的收敛域为.

标准答案：［2,4］

知识点解析：本题考查函数项级数的收敛域。首先令x—3=y，求出°+1的

收敛区间，再判断两端点处的敛散性，得出+l的收敛域，最后令x-3属

于该收敛域，从而得出x的收敛域。令y=x—3,则级数化为

1_____y_i_|y♦

当y=i时，771V,而级数收敛，因此4/+i收敛；当y=-1时,

y(-1)"

川+1是交错级数，根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。因此级数

V-L-y-

fAn2+l的收敛域为[-1.1],即.34一1，1]，xG[2,4]o综上所述,级数

y/-yd厂

n+1的收敛域为[2,4]0

14、微分方程2x2y，=(x+y)2满足定解条件y(l)=l的特解是.

工-田公金2arctan=Inx♦

标准答案：x2

知识点解析：

题设方程可改写为八十(1+5『，这是齐次微分方程，令y=xu,My,=城+%

代人即得

XU1-¥U--1-(1+u)2oXU=-y(1+u2).

分高变量得97=—2arclanu=In|x|+C.

1+u2X

从而原方程的通解为2arctan上=In|x|+C.它包含定义城分别为*>0与x<0的两族函数

X

2arctan—=Inx♦C,(x>0),2arctan—=ln(-x)♦C,(x<0),

xx

将y⑴=1代入前者有2arctan1=C,即得C=.

故所求的特解为2arctan上=Inx+-J-.

x2

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

15、

设/(x),g(x)在[0,1]上的导数连续，且/(0)=0,/(x))0,g'(")

0,证明：对任意a6[0，1]有

|g(x)f(x)dx+J/(x)g，(x)dx/(a)g(l).

标准答案：

【证法-】J：/(x)/(x)cLr=£,/(x)dg(x)

■■/(x)g(x)|(j«

™/(l)g(l)—/(O)g(O)—[g(.x,)f，(.x')dx

■/(DgCl)-JgGl/Odx—Jg(jc)『(x)dx,

因/(z)2。•根据第一积分中值定理

fga)，《z)dx=g(ejy<x)dx=-/(。川，其中f€[a,l].又由/<x)>0,/(x)20,有

<(x),/(x)在[0,1]上单调递增,因比，g(D><<©./(1)>/(a).于是

Jg(x)//(x)dx+J/GO&Ldx

=£g(x)/(j)dx+/(Dg(l)-J\(x>/(x>ir-x(e[/(])-/(a)]

=/(l)g(l)-g(0[/(l)-/(a)]>/<l)g(l)-g(l)[/(l)-/(a)]=g(l)/(a).

[证法二】设F(x)=[g(Q/(，)d，+[/⑺/⑺d—/(x)g⑴・工€E0.1].

则F(x)=g(x)/(x)-r(x)g(l)=r(z)lg(z)->f(l)J.

由于工€[0,1]时/(x)>0,/(力>0.因此，<。,即F(x)在[0,1]上单调递减.

又F(D=£g(r)/(r)dt+Jy(n/(f)d/-/(l)g(l).

而1：8a)/《‘)出=J"g(/)d/(n=&(力/(力|：-

=/⑴后⑴-£/(“(,)&

故F(l)=0.所以，当z6[0,1]时.F(Z)20,于是对任意ae[0.1],有F(a)20,即

£g(x)/(x)dx+£/(x)x，(j-)c£r》/(a)g(l).

知识点解析：暂无解析

16、

设a是线性方程组Ax=5的解，四，鱼，…,。，是其导出组的基础解系，令％=。+4，

七=a+氏，…，%=a+fit

证明：(】)a,y»n»,,,»%线性无关；

(2)方程组Ax-b的任一解7可表示为y=Aoa+kxyx+k2y2+…+ktyt.

其中自+自+…+%=1.

标准答案：

【分析】(1)用定义证明；(2)利用非齐次线性方程组解的结构进行分析即可.

(详解］⑴设人()a♦AJ7I+A必+…+A,y,®0,

将Y.=a+6,(i=U2,-J)代人,整理得

(Ao+A)+,,,+A,)a+人必+,,,+Xfic-0,①

用A左乘上式得，(入o+A1+…+\,)Aa=0,

而4a=b'0,所以Ao+A,+•••+Af=0,②

代向①得，九4+AJ9,+…+入⑸=0.

由于向,4，…,四为基地解系，必线性无关，故

A,=0,A2=0.-.A,=0.③

将③代人②,得入。=。,故，,%线性无关.

(2)根据方程组解的结构，若>是4r=b的解，则

y=«+3++…+3

=a+&(Yi-a)♦与(>2-a)+…+4,(%-a)

=(1--------k,)a++—+k,y,

令&o=1-A1-…-kf,则显然有k0+kt+—+A,=1.

且y=%。+A1％+k:y2+…+k,yt.

.......•••••••••

：【评注】(2)的证明也可这样考虑为Ax=0的解，故存在4，勺，…人使

y-«=3+k此+-+kfi,

即：y=a+A,(y,-a)+与(%-<»)+•••+kt(y(-a)

=(1-h~Aja+4,7,+…+ktyt

=ka+k』+…+k,y,.

这里及=1一左-及-4，演足％+&+…+丸=I.

本题说明，若齐次歧性方程组Ax=0有，个线性无关的解，则卷齐次线性方程组Ax=b

♦。有f+1个段性无关的解，且其任一解可由£+1个段性无关解向上线性表示，只是表

示系数要求满足其和力1的条件.

知识点解析：暂无解析

17、某产品的成本函数为C(q尸叫2+bq+c,需求函数为q=a(。一p)，其中c>0为

固定成本，a,b,a,p均为正常数，0>b,q为需求量(需求量等于产量)，p为该

产品的单价.求产量q为何值时，利润最大？

标准答案：利润函数L(q尸pq—C(q)=(p—aq)q-(叫2+bq+c产(a+a)q2+(p—b)q-

B-b.

c.L'(q)=-2(a+a)q+(p—b).令L'(q)=O,得唯一驻点qo=2(a+a).由于L”(q尸

—2(a+a)<0,故当q=qo时，L(q)为极大值，同时也为最大值,所以Lmax(q尸一

(8—砂

(a+a)qo2+(P一b)qo-c=4(a+a)-c.

知识点解析：哲无解析

18、某机械工程师为了解多台同种仪器的精准度，抽取其中n台对某零件的同一物

理量0各检测一次，得到的测量结果分别为X1，X2,…，Xno记录n次测量结果

的误差分别为匕:%一工(i=l,2,…，n),其概率密度为

队),0<y<6.

其他。，假设Xi的绝对误差为z,二|x,-M]

0.(I)求Zi

的概率密度；(II)利用Z1，Z2，…，Zn求未知参数。的矩估计量@：(ID)求。的

数学期望和方差。

标准答案：(I)已知匕=%-*(»=1，2「・，几)的概率密度为

/(y洌=段"

°，其他。设Zi的分布函数为Fzi(z)。当zVO时，显然

Fzi(z)=O；当zNO时，

々(z)=P|Z,Wz)二P||匕|Wz1=P|-z<y,Wz|=f—(P-y)dy,

人力因此可得Zi

"z,(z).像D，0々<%

az

的概率密度为°，其他c(11)随机变量2的数学期

望是

E(Z)=J/(z⑻dz=j.与什z)山=《净L?r=p

用样本均值2=?£%代替上式中的£(Z),可得。的矩估计量。=2Z=2£Z|C

niat

（in/的数学期望

）=2哈不卜2£（幻=2亭仇

。的方差

。（加。仔£z）=叫十£z,）=料Z）TE（ZXE（Z）『|,

其中［£（Z）］2唱［=?,

E⑺“J/Q⑼击=（/偿d&*（方知:哥.

代人0（。）可得0（0）=7（^2-7）

知识点解析：本题主要考查求未知参数的矩估计量以及期望和方差的求解。第一问

根据误差和绝对误差的关系求Zi的分布函数，对分布函数求导后得概率密度；笫

三问直接利用连续型随机变量的期望和方差的计算公式对矩估计量务求期望和方

差。

19、己知A是3阶矩阵，a；,a2,a3是3维线性无关列向量，且Aai=3ai+3a2—

2（X3，Aa2=-a2，Aa3=8ai+6a2—5a3.⑴写出与A相似的矩阵B；（口）求A的特

征值和特征向量；（HI）求秩r（A+E）.

3

由于,。2，。3)=(«|♦3。2-2of3,-a2,8a|+6a2~5a5)

308-

=(,,。2・。3)3-I6

-20-5-

令P=(5,%.。力，因,.a2.«3线性无关，故P可逆.

-308'

记6=3-16,则有=5,即4与5相似.

标准答案：(I)-20(口)

A-30-8

由|AE-b|=-3A+1-6=(A+1儿

204+5

可知矩阵5的特征值为・l.・1,-1,故矩阵4的特征值为-l,-1,-l.

对于矩阵跖由

-40-8-

・E・B=-30-6.得特征向《(0,1,0)1(-2.01)匚

204

那么由Ba=4a即(尸14尸)。=4a,得4(Pa)=A(Pa).所以

是4的特征向做，于是4属于特征值-1的所有特征向量是

士仁+42(-酎1+。3)，其中0，1不全为。.

(H1)由4-5有4+E~5+E.故r(A+£)=r(5+E)=1.

知识点解析：暂无解析

1_

设随机变量x〜N2,在X=X(XWR)的条件下，Y的条件概率密度为fYix(yIX尸

Ae"',郝.

20、求常数A：

标准答案：利用规范性

1fyix(.yIx>d>dy=A4,得到A

知识点解析：暂无解析

21、求Y的概率密度fY(y)；

=A（x）/nx（yIx）=-e‘尸"〉〜£R

R

）!

/r（y）=「"/Cr,y）业=「"le"»G）"

J-8KJ-bK

—~cT,->/2n・[=,y£R

标准答案：X2后

知识点解析：暂无解析

22、求概率p（'r<v3x=[3

/yx（J外工产（T”~eR

标准答案：叩号'TH工S&工击乜7

知识点解析：暂无解析

I2T2）

5a3

23、设a=（l,1,-1）丁是人=一1b一2的一个特征向量.（I）确定参数

a,b的值及特征向量a所对应的特征值；（II）问A是否可以对角化?说明理由.

标准答案：（I）

p—2+1+2=0,

由Aa=入。，得；一5+4一”+3=0,解得力=-3,〃=0,1=—1.

-6-A-2-0,（口）由|ZE—

AI=（入+1）3=0,得入=-］是三重特征值.因为r（-E—A）=2,所以£=-1对应

的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化.

知识点解析：暂无解析

考研数学（数学三）模拟试卷第2套

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

1、

设/Gr）为不恒等于零的奇函数，且，（0）存在，则函数gCr）=§（）.

（A）在”=0处左极限不存在（B）有跳跃间断点x=0

（C）在x=0处右极限不存在（D）有可去间断点工工0

A□

A、

Ra

c、0

D、0

标准答案：D

知识点解析：

【解析】由/(1)是奇函数有"0)=0.因为/(0)存在，所以

f(0)=limfW二一°，=lim=limg(z).

又因为z=0是g(z)的间断点，且limg(%)=/(0),所以2=0是gGr)的可去间断点.故

应选(D).

2、

广义积分J：哼空业

(A)发散.(B)收敛,且积分值为手-yln2.

(C)收敛，且积分值为£+/ln2.(D)收敛，且积分值为多一ln2.

AS

RS

D、

「0

标准答案：c

知识点解析：

【分析】直接用分部积分法计算即可.

广•+『蛔号吧

=f+F7aT7)=f+r(十一缶产

=+,n=,n=+,n2

TTTT?|1T~TlTl*

3、

已知随机变量X服从［-1,1］上均匀分布.则X和IXI

(A)相互独立且不相关(B)不相关旦不相互独些

(C)相关但不独立(D｝相关但相互独立

A、

B、

C、

D、

标准答窠：B

知识点解析：

【分析】由乂V=fx•4<h=0,EXIXI=fxIxI=0.故cov(A,,IA'I)=0.

-r-l2J-i2

即X和IXI不相关.另外由于{lW<扑{--1-<X<抒且P(*<*)<H

P(x<ynlVI<4)=〃(lXI<<y)p(lXI<和IXI是不独

立的.从而应选(H).

4、

12a-

已知A=1a+11H是3阶非零矩阵，且AS=0,那么

•a21-

(A)a=1时1的秩必为1.(B)a=1时的秩必为2.

(C)。=-3时,8的秩必为1.(D)a=-3时.8的秩必为2.

[1

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【分析】由A8=0,可知r(A)+r(8)这3.

若。=1,易见r(4)=1、那么r(3)石2,故武8)=1与r(A)=2均有可能，所以(A).

(B)都不正确.

若a=-3,可求出r(A)=2,那么r(Q)C3-r(A)=1.又因矩阵5非零，有r(B)2

1,从而必有r(8)=1.故应选(C).

评注对于=0,另一个观点为1的列向量是齐次方程组Ax=0的解.

%a=1时，

121-rl2

4二121一►00

-121--000」

Ax=。的呆围解系是(-2,1.0)T,(-1.0,l)L

-2-20--12-「-2-01

圻以110000100,•••等形式均可以是矩阵兄

000-•1010-

其秩可以是1也可以是2.

当a=—3时，

22-3-

A--211

L-3、000■

Ax=0的息础解系是(1,1,1)、故矩库H的形式只能是tu其中不仝

(.*,...•：二

・■

为0.••I.、..；，.-,«•'

5、

下面结论正确的是：

(A)设〃=/(X)在No处连续，而V=g(x)在Xo处不连续,则函数y-f(x)g(x)在XQ

处一定不连续.

(B)设〃=/(X)在No处连续，而V=g(x)在处不连续,则函数_y=/(X)+g(x)在Ro

处一定不连续.

(C)设〃=/(I)在〜处连续，而笠=g(“)在“0=/Go)处不连续，则宓合函数y=

g(/(z))在Z0处一定不连续.

(D)以上皆不正确.

[]

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

分析(A)令八/三。则了三0,在的处连续.

(B)由于limy=lim[/(x)-g(z)]

LX。X-Z0

lim/(z)=/(x)而limg(z)Hg(%o)

0L%

从而limyWy(z(j),在处y=/(x)+g(x)不连续.

L*01

(C)令“=f(x)M“o,则y=g(/(x))=g(UQ)因而在XQ处连续.

r-TT1,、,则级数七(一I)一。.

6、设an>0,且当n—>8时，a1]〜水1+〃)•->()

A、条件收敛.

B、绝对收敛.

C、发散.

D、敛散性由具体的an决定.

标准答案：D

知识点解析：举例说明敛散性由具体｛an｝决

设%=ln(14n)，显然与(―条件收敛'.

设&=仄?1+(-1》5,显然当〃-8时,人~品7万,且4>。.

而(一】尸/=^£一十・

因为£鼎高条件收敛，£十发散'所以就导詈一9]发收

7、设总体X服从参数为入伍>。)的泊松分布，X”X2,Xn+I为来自总体X的

简单随机样本.记1=建53则E(T)=().

A、X

B、2X

C、X2

D、2产

标准答案：B

知识点解析:因为X〜%(人).所以E(Xi)=D(Xi)=3则

E(T)=6已£(X+-XI?]=十£E[(Xi]一X>]

=}£(D(X田一XJ+[E(X-i-X.)了}

=[*[D(X出)+D(X,)]=}£2/=2九

"iI故应选B.

8、如果向量b可以由向量组a”。2，…，（13线性表示，则（）.

A、存在一组不全为零的数k2i，.k2，…，1<3使b=kiai+k2a2+…+k3a3，成立

B、存在一组全为零的数ki，k2»...»k使b=k]ai+k2a2+...十k3a3成立

C^存在一组数k],ki，...»k,使b=kiai+k2a2+…+k3a3成立

D、对b的线性表达式惟一

标准答案：C

知识点解析：由向量线性表示的定义而得.

二、填空题（本题共6题，每题分，共6分。）

9、

oo/»I12»

级数I一上一的收敛域为__________.

之J（I+“）4"

标准答案：（-3,5）

知识点解析：

8n

【分析】先设二=（1-I）：将原级数化为2-~.再求收敛半径.继而判定端点

的敛散性.

级数产的"=漫—二二即当：时.级数

c2=O(Z〃T♦HI)418_____J_____4"I=16-1)”<4

(n+2)4

Z（：：：）%收敛.也即IX-1I<4,-3<X<5时,原级数收敛.当*=-3时.£

十（_4泡）力二巴N$1发胧当X=5时・8区”4M产=28f发散.

所以级数£上不志的收敛域为（一3・5）.

二工''w0u,若/□）在》=0处的二阶导致存在则“

设/⑴=

ax'+2x+1,v>0

标准答案：2

知识点解析：

【分析】用定义计算/"（（））.

由于r（o）存在.则/（x）在太=o处必连续,且有

r（x）=2户.KWO/（o）=2

则

/.(0)=lim"+2)-2=2a

x-o+x

2V2X-2

f.(0)=lim-~~-

Y-n-V

由于「0）存在,则厂（0）=T（0）,得a=2.

11、

无穷级数£,二--------------------

标准答案：2e

知识点解析：

【分析】利用已知函数的察级数展开式求和-=£三

【详解】==£闺

=±1(n-D!+A(«-D!

=£(n-2)!+£(n-1)!

OEA+i

【评注】无穷级数的求和问题可考虑的方法有：定义法、利用巳效函数的暴级数展开火以及

转化为某级数再逐项求导或积分等.

设总体x服从参数为1的指数分布，乂％为取自总体x的一组简单随机样本，则

当“T8时，随机变量,依概率收敛于.

标准答案：e2

知识点解析：

【分析】若总体X的A阶原点矩£(f)=1,2.…)存在，则根据辛钦大数定律，

当nt8时，有At=上j,k=1,2,—.

若g是连续函数，则进一步有

P

g(44,…4)——3.如，…小士)•

利用上述结果,即可方便地得出本题的结论.

【详解】由题设，知EX==1,于是EX?=DX^[EXV=2.根据大数定律，有

4=十石尤」~*2,从而有---故应填J.

女评注】大数定律在数学三武卷中迁从未命题考查过,但大敬定律的条件和结论迁是值得注意的.

I..................:.....................................................

13、微分方程(x+y)dy+(y+l)dx=O满足y(1)=2的特解是.

X-----—+

标准答案：2(y+l)y+1

曲•十4____y

知识点解析：将方程改写为力'+】、+】，将x看成函数，此为x对y的一

阶线性方程，代入通解公式，得

工=e加(-J*田小+C)=卡(―专+C)-+舟

再由初始条件:工=】时，广2,得C=5,所以.一万招+品.

14、已知实二次型「-(X],X2，X3)=a(xF+X22+X32)+4x]X2+4x]X3+4X2X3经正交变换

x=Py可化成标准形f=6y]2，则0=.

标准答案：2

知识点解析：由题设，原二次型的标准型为f=6y,则二次型相应矩阵的秩等于1,

且相应特征值为6,0,0,设原二次型的相应矩阵为A,则

a22'-2

A2a20

22a-Ln-202-3当时2时，可化为/01」此时rAN2；当a=2

111

000

时，可化为L。o0」此时rA=l.由此得出a=2.

三、解答题（本题共9题，每题1・0分，共9分。）

15、

某公司在两不同地区销售同一种产品，两地区的需求函数分别是：

P»=2O-2Q.P2=14-Q,（F是价格,Q是销售母）.而销售产品的总成本是C=2Q+6.同：

价格Pi、R为何时，可使总利涧最大？最大利润是多少（设价格单位是万元）？

标准答案：

解总利泄L=QP+Q：）-6

+Q2FJ-2（Q1

=P,（10-+Pj（14-P2）-20（10-+（14-P0］-6

=一空+IIPL4+16P2-54

令Lj=11-P,=0,LZP,=16-2PZ=0,得唯一驻点：P=ll.P2=8

故当Pl-11（万元3P2=8（万元）时利润最大，最大利润是L=70.5（万元）

知识点解析：暂无解析

16、设